巧添辅助线妙解梯形题

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初中数学辅助线添加技巧：梯形

初中数学辅助线添加技巧：梯形方法总结1．解决梯形问题的基本思路−−−−→转化分割、拼接梯形三角形或平行四边形问题． 2．梯形的很多问题都是需要添加简单辅助线，下表给出了梯形常见的辅助线方法．典例精析例1．如图，在梯形ABCD 中，ADBC ，BD CD =，90BDC ∠=︒，3AD =，8BC =．求AB 的长．OCDBA解：在梯形ABCE 中作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．FEOCDBA∴AE DF ． ∵ADBC ，∴四边形AEFD 是矩形． ∴3,EF AD AE DF ===． ∴,BD CD DF BC =⊥．∴DF 是BDC △的BC 边上的中线． ∵90BDC ∠=︒， ∴142DF BC BF ===． ∴4,431AE BE BF EF ==-=-=． ∴在Rt ABE △中，222AB AE BE =+． ∴在Rt ABE △中，AB点拨：遇到梯形中求线段长，通常考虑过梯形一底的两个顶点向另一底作垂线（也称作梯形的双高），把梯形转化成矩形和两个直角三角形从而求解，这是解决梯形问题的常用方法．例2．如图，四边形ABCD 中，AB CD ，且2B D ∠=∠，3AB =，5BC =，求CD的长．CDBA解：如图，过点B 作BEAD ，交CD 于点E ．321ECDB A∴四边形ABED 是平行四边形． ∴3,3DE AB D ==∠=∠． ∵223ABC D ∠=∠=∠， ∴231∠=∠=∠． ∴BEC △为等腰三角形． ∴5CE BC ==．∴358CD DE EC =+=+=．例3．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，90C D ∠+∠=︒，E 、F 为AB 、CD 的中点．求证：2CD AB EF -=．FECDBA证明：过E 点分别作AD 、BC 的平行线，交DC 于点G 、H ．GHFECDB A∴四边形ADGE 、BCHE 都是平行四边形． ∴,DG AE HC EB ==．∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴,AE EB DF FC ==． ∴DF DG CF CH -=-．即()12GF FH CD AB ==-． ∵,EGAD EH BC ，∴,D EGF C EHF ∠=∠∠=∠． ∵90C D ∠+∠=︒， ∴90EGF EHF ∠+∠=︒． ∴90GEH ∠=︒． ∵GF HF =，∴()1122EF GH DC AB ==-．即2CD AB EF -=．点拨：遇到同一底边上的两个底角和为90°，上下底之差或者对角存在2倍关系时通常考虑作腰的平行线，构造平行四边形和三角形，将分散的条件集中平行四边形和三角形中．例3还可以得到结论AD BC CD AB +>-．例4．如图，梯形ABCD 中，AD BC ，45DCB ∠=︒，CD =2，BD CD ⊥，过点C 作CE AB ⊥于点E ，交对角线BD 于点F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．（1）求EG 的长；（2）求证：CF =AF +AF ．GFE CD BA解：（1）∵BD CD ⊥，45DCB ∠=︒， ∴45DBC DCB ∠=∠=︒． ∴2CD BD ==．在Rt BDC △中，CB = ∵CE AB ⊥于点E ，点G 是BC 的中点，∴12EG BC == （2）证明，延长BA 、CD 交于点H ．GH F E CD BA∵BD CD ⊥，∴90CDF BDH ∠=∠=︒． ∴90DBH H ∠+∠=︒． ∵CE AB ⊥于点E ， ∴90DCF H ∠+∠=︒． ∴DBH DCF ∠=∠．又,CD BD CDF BDH =∠=∠， ∴CDF BDH △≌△．∴,DF DH CF BH BA AH ===+． ∵ADBC ，∴45DBC ADF ∠=∠=︒．∴45HDA DCB ∠=∠=︒． ∴ADF HDA ∠=∠．又∵,DF DH DA DA ==， ∴ADF ADH △≌△． ∴AF AH =． ∴CF AB AF =+．点拨：本题涵盖了直角三角形、梯形和全等三角形的有关知识，主要考查了构造全等三角形解决问题的能力．为了构造全等三角形，可延长两腰，把梯形转化成三角形求解．例5．如图，梯形ABCD ，,,,AD BC AD BC AC BD BE DC =⊥⊥，若3AB =，5CD =，求这个梯形的面积．ECDBA解：作BFAC 交DC 的延长线于点F ．FECDBA∵ABCD ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∴,BF AC CF AB ==． ∵,AD BC ABCD =，∴梯形ABCD 为等腰梯形． ∴BD AC =． ∴BD BF =． ∵BD AC ⊥，∴BD BF ⊥．∴BDF △为等腰直角三角形． ∵BE DF ⊥， ∴E 为DF 中点． ∵12BE DF =， ∴()()()111354222BE DC CF DC AB =+=+=+=． ∴()()114351622ABCD S BE DC AB =+=⨯⨯+=梯形．点拨：遇到梯形对角线夹角为特殊角，通常考虑平移对角线，构造平行四边形和三角形，本例将求梯形面积的问题转化成求直角三角形面积，使问题得以解决．举一反三1．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，对角线AC BD ⊥，若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 面积的最大值为．CDBA2．如图，在等腰梯形ABCD 中，,AB CD AD BC =，且AC BD ⊥，CH 是梯形的高，MN 是中位线，求证：MN CH =．N M HC D BA例6．如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，E 是AD 的中点，90BEC ∠=︒．求证：BC AB CD =+．E CDBA证明：延长BE 交CD 的延长线于点F ．FE CDBA在ABE △和DFE △中，,,A FDE AE DE AEB DEF ∠=∠=∠=∠， ∴ABE DFE △≌△． ∴,BE EF AB DF ==． ∴CF CD DF AF CD =+=+． ∵,CE BF BE EF ⊥=， ∴BC CF AB CD ==+．点拨：此题还可以拓展为在梯形ABCD 中，AB CD ，①E 是AD 的中点；②90BEC ∠=︒；③BC AB CD =+；④BE 平分ABC ∠；以上四个条件，除由②③不能推出①④外，由其它任意两个条件，均可推出另两个结论．例7．如图，在梯形ABCE 中，AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，5BC =，E 为DC 的中点，tan 3C 4=．求AE 的长度． ECDB A解：过点E 作BC 的垂线，交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M ．M FECDBA在梯形ABCD 中，ADCD ，E 是DC 的中点，∴,M FMC DE CE ∠=∠=．∵,,M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠∠=∠=， ∴MDE FCE △≌△． ∴,FE ME DM CF ==． ∵2,5AD BD ==， ∴()()113252222DM CF AM AD AD BC AD ==-=+-=+-=．在Rt FCE △中，4tan 3EF C CF ==， ∴2EF ME ==．在Rt AME △中，AE ==．点拨：由例6、例7解法可知，已知一腰中点，通常可以考虑过梯形一顶和此腰中点作直线，利用中以对，构造全等三角形，把梯形问题转化成三角形问题求解．例8．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求DFFC的值．图2图1ABD CE FE CDBA解：(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC∴∠ADC=105º由等边△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º，∴∠AED=45º(2)方法一：连接AC，A B DCEF由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC，∴BA=BC．方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点F．可证得：△DFC≌△CBE，则DF=BC．从而：AB=CB．（3）连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，A B DCE FG∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC =75º，故BC =BF 由(2)知：BA =BC ，故BA =BF ， ∵∠ABF =60º， ∴AB =BF =FA ，又∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴∠FAG =∠G =30º ∴FG =FA = FB ．∵∠G =∠FBC =30º，∠DFG =∠CFB ，FB =FG ∴△BCF ≌△GDF∴DF =CF ，即点F 是线段CD 的中点． ∴1DFFC=，跟踪训练1．如图，梯形ABCD 中，ABCD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底之差是6，两腰和是12，则EFG △的周长是（）GFE DCB AA ．8B ．9C ．10D ．122．已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） A ．4 B ．6 C． D3．如图，梯形ABCD 中，ADBC ，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若 2.7,4,6AD AF AB ===，则CE 的长为（）FED CBAA． B．1 C ．2.5 D ．2.3 4．如图，在等腰梯形ABCD 中，ADBC ，对角线AC BC ⊥于点O ，AE BC ⊥，CF BC ⊥，垂足分别为E 、F ，设,AD a BC b ==，则四边形AEFD 的周长是（）ODCBAA ．3a b +B ．()2a b +C ．2b a + C ．4a b + 5．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，45,105B BAC ∠=︒∠=︒，4AD CD ==，求BC 的长．DCBA6．如图，梯形ABCD 中，ABDC ，90,2ADC BCD DC AB ∠+∠=︒=，另DA 、AB 、BC 为边向梯形外正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之关的关系是．S 3S 2S 1DCBA7．已知：如图，梯形ABCE 中，AD BC ，2,4AB CD AD BC ====．求B ∠的度数及AC 的长．DCBA8．如图，在梯形ABCD 中，ADBC ，90B ∠=︒，14cm AB =，18cm AD =，21cm BC =，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动时间为t 称，求t 为何值时，梯形PQCD 是等腰梯形．QPDCBA9．已知：如图，梯形ABCE 中，AD BC ，90B ∠=︒，,.AB a BC b DC a b ===+，且b a >，点M 是AB 边中点．（1）求证：CM DM ⊥；（2）求点M 到CD 边的距离（用a ，b 的式子表示）．M DCBA10．已知：在梯形ABCD 中，ADBC ，AB DC =，E 、F 分别是AB 和BC 边上的点．（1）如图1，以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，且DF BC ⊥．若4AD =，8BC =，求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值；（2）如图2，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果FG k EF =（k 为正数），试猜想BE 与Cg 有何数量关系？写出你的结论并证明．G图2图1ABC DEF FED CBA中考前瞻如图，在等腰梯形ABCD中，AD BC，445BC AD B==∠=︒，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若ABE△为等腰三角形，求CF的长．B。

初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何

初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何口诀：梯形问题如何巧转换，平移腰，平移对角线，做一高或两高，两腰延长三角形。

如果出现有中点，细心连上中位线。

上述方法不凑效，过腰中点全等造。

通常情况下，和梯形有关的几何题，辅助线的添加方法，有如上表格里的五种：①平移腰，转化为三角形或者平行四边形；②平移对角线转化为三角形或者平行四边形；③延长两腰，转为三角形；④做高或者双高，转化为直角三角形或者矩形；⑤中位线与腰中点的连线。

在这五大类中，还有细分的一些小类。

请大家细心的看下面的例题，一共举例了17道例题，经典考试题型，有详细解题步骤。

后面，还有8道练习题。

过瘾吧？那就疯狂点赞吧。

例1、有一个角是90°，通常根据题意，平移一腰，则出现直角三角形，用解直角三角形的思路，即可。

例2、平移一腰，得到一个三角形，通过三角形的三边关系定理。

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围。

例3、平移两腰的经典考试题型。

平移两腰，在梯形的中间得出一个三角形。

例4、平移对角线，得出一个平行四边形，再转化成一个三角形来解决问题。

例5，也是平移对角线，得到一个平行四边形和三角形，通过线段的转化，符合勾股定理，得出角度等于90°。

例6，平移对角线，得出平行四边形，还有等底等高三角形面积相等。

此题非常巧妙。

例7，延长两腰，相交得出一个三角形。

再利用原梯形的上底下底平行的关系，得出结论。

例8、这是一道证明四边形是等腰梯形的经典考试题型，不可错过的好题。

请看详细解题推理步骤。

例9，连接对角线，也是解决梯形问题里一个辅助线添加方法。

这题简单，但是这个BD的连接，是解题的关键。

例10，做梯形的一条高。

证明四边形是等腰梯形。

请看详细解题步骤，学会类似方法，举一反三。

例11、梯形做双高，得到一个矩形，和两个直角三角形，问题迎刃而解。

例12、这道题很新颖，求证两线段的大小关系。

做双高，得到两个直角三角形和一个矩形，通过线段大小关系，结合勾股定理，顺利得证。

梯形中常见辅助线的添法

5.方茴说："那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

"6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。

浅析梯形的辅助线宣威市羊场镇初级中学张荣芝梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形，添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的。

这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法．下面我们来看看几种在梯形中常见的添辅助线的方法.(一)与腰有关的辅助线例1、已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=4，BC=12，∠C=60°，求AB 的长.(1)梯形内平移一腰(也就是我们常说的作腰的平行线) 解：方法一（平移腰）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ∵AD ∥BCC5.方茴说："那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

"6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。

而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。

∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=4 ∴EC=BC-BE=8 ∵AB=CD∴DE=DC ∴∠C=60° ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 (2)梯形外平移一腰解：方法二过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ∵AD ∥BC∴四边形ABCE 是平行四边形 ∴AB=CE ∵AB=CD ∴CD=CE∵AD ∥BC ，∠C=60°∴∠CDE=60° △CDE 是等边三角形 ∵AD=4，BC=125.方茴说："那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

添加辅助线巧化梯形

添加辅助线巧化梯形【关键词】梯形辅助线转化初中数学新课标要求学生能够证明和解答一些几何问题。

但几何图形变化无穷、复杂多变，给学生带来不少的困扰。

有时因为一条辅助线没有作好而功亏一篑；有时也会因为作好一条辅助线而使问题简单化，达到四两拨千斤的效果。

人教版初中数学八年级《梯形》这一节内容，教材内容比较少，图形既空又杂，因此，作好辅助线是学好梯形的关键。

下面笔者从教学实践中谈谈如何在梯形中作辅助线：首先我们来看看梯形常见的几种辅助线的作法（见下表）：一、平移，构平行四边形和三角形1.平移一腰例1 如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，AD＝4，BC＝15.求CD的取值范围。

【评注】在梯形当中作平行于一腰的直线可以把梯形转化为学生熟知的平行四边形和三角形，通过平行四边形的性质、三角形三边的关系及直角三角形锐角三角函数和勾股定理就可以求解。

2.平移两腰例3 如图3所示，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

【分析】过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，得到Rt△GEH，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出EF。

解：过点E分别作EG∥AB、EH∥CD，交BC于点G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°∴△GEH是直角三角形∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=DE，BF=CF∵EG∥AB、EH∥CD，AD//BC∴四边形ABGE和四边形EHCD是平行四边形【评注】作平行于两腰的直线可以充分利用梯形两个底角互余的关系，构出直角三角形，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半则可求解。

3.平移对角线例4 如图4所示，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求梯形中位线的长。

【分析】过点C作CF//BD交AB的延长线于点F，可知四边形DBFC 是平行四边形，这样两底的和就等于AF，只需在Rt△ACF中求出斜边AF，梯形的中位线就等于它的一半。

初中数学巧作辅助线,妙解梯形题

初中数学巧作辅助线，妙解梯形题梯形问题，用以下几种辅助线，将梯形转化为三角形、平行四边形，可以化难为易、化繁为简，从而找到解决问题的捷径。

1. 作高例1. 如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝45°，∠C ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，求梯形ABCD 面积。

图1解：过A 、B 两点分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别是E 、F 。

在Rt △BCF 中，∠C ＝30°，BC ＝4 所以BF BC CF ===12223，所以 AE ＝BF ＝2在Rt △ADE 中，∠D ＝45°所以 DE ＝AE ＝2易知四边形ABFE 是矩形，故EF ＝AB ＝3，所以S AB CD BF ABCD 梯形·=+12() =+8232. 平移腰例2. 如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝75°，∠D ＝30°。

图2求证AD ＝DC －AB 。

证明：过点A 作AE ∥BC ，交CD 于E ，则四边形ABCE 是平行四边形，所以 EC ＝AB ，∠AED ＝∠C ＝75°因为∠D ＝30°所以∠DAE ＝180°－30°－75°＝75°即 AD ＝DE又 DE ＝DC －EC所以 AD ＝DC －AB例3. 如图3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点。

图3 求证MN AB CD =-12()。

证明：过M 作ME ∥DA 、MF ∥BC ，分别交AB 于E 、F ，则四边形ADME 、BCMF 都是平行四边形，∠MEF ＝∠A ，∠MFE ＝∠B因为∠A ＋∠B ＝90°所以∠MEF ＋∠MFE ＝90°，即△EMF 是直角三角形又 M 、N 分别是DC 、AB 的中点所以 AE ＝DM ＝MC ＝BF ，AN ＝BN所以 EN ＝FN且 EF ＝AB －CD 所以MN EF AB CD ==-1212()。

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题

初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题
1. 梯形中常见的辅助线
我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.
1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.
2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.
3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下：
梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三
角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线。

巧添辅助线妙解梯形题

１１１
ＳＭ÷ｓ￣ｓ＝
÷ Ｓ梯ＡＤ÷ ｘ＝．形脱＝４２：
点评：梯形腰的中点可延长梯形顶点与见腰中点间的线段．样可将梯形进行割补变形．这进Ｗ将梯形问题化归成三角形问题解决．ｉ三、一鼹中点作另一腰的平行线过
ＣＢ的平分线交于Ａ
图４
责嗍２０ｏＩ６年３月号 “ 学潜能知识竞赛 ” 考答案数参１如图１连接ＭＣ．．．ＡＡＭ与ＡＡＭＣ同底等高．． △ＡＭ与Ｄ・．Ｄ △ 们等面积．
・・．
．
（）过左面和上面或经过下面和右面，时蚂蚁爬行的最短路线是长为４３经这＋比较（）（）（）结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为１、２、３的可．３（）图３所示，知Ｄ．１如易Ｆ是Ｂ的垂直平分线，以ＤＬＣＤ＝．以Ｃ所Ｆ＿Ｂ，ＢＤＣ所
长的２倍可联想
到作中位线
（也
可由Ｅ为ｃＤ的
中点联想到）于．是在ＡＢ上取中点Ｆ，接Ｆ则连Ｅ．
路口山东牟建坤
方法
图１
刘云娜
宫国强
Ｆ／ＢＣ．Ｅ／
２＝
Ｌ３因ｌ．＝Ｌ２．ｌ３故膪＝故＝．
坫＝Ａｃ＝Ｏ．Ｆ９ｏＤ ∥Ａｃ所以Ｅ为Ｒ △Ａｔｃ的斜边

【初中学习指导】初中几何中梯形的巧添线、妙转化！

【初中学习指导】初中⼏何中梯形的巧添线、妙转化！【初中学习指导】初中⼏何中梯形的巧添线、妙转化！梯形的巧添线、妙转化例谈“化归思想”在梯形问题中的应⽤梯形是在学习了平⾏四边形后的另⼀种特殊的四边形，梯形没有平⾏四边形那么多特殊性质，它的特殊性质不多。

关于梯形的计算和证明，往往是根据解题的需要，添加辅助线，将梯形问题转化为平⾏四边形或三⾓形，来借助它们的性质解决问题，这就体现了数学中最有价值的思想⽅法----化归思想。

化归思想的实质就是将⼀个问题进⾏变形，使其转化为另⼀个已经解决的问题，从⽽使原来的问题得到解决。

下⾯以梯形问题为例，去说明“化归思想”在研究梯形问题中的应⽤。

（⼀）巧添线，妙转化将梯形转为为三⾓形或平⾏四边例1解析应考虑如何将所求线段BC与已知的⼏条线段关联起来，显然它们没有直接的相等关系，BC的长⼤于⼏条已知线段的长，应考虑添加辅助线将已知⼏条与BC的部分关联起来.解法1解法2解法3解法4通过的分析处理，不难发现处处蕴含的化归思想，⼀般都通过添加辅助线将梯形问题转化归为三⾓形或特殊四边形的问题⽽得到解决。

梯形中常⽤添加辅助线的⽅法⽬前梯形中常⽤添加辅助线的⽅法有：（⼆）巧添线，妙转化通过转化发现梯形的新性质探究思考连结梯形两腰中点的线段具有的性质（即：梯形中位线的性性质）。

例2解法1转化为三⾓形解法2转化为平⾏四边形解法3转化为矩形总之, 研究梯形问题的⽅法较多，但⼤多都体现了化归思想。

化归的思想⽅法在解决初中各种数学问题时⼗分常见，因此在平时的学习中充分重视这个思想⽅法的认识和应⽤。

【来源】初中数学教育、作者：潘勇刚；如有侵权，请留⾔删除。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。

为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。

下面介绍六种常用的技巧。

1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。

然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。

这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。

2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。

3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。

这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。

4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。

这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。

5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。

利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。

6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。

根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。

这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。

通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。

在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。

小学奥数常见辅助线添加技巧9法

小学奥数常见辅助线添加技巧9法技巧1 同形添补例1一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是2厘米、3厘米、3厘米、1厘米（如图1）。

求这个六边形的周长。

练习1如图1-1，已知等腰梯形的两个底角都是60°，一条腰长15厘米，下底长25厘米，求它的周长。

练习2如图1-2，六边形的六个内角都是120°，其中四条边的长度分别是8厘米、20厘米、15厘米、18厘米，求这个六边形的周长。

练习3如图1-3，四边形中，AD＝3厘米，BC＝10厘米，∠B＝∠D＝90°。

∠C＝45°，求这个四边形的周长。

（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）例2如图2，已知四边形ABCD的边BC＝7厘米，AD＝3厘米，∠B＝∠D＝90°，∠C ＝45°，求这个四边形的面积。

练习1 如图2-1所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。

练习2 如图2-2所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。

（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）练习3 如图2-3所示，已知四边形ABCD的两条边和三个角，求这个四边形的面积。

（等腰直角三角形的底长大约是腰长的1.4倍）例3 如图3，已知四边形ABCD的边AB＝5厘米，AD＝4厘米，∠C＝67.5°，∠A＝90°，∠D＝135°，BH与CD垂直，BH＝7厘米。

求四边形ABCD的面积。

练习1 如图3-1，已知直角梯形的底角为45°，上底为8厘米，高为10厘米，求它的面积。

练习2 如图3-2，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝67.5°，∠D＝135°。

BH与CD垂直，AB＝8厘米，AD＝6厘米，BH＝10厘米。

求四边形ABCD的面积。

练习3 如图3-3，五边形ABCDE中，AB＝7厘米，CD＝16厘米，DE＝10厘米，∠A＝∠C＝∠E＝90°，∠D＝135°，求五边形ABCDE的面积。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点，∵AD ∥BC∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD =1.5cm ，B C=3.5cm ，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。

解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E∵AD ∥BC ，DE ∥AC∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm ，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯=。

梯形辅助线的添法

梯形辅助线的添法1．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，︒=∠︒=∠50,80D C ，AB=4，DC=10，求BC 的长．2．如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD=BC ，AB=AC ，且AC AB ⊥．（1）求证：︒=∠30DBC ．（2）若对角线AC 、BD 交于E ，求证：CD=CE ．3．已知：如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC=BD ．求证：AB=DC ．4．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分ABC ∠，AE 平分DAB ∠，且AE 、BE 交DC 于E 点，求证：AB=AD+BC ．A DEBCADCEBAB DA DECB5．已知：如图所示，AD ∥BC ，AD=8，BC=13，AB=6，CD=5，︒=∠53B ．求D ∠的度数．6．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且︒=∠︒=∠50,80C B ，求证：AB=BC-AD ．7．如图所示，在梯形ABCD 中，︒=∠+∠90C B ，E 、F 分别是上、下底的中点，求证：()AD BC EF -=21．8．如图所示，在梯形ABCD 中，ABCD ，E 、F 分别为两条对角线AC 、BD 的中点，求证：()CD AB EF -=21．ADBCA DB CADCBEFA BCDE F9．等腰梯形的对角线若互相垂直，则其高与中位线相等．如图所示，已知AC 、BD 为等腰梯形ABCD 的对角线，且BD AC ，EF 为中位线，CG 为梯形的高，求证：EF=CG ．AGBECDF。

初中数学巧借辅助线解决梯形问题学法指导

初中数学巧借辅助线解决梯形问题梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质，所以有关梯形的证明、计算题，常有一定的难度，如果能巧借辅助线，则能有效地化难为易。

一、移腰1、移动一腰例1 梯形两底长分别为14cm 和24cm ，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。

解析：如图1，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=14cm ，BC=24cm ，∠B=60°，∠C=30°。

过点A 作AE//DC 交BC 于E ，得到平行四边形AECD 和△ABE ，故AE=DC （相当于将腰DC 移到AE 的位置），AD=EC （相当于将上底AD 移到下底上，BE 为两底之差），∠C=∠AEB=30°（相当于将∠C 移到∠AEB 的位置）。

图1 这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于Rt △ABE 中，于是得到较短腰)cm (5)1424(21BE 21AB =-⨯==。

2、移动两腰例2 如图2，梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC 。

求证：∠B=∠C 。

图2分析：过点E 作EM//AB ，EN//DC ，分别交BC 于点M 、N 。

梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN 中，由E 、F 分别是AD 、BC 的中点容易得到)AD BC (21FN MF -==，又由EF ⊥BC ，得EM=EN ，故∠EMN=∠ENM ，所以∠B=∠C 。

二、移对角线例3 如图3，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC ，对角线AC 、BD 互相垂直，梯形的两底之和为8。

求梯形的高与面积。

图3解析：过点D 作DE//AC 交BC 的延长线于点E ，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，这样得到平行四边形ACED ，所以AC=DE （相当于将对角线AC 移到DE 的位置），AD=CE （相当于将上底、下底移到一起，BE 为两底之和）。

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三、长两腰，造三角形延构
侧
如图４．腰梯形ＡＢＣ中，等ＤＤ／ＢＣ，／
Ｃ
图４
Ｐ
“
、
／
Ｃ
图５
・．．
△ＰＡＤ为等边三角形．ＡＤ＝Ａ
ＢＤ＝则此梯形的中位线的长是多少？９．
一一一一一一一一一一一
ｃＥｃ
图８
图９
ＡＣ＝ＢＤ＝３，此梯形的面积．５，求
图１０
图１１
４如图１，等腰梯形ＡＢＣ中，．１ＤＡＤ／／ＢＣ，＿Ｄ／ＢＣ＝５．翻折梯形＿４。
・．．
．
ＡＥ＝ＤＦ＝２
．
又因ＺＡＢＥ＝６＿０。，／＿ＢＡＥ＝３０。，所以ＢＥ＝１ＡＢ
一一一一＃由勾股定理易知一＊一《＃嚣蘸一。一鬈一＊女＃＃＃一嚣
．
Ｂ＋（、了）＝（日Ｅ），得ＢＥ＝．ＡＢ＝ＡＤ＝．Ｅ２２／２解２故４，４
日Ｃ．．・．日Ｄ＝ＣＢＤ＝Ｄ日ＤＢ．．
又・日平分．・Ｄ
‘ ．
‘
Ｄ＝２．．．ＢＣ＝ＢＰ＝ＡＰ＋Ｂ＝２Ｄ＝４． ‘ ＡＡ
故梯形ＡＢＣＤ的周长＝４＋２ｘ＝１３０．
说阴：题解法较多．可作ＤＥ／ＡＢ等．此如／Ｉ
在
Ｒｔ△ ＢＤＥ中．Ｅ＝ＮＢＤ２ＤＥ：Ｂ／＋２
、８／６＋＝１ｃ）０（ｍ．
－．．
由面积公式．ＤＦ・ＢＥ＝Ｄ・ＢＤＥ，
．Байду номын сангаас
Ｄ皇：８（）４ｃｍ．
１０
图３
故应填４８ｃ．ｍ．
ＢＣ＝２９ｃ．／Ｂ＝／Ｃ＝６０。ｍ．
过点Ｄ作ＤＥ／ａＢ交ＢＣ于Ｅ点，则易知四Ｂ／
边形ＡＢＥ为平行四边形．以Ｄ所
・．
．
Ｅ
Ｃ
＝Ｄ＝Ｄ￡
图１
／ＤＥＣ：／Ｂ６￣ △ ＤＥＣ为等边三角形，Ｅ＝＝Ｃ：０．ＤＤＣＥ
６ｃＩ则此梯形的高为Ｉ．Ｘ
．
解：过点Ｄ作ＤＥ∥Ａｃ交ＢＣ延长线三
作ＤＦＪ日Ｃ于Ｆ．则四边形ＣＤ为平行四－Ｅ
故ＤＥ：４Ｃ＝ｍ．，８ｃ
义 ‘‘ ．上曰Ｄ．．．ＢＤＥ＝９０．
‘ ‘
Ｃ
图６
．
Ｄ＝１０。．Ｄ ∥ 曰Ｃ．２
ＢＥ＝６０。．２＝３．
‘
．
．
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‘
日Ｄ — 分平
日Ｃ．． ‘ ．
１２＝０。＝３．
ＥＦ
Ｃ
‘ ．
．
１：３．Ｄ：ＡＢ．Ａ
图７
在Ｒ／Ｂ中，＝０，故ＤｔＤＦ２３。￣ ÷日＝Ｄ２
・
５梯形＾
．
１（Ｄ＋ＢＣ）ＡＥ：了４＋１（４
・
）Ｖ￣＝ ×２５－４
．
一一一一一一一一一譬一一一一…一一一一一一匿一 …… 一一一一
＋１２
．
１
练ｌ．如固８柱梯影ＡＣ１．ＢＤ寺．／Ｂ．＋＝０，：．Ａ／ＣＢＣ９。Ｄ１ＤＡ
四、作双高：梯形转化成两个直角三角形把
侧￡如图６，形ＡＢＣ中， ‘ 梯ＤＤ／ＢＢ／Ｃ，ＤＩ
平分ＢＣ．＝２。ＢＤ＝＝Ｖ１０，ＢＣ４，梯形求
ＡＢＣ的面积．Ｄ
解：点作Ｅ上日Ｃ，点Ｄ作ＤＦ上日过过Ｃ，垂足分别为Ｅ、如图７Ｆ．．
ＡＢＣＤ．Ｂ点与Ｄ点重合，痕分别交ＡＢ、使折ＢＣ于Ｆ．点・ＡＤ＝２，Ｅ若
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梯形是一类较特殊的四边形．关问题也是中考的主要考点之一有
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一
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若能巧妙添加辅助线．往往有助于这类问题的迅速解决．则
而ＥＣＢＣＢＢＣ－＝ — Ｅ＝ＡＤ＝１（ｍ）故ＤＣ４ｃ，填１．４ｃ，＝１ｍ应４
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侧２如图２．梯形ＡＢＣ中，ＤＤ∥ 日
Ｄ相交于Ｄ．Ｃ－Ｄ．知Ｃ＝８ｃ且Ｊ已ｎ
ｉ一、移一腰，梯形转化成三角形和平行四边形平把
例，等腰梯形的底角为６￣它的两底长分别为１ｍ和２Ｉ，０．５ｃ９ＣＴ则Ｉ
它的腰长为ｃｍ．
解：图１设等腰梯形ＡＢＣ中，如．ＤＡＤ＝１ｃ，５ｍ
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— —
ＢＣ＝３，Ｆ分别是ＡＤ、Ｅ、ＢＣ的中点，Ｅ则
２５
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２如图９．梯形ＡＢＣ中，．在ＤＡＤ／／ＢＣ，角线ＡＣＪＢＤ，ＡＣ１，对＿且＝２３如图１已知梯形ＡＢＣ中，．０，ＤＡＤ／／ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ＝．若对角线２，４

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