3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版

3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
=
������������������ (Δx+4)=4.
������x→0
名师点拨函数 f(x)在 x0 处可导,是指当 Δx 趋近于 0 时,ΔΔ������������趋近于 某个常数(极限存在),如果ΔΔ������������不趋近于某个常数(极限不存在),就说函 数在点 x0 处不可导,也说无导数.
【做一做3】 函数f(x)=x2的导数为
.
解析:求函数f(x)=x2的导数就是求其在其定义域内任一点x处的
1.瞬时变化率
设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量在 x=x0 附近改变 Δx 时, 函数值相应地改变 Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果当 Δx 趋近于 0 时,平均变
化率������(������0+Δ������)-������(������0)趋近于一个常数
������
导数.
������ ������
=
������(������+������)-������(������) ������
=
(������+ΔΔ���������)���2-������2=2x+Δx,
当Δx→0时,2x+Δx→2x,
故函数f(x)=x2的导数为2x,即f'(x)=2x. 答案:2x
(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对 应着一个确定的导数f'(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成 了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f'(x).
(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x=x0处的 函数值,即f'(x0)=f'(x)|������=������0 .
4.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的 切线的斜率为f'(x0),相应的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
名师点拨如果函数在x0处的导数不存在,那么说明斜率不存在,此 时切线方程为x=x0.
(2)������������������
h →0
������(������0+ℎ2)ℎ-������(������0-ℎ).
分析:利用函数y=f(x)在点x0处可导的条件,可将给定的极限式变 形成导数定义的结构形式来解决问题.导数定义中增量Δx的形式是
多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也应与之相对应.
Δs=s(0+Δt)-s(0)=3(Δt)-(Δt)2, 则ΔΔ������������=3-Δt. 当Δt→0时,3-Δt→3,故质点的初速度为3.
答案:3
2.某点处的导数
函数在 x0 的瞬时变化率,通常就定义为 f(x)在 x=x0 处的导数,并
记作 f'(x0)或 y'|������=������0 .
l,则数
l
称为函数
f(x)在点
x0
的瞬
时变化率.用趋近于符号“→”记作当 Δx→0 时,������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)→l.这时,
还可以说,当 Δx→0 时,函数平均变化率的极限等于函数在 x0 的瞬时
变化率
l.记作“ lim
Δ ������ →0
于是可写作 lim
Δ ������ →0
f(x0+������������xx)-f(x0)=f'(x0).
【做一做2】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为
.
解析:
������ ��3;������)-������(1) ������
=
(1+ΔΔ���������)���2-12=Δx+2,当
题型一
题型二
题型三
题型四
解
(1)原式= lim
Δ ������ →0
f(x0-������x)-f(x0) -(-������x)
=- ������������������
������x→0
������(������0-Δ-Δ���������)���-������(������0)(Δx→0
Δx→0
时,Δx+2→2,
故所求导数为 2.
答案:2
3.导函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x处导数都存在,则称f(x)在区间 (a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数 f'(x),于是在区间(a,b)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称 为函数y=f(x)的导函数.记为f'(x)(或yx'、y'). 导函数通常简称为导数.如不特别指明求某一点的导数,求导数 指的就是求导函数.