第7章 机械信号的时频域处理方法及应用

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0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Frequency [Hz]
4091 2045 0
(b)窗函数 宽度为13
Energy spectral density
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
40
时频分析的主要任务是描述信号的频谱含量是怎样 随时间变化的,研究并了解时变频谱在数学和物理 上的概念和含义。
时频分析的最终目的是要建立一种分布,以便能在 时间和频率上同时表示信号的能量或者强度,得到 这种分布后,我们就可以对各种信号进行分析、处 理,提取信号中所包含的特征信息。
时频分析使用时间和频率的二维分布表示。
第7章 机械信号的时频域处理方法及应用
1、概述
对一个给定的信号,如 x (t ) ,我们可以用 许多的方法来描述它,如x (t ) 的函数表达 式,通过傅立叶变换所得到的 x (t ) 的频谱, X ( j) x (t ) 即 ,再如 的相关函数,其能量谱 或功率谱等。在这些众多的描述方法中, 有两个最基本的物理量,即时间和频率。
法国工程师傅立叶于1807年提出了傅立叶级数的 概念,即任一周期信号可分解为复正弦信号的迭加。 1822年,傅立叶又提出了非周期信号分解的概念, 这就是傅立叶变换。经过100多年的发展,傅立叶 变换不但已经形成了一个重要的数学分支,同时也 在信号分析与信号处理中起到了重要的作用。正是 由于傅立叶变换,原本对人们比较抽象的“频率” 概念才变得具体化。
0.4
Frequency [Hz]
365 182 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
chirp信号的时-频表示. (a)信号x(n), (b) x(n)的频谱,(c) x(n)时-频分布的二维表示,(d) x(n)时-频分布的三维表示,
STFT变换时域及频域的分辨率
100
120
Signal in time
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
167 84 0
等于 x (t ) 在这一族基函数上的正交投影, 即精确地反映了在该频率处的成分大小。基 函数 e jt 在频域是位于 处的 函数,因此, 当用傅立叶变换来分析信号的频域行为时, 它具有最好的频率分辨率。
X ( )
但是,e 因此其在时域的持续时间是从 ~ ,因此, 它在时域有着最坏的分辨率。
2
Linear scale
窗函数宽度对时-频 分辨率的影响。
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
0.3
0.2
(a)窗函数宽度为55
20 40 60 80 Time [s] 100 120
0.1
4091 2045
0
0
Signal in time 1
Real part
单位直流信号 z(t ) 1 的带宽为零(频谱为冲激
函数),其时宽为无穷大。
窗宽必须与非平稳信号的局部平稳性相适应
2、短时Fourier变换
获得信号局部频谱的一种直观方法是将局 域外的时变信号置于窗外加以剔除,这就 是短时Fourier变换的思想。 很多应用中,我们希望时频表示能够满足 叠加原理或线性原理。即:
时间和频率是描述信号行为的两个最重要的物理量
信号是变化着的,变化着的信号构成了我们周围 五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”,一是指 信号的幅度随时间变化,二是指信号的频率内容 随时间变化。
幅度不变的信号是“直流”信号,而频率内容不 变的信号是由单频率信号,或多频率信号所组成 的信号,如正弦波、方波、三角波等。不论是 “直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单 的信息。
x( ), g t , ( ) x( ), g (t )e
j

x( ) g * (t )e j d STFTx (t , )
该式称为 x (t ) 的短时傅立叶变换——时频联合表示 Short Time Fourier Transform, STFT)
z (t ) c1 z1 (t ) c2 z2 (t ) Tz (t , f ) c1Tz1 (t , f ) c2Tz2 (t , f )
具有以上性质的时频表示称为线性时频表示。
典型的线性时频表示:短时Fourier变换、Gabor展 开和小波变换。
Fourier变换的基函数分布在整个频率域上。 如果我们用基函数 j g t , ( ) g (t )e 来代替傅立叶变换中的基函数 e jt
傅立叶变换的“分辨率”: “分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面,它 是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间 隔(又称最小分辨细胞)。 分辨能力的好坏一是取决于信号的特点,二是取决 于所用的算法。 对在时域具有瞬变的信号,我们希望时域的分辨率 要好(即时域的观察间隔尽量短),以保证能观 察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态。 对在频域具有两个(或多个)靠得很近的谱峰的信 号,我们希望频域的分辨率要好(即频域的观察 间隔尽量短,短到小于两个谱峰的距离),以保 证能观察这两个或多个谱峰。
60 80 Time [s]
把频率不随时间变化的信号称为“平稳”信号。 注意:此处的“平稳”和“不平稳”和随机信号中的 “平稳随机信号”及“非平稳随机信号”的意义不同。
0-300ms:100Hz 300-600ms:50Hz 600-800ms:25Hz 800-1000ms:10Hz
由上述例子可以看出,傅立叶变换反映不出信号 频率随时间变化的行为,因此,它只适合于平 稳信号,而对频率随时间变化的非平稳信号, 它只能给出一个总的平均效果。 傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能。 信号的幅度不但随时间变化,而且对现实物理世界 中的大部分信号,其频率也随时间变化。 只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的, 需要使用时间和频率的联合函数来表示信号,这种 表示称为信号的时频表示。
STFT公式的意义实际上是用 g ( ) 沿着轴t滑 动,因此 g ( ) 可以不断地截取一段一段的 信号,然后对其作傅立叶变换,得到的 是二维函数 (t , ) 。 g ( ) 的作用是保持在时域为有限长(一般 称作“有限支撑”),其宽度越小,则 时域分辨率越好。
正是窗函数的时移和频移使短时Fourier 变换具有了局部特性,对于一定的时刻t, STFTx (t , f ) 可视为该时刻的“局部频谱”。 极端结果是:如果取无穷长(全局)矩 形窗函数,则短时Fourier变换退化为传 统的Fourier变换。
0.3
0.2
0.1
0
50
100
150 200 Time [s]
250
300
350
Signal in time 1
Real part
0.5 0 -0.5 WV, lin. scale, contour, Threshold=5%
STFT时频表示
Linear scale
Energy spectral density
STFT
STFTx (t , ) e
jt 1 2



X ( )G* ( )e jt d
对 x( ) 在时域加窗g ( t ) ,引导出在频域 对 X ( ) 加窗G( ) 。 STFT的基函数g ( ) 具有时-频平面上的一 (t , 个如下的分辨“细胞”:其中心在 ) 处, 其大小为 (时宽和带宽),不管 t, 取 何值(即移到何处),该“细胞”的面 积始终保持不变。该面积的大小即是 STFT的时-频分辨率。如图所示。
t,
作时-频分析时,对快变的信号,希望它有好的时间分辨率以 观察其快变部分(如尖脉冲等),即观察的时间宽度要小,受 时宽-带宽积的影响,对该信号频域的分辨率必定要下降。 反之,对慢变信号,由于它对应的是低频信号,所以希望在低 频处有好的频率分辨率,但不可避免的要降低时域的分辨率。
Signal in time
不确定性原理:
对于有限能量的任意信号,其时宽和带宽 的乘积总是满足:
1 1 TB tf 或 t 4 2
t、f分别称为时间分辨率和频率分辨率。
也称测不准原理或Heisenberg不等式。
既有任意小的时宽,又有任意小的带宽的窗 函数是根本不存在的。
两个极端的例子:
冲击信号 z (t ) (t ) 带宽为无穷大(频谱恒等于1)
在前面已讲到,一个宽度为无穷的矩形窗(即直流信 号)的傅立叶变换为一 函数,反之亦然。当矩形窗 为有限宽时,其傅立叶变换为一Sinc函数,即
X () A e jt dt 2 AT sin T T
T
x(t) 2AT A X(Ω )
jt
e jt cost j sin t 在时域对应的是正弦函数
是信号在整个积分区间的时间范围内所具有 的频率特征的平均表示。 因此,如果我们想知道在某一个特定时间,如 t 0 , 所对应的频率是多少,或对某一个特定的频率, 如 0 ,所对应的时间是多少,那么傅立叶变换则 无能为力。
X (0 )
信号的频率不 随时间变化, 频率分布在所 有时间上。
信号的频率随时间变化,频率在不同的时间的分布 是不同的。这类信号称为时变信号。
给定了信号的函数表达式,或随变化的曲线,我们 可以由此得出在任一时刻处该信号的幅值。如果想 要了解该信号的频率成分,即“在××Hz处频率 分量的大小”,则可通过傅立叶变换来实现。
X () x(t )e


jt
dt
Fourier变换式
对给定的某一个频率 0 ,为求得该频率处的傅氏 变换 X ( ) ,上式对 t 的积分需要从 到 ,即 需要整个 X (0 ) 的“知识”。
STFT时频表示
Signal in time 1
Real part
0 -1
Linear scale
|STFT| , Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
159517975 0
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
168 84 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
我们希望所采取的时-频分析算法能自动 适应这一要求。显然,由于STFT的 , 不 随 t , 变化而变化,因而不具备这一自动 调节能力。
Signal in time 1
Real part
0.5 0 -0.5 |STFT| , Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
Fourier变换写成内积形式 jt X ( ) x(t ), e
信号x(t ) 的傅立叶变换等效于x(t ) 和基函数 e jt 作内 积,由于 jt 对不同的 构成一族正交基,即 e
e j1t , e j2t e j (1 2 ) t dt 2 (1 2 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
-T
0
T
t
0
Ω
T T 显然,矩形窗的宽度 T 和其频谱主瓣的宽度( ~ ) 成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截 短的作用,因此,若信号在时域取得越短,即保持 在时域有高的分辨率,那么由于 X () 的主瓣变宽因此 在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅 立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。
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