1.3集合的基本运算教案-高一数学人教A版(2019)必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语
1.3集合的基本运算
【素养目标】
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)
2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)
3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算) 4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)
5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)
6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)
7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【学法解读】
1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．
2．要注意结合实例，运用数轴、V enn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．
1.3.1 并集与交集
必备知识·探新知
基础知识
(3)A⊆B (4)B⊆A(5)A＝B
说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有
意义，图中阴影部分表示并集.
：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．
“x∈A或x∈B”包含三种情形：
①x∈A，但x∉B；
②x∈B，但x∉A；
③x∈A且x∈B．
知识点二交集
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)
(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)
(3)A⊆B，则A∩B＝A
(4)B⊆A，则A∩B＝B
(5)A＝B，A∩B＝B＝A
：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．
知识点三并集与交集的性质
(1)___A∩A＝A___，A∩∅＝∅.(2)____A∪A＝A____，A∪∅＝A．
思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B 呢？
提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．
(2)A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．
基础自测
1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(A) A．{－1,0,1}B．{0,1}
C．{－1,1} D．{0,1,2}
[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．
2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(D) A．{0,1,2} B．{2}
C．{2,4} D．{0,1,2,4}
[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．
3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，则M∩N＝(A)
A．{x|－4<x<3}B．{x|－5<x<－4}
C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}
[解析]M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故选A．
4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝____{1,6}________.
[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝___3__.
[解析]因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一并集运算
例1(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．
[分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．
[归纳提升]并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，
然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【对点练习】❶ (1)已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,1,2,3,5}，则A ∪B ＝__{0,1,2,3,4,5}__. (2)若集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|－2<x<2}，则A ∪B ＝__{x|x>－2}___. [解析] (1)A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． (2)画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x|x>－2}．
题型二 交集运算
例2 (1)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x2＝x}则M∩N ＝( B ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1}
D ．{0}
(2)若集合A ＝{x|－2≤x≤3}，B ＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B 等于( D ) A ．{x|x≤3或x>4} B ．{x|－1<x≤3} C ．{x|3≤x<4}
D ．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A ＝{(x ，y)|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y)|3x ＋2y ＝7}，则A∩B ＝___{(1,2)}__. [分析] (1)先求出集合N 中的元素再求M 、N 的交集．(2)借助数轴求A ∩B ．(3)集合A
和B 的元素是有序实数对(x ，y )，A 、B 的交集即为方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7的解集．
[解析] (1)N ＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N ＝{0,1}，故选B ．
(2)将集合A 、B 表示在数轴上，由数轴可得A∩B ＝{x|－2≤x<－1}，故选D ．
(3)A ∩B ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}∩{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}
＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ，y ⎪⎪⎪
⎩⎪⎨
⎪⎧ 4x ＋y ＝63x ＋2y ＝7＝{(1,2)}． [归纳提升] 求集合A∩B 的方法与步骤 (1)步骤
①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式．
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【对点练习】❷(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x －1，x∈A}，则A∩B等于(A)
A．{1,3}B．{2,4}
C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}
(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B ＝{1}，则集合B＝(D)
A．{－3,1} B．{0,1}
C．{1,5} D．{1,3}
[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，
∴A∩B＝{1,3}，故选A．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．
题型三集合的交集、并集性质的应用
例3(1)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为___________.
(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析](1)把M∪N＝M转化为N⊆M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
[解析] (1)由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，当N ＝∅时，2t ＋1≤2－t ，即t ≤1
3，此时M ∪N ＝M 成
立．
当N ≠∅时，由数轴可得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，
2－t ≥－2，
解得1
3
<t ≤2.
缩上可知，实数t 的取值范围是{t |t ≤2}． (2)由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴A ＝{0,2}． ①∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}． 当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，∴a <0；
当B ＝{0}时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－a ＝0，
Δ＝4a ＝0，∴a ＝0；
当B ＝{2}时，⎩
⎪⎨⎪
⎧
4－4a ＋a 2－a ＝0，Δ＝4a ＝0，无解；
当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＝2，Δ＝4a >0，a 2－a ＝0，得a ＝1.
综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}． ②∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．
∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根， ∴A ＝B ，由①知a ＝1.
[归纳提升] 利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A ∩B ＝B 或A ∪B ＝A 的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
【对点练习】❸ 已知集合M ＝{x|2x －4＝0}，集合N ＝{x|x2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M∩N ，M ∪N ； (2)当M∩N ＝M 时，求实数m 的值． [解析] (1)由题意得M ＝{2}．
当m ＝2时，N ＝{x|x2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， ∴M∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．
(2)∵M∩N ＝M ，∴M ⊆N ，∵M ＝{2}，∴2∈N ，
∴2是关于x 的方程x2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.
课堂检测·固双基
1．设集合A ＝{x ∈N *|－1≤x ≤2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝( B ) A ．{－1,0,1,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－1,2}
D ．{－1,3}
[解析] 集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则A ∪B ＝{1,2,3}． 2．已知集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |x <1}，则A ∩B ＝( C ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <3} C ．{x |－3<x <1}
D ．{x |－3<x <3}
[解析] A ∩B ＝{x |－3<x <3}∩{x |x <1}＝{x |－3<x <1}．故选C ．
3．设集合A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( C )
A ．{2,4,6}
B ．{1,3,6}
C ．{1,2,3,4,6}
D ．{6}
[解析] 图中阴影表示A ∪B ，又因为A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,6}，所以A ∪B ＝{1,2,3,4,6}，故选C ．
4．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是__a ≤1__. [解析] 利用数轴画图解题．
要使A ∪B ＝R ，则a ≤1.
5．已知集合A ＝{x |m －2<x <m ＋1}，B ＝{x |1<x <5}． (1)若m ＝1，求A ∪B ；
(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由m ＝1，得A ＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <5}．
(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ．显然A ≠∅.
故有⎩⎪⎨⎪⎧
m －2≥1，m ＋1≤5，
解得3≤m ≤4.
∴实数m 的取值范围为[3,4]．
素养作业·提技能
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A ∩B ＝( B ) A ．∅ B ．{2} C ．{0}
D ．{－2}
[解析] 因为B ＝{－1,2}，所以A ∩B ＝{2}．
2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5，或x >4}，则M ∪N ＝( A ) A ．{x |x <－5，或x >－3} B ．{x |－5<x <4} C ．{x |－3<x <4}
D ．{x |x <－3，或x >5}
[解析] 在数轴上分别表示集合M 和N ，如图所示，
则M ∪N ＝{x |x <－5，或x >－3}．
3．已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N 等于( D ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1}
D ．{(3，－1)}
[解析] ∵M ，N 均为点集，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1，
∴M ∩N ＝{(3，－1)}．
4．若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( A )
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3,2}
D ．{－2,3}
[解析] A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分为A ∩B ，A ∩B ＝{2}．
5．集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( D ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,4} C ．{2,3,4}
D ．{1,2,3,4}
[解析] A ∩B ＝{1,2}，(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}，故选D ．
6．(2019·武汉市高一调研)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( D )
A ．{a |－1<a ≤2}
B ．{a |a >2}
C ．{a |a ≥－1}
D ．{a |a >－1}
[解析] 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，
易知a >－1. 二、填空题
7．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，C ＝{6,8}，则(C ∪A )∩B ＝__{2,6,8}__. [解析] ∵A ∪C ＝{2,3}∪{6,8}＝{2,3,6,8}， ∴(C ∪A )∩B ＝{2,3,6,8}∩{2,6,8}＝{2,6,8}．
8．若集合A ＝{x |3ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}，且A ∪B ＝B ，则a 的值是__0，1
3，
112
__. [解析] 由题意知，B ＝{1,4}，A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ．
当a ＝0时，A ＝∅，符合题意；当a ≠0时，A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
13a ，
∴13a ＝1或1
3a ＝4， ∴a ＝13或a ＝112.
综上，a ＝0，13，112
.
9．已知集合A ＝{x |x <1，或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝__－4__.
[解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6,2a －b ＝－4.
三、解答题
10．已知集合A ＝⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B ．
[解析] 解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x >0，
3x ＋6>0，得－2<x <3，
则A ＝{x |－2<x <3}．
解不等式3>2m －1，得m <2，则B ＝{m |m <2}． 用数轴表示集合A 和B ，如图所示．
则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．
11．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a 的值．
[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
B组·素养提升
一、选择题
1．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(D)
A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}
[解析]∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，
∴S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D．
2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(D)
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
[解析]因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，
所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
所以A∪B＝{1,2,5}，故选D．
3．(多选题)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B可能为(AD) A．{1,2,5} B．{2,3,5}
C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}
[解析]集合A＝{2,3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，则B中必有元素1和5，且有元素2,3,4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误，故选AD．
4．(多选题)已知集合A ＝{2,4，x 2}，B ＝{2，x }，A ∪B ＝A ，则x 的值可以为( ABC )
A ．4
B ．0
C ．1
D ．2 [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．
∴x ∈A ，∴x ＝4或x 2＝x ，
由x 2＝x 解得x ＝0或1，
当x ＝0时，A ＝{2,4,0}，B ＝{2,0}，满足题意．
当x ＝1时，A ＝{2,4,1}，B ＝{2,1}，满足题意．
当x ＝4时，A ＝{2,4,16}，B ＝{2,4}，满足题意．
故选ABC ．
二、填空题
5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}，B ＝{0,1,2,3}，若A ∩B 有3个真子集，则a 的取值范围是__1≤a <2__.
[解析] ∵A ∩B 有3个真子集，∴A ∩B 中有2个元素，又∵A ＝{x |0≤x ≤a ，a >0}， ∴1≤a <2.
6．设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R }，若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为__t ≤2__.
[解析] 当2t ＋1≤2－t 即t ≤13
时，N ＝∅.满足M ∩N ＝N ； 当2t ＋1＞2－t 即t ＞13时，若M ∩N ＝N 应满足⎩⎪⎨⎪⎧
2－t ≥－22t ＋1≤5，解得t ≤2.∴13＜t ≤2.综上可知，实数t 的取值范围是t ≤2.
7．(2019·枣庄市第八中学考试)设集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为__{a |a ≤9}__.
[解析] 由A ⊆(A ∩B )，得A ⊆B ，则
(1)当A ＝∅时，2a ＋1>3a －5，解得a <6.
(2)当A ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，
3a －5≤22，解得6≤a ≤9.
综合(1)(2)可知，使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值集合为{a |a ≤9}．
三、解答题
8．已知集合M ＝{x |2x ＋6＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}．
(1)当m ＝－4时，求M ∩N ，M ∪N ；
(2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．
[解析](1)M＝{－3}．
当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}，
则M∩N＝{－3}∩{－1,4}＝∅，M∪N＝{－3}∪{－1,4}＝{－3，－1,4}．
(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.由于M＝{－3}，则－3∈N，
∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18.
9．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
[解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人．。