3.9弧长及扇形的面积-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试

北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积同步测试(原卷版) 一．选择题
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）
A．π B．2π C．4π D．6π
2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（）
A．7πB．8πC．9πD．10π
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）
A．3 B．9 C．．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．
A．20 B．24 C．10π D．30π
5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）
A．πB．πC．πD．3π
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）
A．1π B．1.5π C．2π D．3π
8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）
A．πB．πC．πD．π
9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（）
A．2
3
π B．2π C．2.5 π D．3π
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（）
A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）
A．B．C．D．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为度．14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为
16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，
＝．
则阴影部分面积S
阴影
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积 同步测试(解析版)
一．选择题
1.在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．6π 606180180
n r
l ππ=2π． 2．如图，四边形ABCD 内接于半径为9的⊙O ，∠ABC ＝110°，则劣弧AC 的长为（ ）
A ．7π
B ．8π
C ．9π
D ．10π
解：连接OA 、OC ，
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠D+∠ABC ＝180°，
∵∠ABC＝110°，
∴∠D＝70°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，
∴劣弧AC的长为＝7π，
故选：A．
3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）
A．3 B．9 C．．
解：扇形的面积=
2
60
360
r =3π．
解得：
．
故选D．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．
A．20 B．24 C．10π D．30π
解：点O移动的距离为扇形的弧长，
根据面积公式求出弧长，
即30π=1
2
×l×6，
解得l=10π．
故选C．
5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）
A．πB．πC．πD．3π
解：如图，作CF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S
＝AB•CF，
平行四边形ABCD
∵AB是定值，
∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
∵CF≤AC，
∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，
此时tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：B．
6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．解：如图，设与EF交于H，连接AH，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，
∴AH＝AD＝BC＝4，
∴∠AHE＝∠GAH＝30°，
∵AE＝AB＝2，
∴HE＝2，
∴阴影部分的面积＝S
扇形AHG +S
△AHE
＝+×2×2＝+2，
故选：D．
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）
A．1π B．1.5π C．2π D．3π
解：∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
62180ππ， 8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A ，C ，B 三点的圆弧与AE 交于H ，则弧AH 的弧长为（ ）
A ．π
B ．π
C ．π
D ．π 解：连接EB ，BH ，AB ，
∵BE ＝AB ＝＝，AE ＝＝，
∴BE 2+AB 2＝AE 2，
∴∠ABE ＝90°，
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 是圆的直径， ∴∠AHB ＝90°， ∴BH ⊥AH ，
∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，
∴弧AH 所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝．
故选：B ．
9.如图，四边形OCBA 是菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的圆弧DE 上，若AO=3，∠COE=∠DOA ，则扇形ODE 的面积为（ ）
A ．2
3
π B ．2π C ．2.5 π D ．3π
9360
=3π．10．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，以B 为圆心、BC 长为半径画弧，交AB 于点F ，若点O 恰好在圆弧上，且AB ＝6，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，
∴OB＝OC，
∵BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，BC＝BO，
即AC＝2BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
（6）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝6，
∴阴影部分的面积＝S
△BCD ﹣S
扇形BOC
＝﹣＝18﹣6π，
故选：A．
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π
解：由折叠可知，
S
弓形AD ＝S
弓形OD
，DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴AD＝OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，∵AD＝OD＝OA＝4，
∴CD＝2，
∴S
弓形AD ＝S
扇形ADO
﹣S
△ADO
＝﹣＝，
∴S
弓形OD
＝，
阴影部分的面积＝S
扇形BDO ﹣S
弓形OD
＝﹣（）＝4﹣，
故选：B．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）
A．B．C．D．
解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S
△AFD ＝S
△OFA
，
∴S
阴＝S
扇形OFA
，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，
∴S
阴＝S
扇形OFA
＝＝．
故选：C．
二．填空题
13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为90 度．解：设这个扇形的圆心角为n°，
则＝3π，
解得，n＝90，
故答案为：90．
14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是π．解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，
∴此扇形的弧长是＝π，
故答案为：π．
15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为
解：∵ABCDEF 为正六边形，
∴∠AOB=360°÷ 6 =60°，
AB 的长为601803ππ
．
故答案为：3π
．
16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC ＝，∠
BAC ＝30°，则的长为 ．
解：如图，连接BC ．
∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵∠A ＝30°，
∴∠B ＝60°，
∵OC ＝OB ，
∴△OBC 是等边三角形，
∵BC ＝AC •tan ∠BAC ＝1，
∴OC ＝OB ＝1，∠BOC ＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为．
17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为4．
解：如图连接BE，EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝∠EBF＝60°，
∵BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
∵S
阴＝S
△BEF
＝×42＝4，
故答案为4．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，
则阴影部分面积S
阴影
＝．
解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE＝，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S
△BDC ＝S
△BOD
，
∴S
阴＝S
扇形OBD
，
∵OD＝＝2，
∴S
阴
＝＝，
故答案为．
19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为3π﹣．
解：连接OB和AC交于点D，
∵圆的半径为3，
∴OB＝OA＝OC＝3，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝OB＝，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，∴AC＝2CD＝3，
∵sin∠COD＝，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S
菱形ABCO
＝×3×3＝，
S
扇形AOC
＝＝3π，
则图中阴影部分面积为S
扇形AOC ﹣S
菱形ABCO
＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．
解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，∴BD＝AD，
∵S
△AOD
＝×6×＝6，
∴S
△BOD ＝S
△AOD
＝3，
∴阴影部分的面积＝S
△AOD +S
扇形BOC
﹣S
△BOD
＝6+﹣3
＝3+3π．
故答案为3+3π．
三.解答题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
解：狗能活动的范围面积=3
4
π×142+
1
2
π×42=147π+8π=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝
23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
解：（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，
又∵BC是直径，
∴弧CD的度数也是60°，
∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD 是等腰梯形；
（2）解：∵BC 是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC=30°
cos AC =4√3 ，故R=2√3 ， ∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA 交BD 于点E ，则OA ⊥BD ，
在Rt △BOE 中：OE=OBsin30°= √3 ，BE=OB •cos30°=3，BD=2BE=6，
故S 阴影=S 扇形BOD -S △BOD =21202313602
()×6=4π 24．如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作⊙O ，点E 在BC 边上，连结AE 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 于点G ．
（1）求证：△ABE ≌△BCG ；
（2）若∠AEB ＝55°，OA ＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，
∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，
∴∠BAF+∠ABF ＝90°，∠ABF+∠EBF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BAF ，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝．
∴AB＝BC．
（2）解：S
阴＝S
扇形CAF
+S
△CFG
﹣S
△ABC
＝S
扇形CAF
＝＝．。