解直角三角形

解直角三角形
一、学习目标
1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；
2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
二、重点难点
本节的重点：掌握解直角三角形的一般方法和步骤，在以后的学习和实际生活、生产中经常运用．
本节的难点：把实际生活、生产中存在的和平面图形计算的有关问题转化为解直角三角形问题．
在中考和高考中，经常出现或解决问题过程中经常用到解直角三角形．
三、典型例题
解直角三角形问题，常见的有以下几种类型：
1．已知直角三角形的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形；
2．已知直角三角形的元素与元素的关系（至少有一个是边的关系），解直角三角形；
3．解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用；
4．解直角三角形在解决实际生活、生产问题中应用．
现举例分析如下：
1．已知直角三角形的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，其中已知两个元素（至少有一个是边）求出所有未知元素的问题，是解直角三角形的最基本问题．这类问题包括：
（1）已知一个锐角和一条边长，解直角三角形；
（2）已知两条边的长，解直角三角形．
解直角三角形的主要依据是：
（1）两锐角之间的关系：A+B=90°．
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2．
（3）边角之间的关系：
sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=．
解直角三角形的思路，就是根据已知的边和角，正确地选用直角三角形中边角间的关系式，求出未知的边和角．
例1在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．
【分析】已知一个锐角，应先求另一个锐角，再根据已知的边长，恰当选用与已知边有关的已知角的三角函数类型，以便转化为用乘法求未知边长．
【解】∠A=90°-∠B=90°-42°6′=47°54′．
∵cosB=，
∴a=c·cosB≈287.4×0.7420≈213.3
∵sinB=，
∴b=c·sinB≈287.4×0.6704≈192.7
【点评】这里，求未知边长时，首选了已知的边长和已知角，再考虑选用比的前项为未知边、后项为已知边的已知角的三角函数类型，从而把未知边的计算转化为乘法，这是解本题的技巧，这样做可以避免近似结果的误差对所求结果的影响．
例2在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=3，c=4，解这个三角形．
【分析】已知两边长，应先由勾股定理求另一边长，再根据已知的两边长，恰当选用由已知边表示的比值为有限小数的已知角的三角函数类型，求得未知角的三角函数值，用计算器求得这个角，再求另一个角．
【解法一】∵a2+b2=c2，
∴（或≈2.646）．
∵sinA===0.75，
∴∠A≈48°35′．
∴∠B=90°-∠A=90°-48°35′=41°25′．
【点评】这里是先求边，但需开方运算．也可以先求角，回避开方运算．
【解法二】∵sinA===0.75，
∴∠A≈48°35′．
∴∠B=90°-∠A=90°-48°35′=41°25′．
∵tanB=，
∴b=a·tanB=3×tan41°25′≈3×0.8821≈2.646．
【点评】与解法一比较，这里避免了开方运算，但计算未知边b时，用了角的近似结果．若用tanA=，求b时需用除法运算．
2．已知直角三角形的元素与元素的关系（其中至少有一个是边的关系）解直角三角形．
解这类问题是运用方程的思想方法，根据已知的元素与元素关系列方程（或方程组），解方程求得三角形的至少两个元素（其中至少有一边），转化为已知两个元素解直角三角形求其他元素．
例3如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB=0.6，BC=10，求AB和tanB．
【分析】由已知，可转化为=sinB=0.6=．又知BC=10，可设AC=3x，AB=5x，依据勾股定理，列方程求x，从而求得AC、BC．
【解法一】∵sinB==，
设AC=3x，AB=5x，由勾股定理，有102+（3x）2=（5x）2．
解得x=或x=-（不合题意，舍去），
∴AB=5×=，AC=3×=．
∴tanB==．
【点评】这里题目只需求AB和tanB，通过解方程求得AC和AB，依据锐角三角函数的定义，求得tanB．实际上，还可以由sinB=0.6，求得∠B=36°52′，∠A=∠90°-36°52′=53°8′，从而解出三角形．
本题还可以由锐角的正弦和余弦的关系式求得cosB，从而求得问题的解．
【解法二】∵sin2B+cos2B=1，
∴cosB===0.8（必须取正值）．
∵cosB=，
∴AB===12.5．
∵AB2=AC2+BC2，
∴AC===7.5，
∴tanB===0.75．
【点评】这里运用了同角三角函数的平方关系式，若熟知同角三角函数的商数关系式，求tanB 时，可直接用tanB===（或0.75）．
例4如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC中点，且AC=，AD=，求AB的长和sinB的值．
【分析】直接解Rt△ABC缺少条件．观察图形，在Rt△ACD中，已知AC和AD，由勾股定理可求出CD的长，则CB边可求．再利用勾股定理可求出AB的长，则sinB的值可求．
【解】∵∠C=90°，AC=，AD=，
∴CD===．
∴BC=2CD=．
∴AB===．
∴sinB==．
【点评】这是通过解一个直角三角形补充另一个直角三角形可解条件的典型例题．在解直角三角形时，若题中所给的条件不能直接解这个直角三角形时，可以根据已知解其中（或添辅助线构造）的另一个直角三角形，补充与完善这个直角三角形可解的条件．
3．解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用
非直角三角形的计算问题，可以转化为解直角三角形．例如，斜三角形可以添加一条高作辅助线，从而转化为两个直角三角形．梯形和平行四边形的问题关键在于如何添加辅助线，使得梯形和平行四边形化成直角三角形和矩形，因此高是应用直角三角形解决这类问题的桥梁．圆中的计算则常作出直径构造直角三角形，利用解直角三角形去解决．
例5如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，且AD=12，CE=8，求△ABC的面积．
【分析】由于已知△ABC两边上的高，所以要求△ABC的面积，只需求AB边或BC边的长即可．在图形中有四个直角三角形，而Rt△ABD和Rt△CBE有公共锐角B，因此，
sinB==．再利用BC=2BD，就可得到Rt△ABD中两条边的比，可以求出AB或BC，从而求出△ABC的面积．
【解法一】在△ABD中，AD⊥BC，AD=12，
∴sinB==．
在△BCE中，CE⊥AB，CE=8，
∴sinB==．
∴=．
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴2BD=BC．
∴=．
∴AB=3BD．
又AB2=BD2+AD2，
∴AB2=．
∴8AB2=9×122．
∴AB=．
∴S△=××8=．
【点评】这里巧妙地用了同一个锐角B在两个直角三角形中的正弦三角函数，得到AB与BC的关系式，进而求得AB与BD的关系，于是问题转化为在直角三角形ABD中，∠ADB=90°，已知两边的关系和第三边的长，解直角三角形的问题，从而求得AB的长，进而求得△ABC的面积．
这个问题也可以利用三角形的面积计算的不同方法进行转化，求得AB和BC的关系．
【解法二】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABC的面积为S△=AD·BC=CE·AB．
∵AD=12，CE=8，
∴12·BC=8·AB，
以下同解法一（略）．
【点评】这里巧妙地利用△ABC的面积不同的计算，得到AB和BC的关系．过程简单，但不易想到．
4．解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用
利用解直角三角形的知识解决实际生活、生产中的问题，包括工件的测量，工程技术及航海等许多方面．解决问题时，首先要从实际问题抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．
解这类应用题时，常要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位、跨度、方位角等概念．
例6如图，某建筑物建立在30米高的小山顶上，从山脚水平面内一点C测得建筑物A的仰角为60°，测得山顶B的仰角为30°，求建筑物的高度．
【分析】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角，如图．
根据题意，∠ACD=60°，∠BCD=30°，BD=30米，我们可先求CB或CD的长，再求AB或AD的长，从而求得建筑物的高．
【解法一】在Rt△BCD中，∠D=90°，
∴sin∠BCD=．
∵∠BCD=30°，BD=30米，
∴BC===60米．
又∠ACD=60°，
∴∠BCA=∠A=30°．
∴AB=BC=60米．
答：建筑物高60米．
【点评】这里巧妙地利用了∠A=∠ACB=30°，AB=CB的特殊条件，从而少解一次直角三角形．若从已知条件不能得到∠A与∠ACB相等的结论，则应按下面的解法二求解．
【解法二】在Rt△BCD中，∠D=90°，
∴tan∠BCD=，
∵∠BCD=30°，BD=30米，
∴米．
在Rt△ADC中，∠D=90°，
∴tan∠ACD=．
∵∠ACD=60°，CD=米，
∴AD=CD·tan∠ACD=·tan60°=90米．
∴AB=AD-BD=90-30=60米．
答：（略）．
【点评】解法二具有解这类问题的一般性．在实际测量中，所测得的仰角∠BCD与∠ACD，不一定具有∠BCD+∠ACD=90°的关系，所以，在实际测计算中，常用解法二计算．
例7某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38°，沿倾斜角为25°的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62°，求山的高度（精确到0.1米）．
【分析】先根据题意画出示意图，BC为山高，AD为山坡，∠DAC=25°，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以∠BAC=38°，AD=800米，∠BDE=62°．要直接在Rt△ABC中求BC，已知条件不够，必须设法先求出AB．要求AB，就需要根据已知条件，构造直角三角形．作DF⊥AB于F，可得Rt△ADF和Rt△BDF，在这两个直角三角形中可求得AB的长，从而可使问题得到解决．
【解】过D作DF⊥AB于F，
在Rt△ADF中，∠DAF=38°-25°=13°，
∴cos∠DAF=，且sin∠DAF=．
所以AF=AD·cos∠DAF≈800×0.9744≈779.5米，
DF=AD·sin∠DAF≈800×0.2250≈180.0米
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=62°-38°=24°，
∴米．
∴AB=AF+BF=779.5+404.3=1183.8米
在Rt△ABC中，sin∠BAC=，
所以BC=AB·sin∠BAC≈1183.8×0.6157≈728.8米
答：山高为728.8米．
【点评】这里，巧妙地利用已知AD的条件，在△ADB中构造两个直角三角形，从而求得AF、DF和BF的长，进而求得AB，其中∠DBF=∠ABC-∠DBE=90°-∠BAC-（90°-∠BDE）=∠BDE-∠BAC．
例8如图，某轮船沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30°，船以每小时20千米的速度航行2小时达B点后，测得灯塔C在北偏东75°，当此船到达灯塔C的正西的D点方向时，船距灯塔C有多远？
【分析】依题意，作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则CD即为所求．由已知CD所在的Rt△ACD不可解，为求CD，先求AC．AC不能直接求出，不妨作BH⊥AC于H，把AC分为两部分AH、CH，由已知可求AH、CH．
【解】作CD⊥AB，交AB的延长线于D，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，
∠A=30°，AB=20×2=40，cos30°=，sin30°=．
∴AH=AB·cos30°=40×=．
∴BH=AB·sin30°=40×=20．
∵∠CBD=75°，∠A=30°，
∴∠BCH=45°．
∴∠BCH=∠HBC．
∴CH=HB=20，AC=AH+HC=20+．
在△ACD中，∠D=90°，CD=AC·sin30°，
∴CD=（20+）×=10+（千米）．
答：船距灯塔C有（10+）千米．
【点评】这里也是巧妙地利用已知AB的条件，在△ABC中构造两个直角三角形，从而求得AH、BH和HC，进而求得AC，再解直角三角形ACD求DC．
四、技能训练
（一）选择题（有且只有一个选项正确）：
1．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D在AC上，∠BDC=60°，AD=200，则BC=（）（A）100（B）200（C）（D）
【提示】证明∠A=∠DBA=30°，求得BD=AD=200，解Rt△BDC可得．
【答案】C．
2．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，BC=8，则AC的长是（）
（A）（B）（C）（D）
【提示】过C作CD⊥AB于D，解Rt△CDB，求得CD=，可求AC．
【答案】B．
【点评】通过添加辅助线把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题．
3．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC，对角线AC=BC+AD，则tan∠DBC的值是（）
（A）（B）1（C）（D）2+
【提示】过D作DE∥AC，交BC延长线于E，可证DE=BE=DB，∠DBC=60°．
【答案】C．
4．如图，已知正方形ABCD，△PAD和△QBC是等边三角形，则tan∠PQD等于（）（A）2-（B）2+（C）（D）
【提示】PE=FQ=AD，EQ=AD，DE=AD．
【答案】A．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB的值是（）（A）4（B）5（C）（D）
【提示】分别延长AD和BC，交于点E，分别解Rt△DCE和Rt△ABE可得．
【答案】D．
6．在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，△ABC的面积为，且BC=a，则a的值是（）
（A）1（B）（C）2（D）
【提示】过C作CD⊥AB于D，可得BD=，DC=AD=，AB=，解方程×·=，可求a．
【答案】C．
（二）填空题：
7．在△ABC中，∠C=90°，a=10，b=，则c=______，∠A=_____，∠B=_____．【提示】（略）．
【答案】c=20，∠A=30°，∠B=60°．
8．等腰三角形的腰与底之比为1∶，则底角的度数为______，顶角的度数为______．
【提示】底角的余弦值为．
【答案】底角为45°，顶角为90°．
9．在△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的中线CD=60，sinA=，则S△ABC=_____．
【提示】先求AB=120，再求得BC=40，AC=．
【答案】S△ABC=．
10．已知等腰三角形ABC，AB=AC，底角为30°，面积为m2，则它的周长为____m．【提示】过A作AD⊥BC于D，设AD=x，则BD=，解方程=，得x=．
【答案】周长为（）m．
（三）解答题：
11．在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=9，c=，求∠B，∠A及b的值；
（2）若c=，tanA=，求a、b及cosB的值；
（3）若a+b=14，c=10，求cosA及S△ABC的值．
【提示】（1）略．
（2）由b=2a，解方程a2+4a2=20，求a、b．
（3）解方程组a+b=14，a2+b2=100，求a、b的所有正数解．
【答案】（1）∠B=30°，∠A=60°，b=；
（2）a=2，b=4，cosB=；
（3）cosA=或，S△ABC=24．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，且BE=2EC，DM⊥AE于M，求DM的长．
【提示】由已知求得BE=4，解Rt△ABE，求得AE=5，且sin∠AEB=sin∠MAD=．解Rt △AMD，由sin∠MAD=及AD=6，得DM的长．
【答案】．
13．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，tanB=，AE=7，求DE的长．
【提示】由tanB===，设DE=x，用x表示BE、BD的长，可得BC=x，
AC=x，从而求得AB=5x，解方程2x+7=5x得解．
【答案】．
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4cm，AD=12cm，∠B=120°，∠D=30°，求这个梯形的面积及两腰的长．
【提示】过C作CE∥BA，交AD于E，过C作CF⊥AD于F，求得DE=8，解Rt△CDE，求得CE、CD、CF．
【答案】梯形面积为cm2，两腰长分别为4cm和cm．
15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AC⊥BC，且AD=4，DC=3，求AB的长．
【提示】解Rt△ADC，得AC=5，cos∠ACD=，∠CAB=∠ACD，解Rt△ACB，求得AB．
【答案】AB=．
16．如图，在小山上有一高为32米的铁塔AB，从地面D点测得塔顶仰角为60°，从山顶B 点测得地面D点的俯角为45°，求小山的高BC（精确到1米）．
【提示】设BC=x，可得DC=BC=x，解Rt△ADC．由tan∠ADC==，得AC=x，
列方程32+x=x，求x．
【答案】44米．
17．如图，某直升飞机于空中A处观测到地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处，观测到地面控制点C的俯角为45°，飞机再向前飞行多少米与地面控制点的距离最近（结果保留根号）？
【提示】过C作CD⊥AB，交延长线于D，则BD的长为所求，以下解法类似16题．
【答案】500+米．
18．如图，海中有一个小岛A，它周围13.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行10海里到达C点，测得小岛A在北偏东45°，如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，是否有触礁的危险？
【提示】作AD⊥航线BC于D，仿16或17题，解Rt△ABD，求得AD与13.5比较．，所以没有触礁危险。