最新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测题(答案解析)(1)

一、选择题
1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；
②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；
③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①④
C ．①②③
D ．③④
2．将抛物线2y
x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则得到新抛物
线的解析式为（ ） A ．()2
12y x =-+ B ．()2
12y x =-- C ．()2
12y x =++
D ．()=+-2
y x 12
3．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些
值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y
…
﹣3
﹣1
3
…
）
A ．03x y =⎧⎨=-⎩
B ．21x y =⎧⎨=-⎩
C ．3
0x y =⎧⎨=⎩
D ．43x y =⎧⎨=⎩
4．如图等边ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm/s
的速度向点C 运动，点P 沿A B C --以2cm/s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停
止运动，若APQ 的面积为()
2
cm S ，点Q 的运动时间为()s t ，则下列最能反映S 与t 之
间大致图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若整数a 使得关于x 的分式方程
12322
ax x
x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20
6．已知抛物线229(0)y x mx m =-->的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M '，若点
M '在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ） A ．(1,5)- B ．(2,8)- C ．(3,18)-
D ．(4,20)-
7．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔
0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A ．0.8m
B ．1.6m
C ．2m
D ．2.2m
8．如图所示，一段抛物线：()2
33044
y x x x =-
+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于
3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）
A ．()2020,3
B ．()2020,3-
C ．()2022,3
D ．()2022,3-
9．二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根
D ．930a b c ++<
10．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ） A ．2x =
B ．2x =-
C ．4x =
D ．4x =-
11．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若关于x 的不等式组232
x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数2
1(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的
交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1或2个 二、填空题
13．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．
14．有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：
甲：与x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线x ＝4；
丙：与y 轴的交点到原点的距离为3．
满足上述全部特点的二次函数的解析式为_____．
15．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程
2(3)0a x m -+=的根为__________．
16．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______．
17．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．
（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．
18．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为2
1 3.258
y x =-
+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．
19．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．
20．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b
=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程
4
()()0ax b x b
++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．
三、解答题
21．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值． （2）当y ＝108时，求x 的值．
22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能卖出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设每件涨价(0)x x ≥元．
（1）写出一周销售量y （件）与x （元）的函数关系式．
（2）设一周销售获得毛利润w 元，写出w 与x 的函数关系式，并确定当x 在什么取值范围内变化时，毛利润w 随x 的增大而增大．
（3）超市扣除销售额的20%作为该商品的经营费用，为使得纯利润（纯利润=毛利润－经营费用）最大，超市对该商品售价为______元，最大纯利润为______元．
23．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
3- 52- 2- 1- 0 1 2
52 3
y
3
54
1- 0 1- 0
54
3
请画出该函数图象的另一部分；
（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________； （3）进一步探究函数图象发现：
①方程22||0x x -=的实数根为____________； ②方程22||2x x -=有____________个实数根．
③关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围____________．
24．有这样一个问题：探究函数2
43y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数2
43y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数2
43y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数2
43y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数2
43y x x =-+，下列四个结论： ①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值；
③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小； ④函数图象与x 轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是_____．
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程2
43x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．
25．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
26．已函数2
1
y x x
=+
，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；
（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：
x
…
－2.5
－2
－1.5
－1 －0.5 －0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … 5.85 3.5 1.58
－1.75
－4.96
5.04
m n 2.92 4.5 6.65 …
其中m =________，n =________.
（3）下图中画出了函数的一部份图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：________________________； （5）结合图象，直接写出方程2
1
20x x x
-+
=的所有实根：________.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
①由图示知，对称轴是直线x ＝
3122b
a
-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；
③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；
④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确． 综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线2y
x 先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物
线：2(1)2y x =++． 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
3．A
解析：A 【分析】
根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案． 【详解】
∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，
∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误． 故选：A ． 【点睛】
此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
当点P 在AB 边运动时，S=1
2
AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=1
2
×AQ×PCsinC ，即可求解． 【详解】
解：当点P 在AB 边运动时，
21133sin 22222
S AQ AP A t t t =
⨯=⨯⨯⨯=， 图象为开口向上的抛物线， 当点P 在BC 边运动时，如下图，
1133sin 2(6)(6)2222
S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，
图象为开口向下的抛物线， 故选：D ． 【点睛】
本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
5．B
解析：B 【分析】
由抛物线的性质得到20a -＞，2
=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】
解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥
解分式方程
12322ax x
x x -+=--解得：62
x a =- 由x ≠2得，a ≠5， 由于a 、x 是整数，
所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1， 同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，
故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
先利用配方法求得点M 的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】
解：∵222
29()9y x mx x m m =--=---，
∴点M 为（m ，29m --）， ∴点M′的坐标为（m -，29m +）， ∴222299m m m -=++， 解得：3m =±； ∵0m >， ∴3m =；
∴点M 的坐标为：（3，18-）．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．
【详解】
如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．
设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12
a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-
+． 当0.2x =时，0.48y =，
当0.6x =时，0.32y =．
∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．
8．D
解析：D
【分析】 解方程2334
x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利
用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝
34
（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可．
【详解】 当y ＝0时，2334
x x -
+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0）， ∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3，
∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），
∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，
∴抛物线C 506的解析式为y ＝
34
（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022， 当x ＝2022时，y ＝
34
（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）．
故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．
9．D
解析：D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；
对称轴为x=-
2b a
=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；
∵对称轴为x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，
∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口
方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
10．A
解析：A
【分析】
利用抛物线对称轴公式求解即可．
【详解】
解：∵2288y x x =-+-，
∴对称轴为直线x=-
822(2)
=⨯-， 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．
【详解】
解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；
C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =-
-+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．
【详解】
解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩
有解，
∴3a-2＞a+2，
即a ＞2，
令y=0，21(3)4
x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-
14）=a-2， ∵a ＞2，
∴a-2＞0，
∴函数图象与x 轴的交点个数为2．
故选：C ．
【点睛】
解答此题要熟知以下概念：
（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．
二、填空题
13．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴
解析：22
【分析】
作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．
【详解】
解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，
∴
BD DE =
作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，
∴∠EFO=∠DOB=90°
又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒
∴∠DBD FDE =∠
在△DBO 和△EDF 中
DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DBO ≌△EDF
∴FE OD FD BO ==，
对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，
∴()40A -，
，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，
∴0(4)C ，
设D （t ，0），则(4,)E t t +
∴22224)2((2)8OE t t t =++=++
∴当t=-2
时，取最小值，即OE ==，
故OE
的最小值为
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．
14．y ＝（x ﹣4）2或y ＝﹣（x ﹣4）2【分析】根据甲乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（40）再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（03）或（0﹣3）然后利用待定系数法求出抛物线解析式
解析：y ＝
316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 【分析】
根据甲、乙所说的特点可知判断抛物线的顶点坐标为（4，0），再根据丙所说的特点可得到抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），然后利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
【详解】
解：∵抛物线与x 轴只有一个交点且对称轴是直线x ＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，0），
∵抛物线与y 轴的交点到原点的距离为3．
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2，
把（0，3）代入得3＝a （0﹣4）2，解得a ＝316，此时抛物线的解析式为y ＝316
（x ﹣4）
2；
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a （0﹣4）2，解得a ＝﹣
316，此时抛物线的解析式为y ＝﹣316
（x ﹣4）2； 综上，满足上述全部特点的二次函数的解析式为y ＝
316（x ﹣4）2或y ＝﹣316（x ﹣4）2． 故答案为y ＝
316（x ﹣4）2或y ＝﹣316
（x ﹣4）2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质以及运用待定系数法确定函数解析式，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
15．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程 解析：121,5x x ==
【分析】
先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
抛物线2
(3)y a x m =-+的对称轴为3x =，
此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)， ∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，
则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，
故答案为：121,5x x ==．
【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-
2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平
解析：22y x =-
【分析】
根据2
(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；
【详解】
∵抛物线2(3)2y x =--
∴顶点坐标为(3，-2)，
∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，
∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 17．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424
y x x =
-- 【分析】
根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．
【详解】
解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，
∴AD=BD ，
∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a ，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a ．
∵DE=1，
∴4a-2=1
解得：a=34
． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =
+- 即2339424
y x x =-- 故答案为：2339424y x x =
--． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．
18．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛
解析：不能．
【分析】
根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．
【详解】
解：将x=2代入y=-
18x 2+3.25，得 y=-18
×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，
∴该车不能通过隧道，
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d
【分析】
建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．
【详解】
解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，
故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，
当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1， 故抛物线解析式为：y=x²，
设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，
由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：
此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，
在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，
在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，
∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)， 319
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．
20．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线
解析：x=﹣1或﹣5
【分析】
根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．
【详解】
解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，
∴m=0或m=﹣2，
∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，
∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，
∵方程4()()0ax b x b
++=的一个根为3x =，
∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，
故答案为：x=﹣1或﹣5．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 三、解答题
21．（1）y ＝﹣
12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】
（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；
（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．
【详解】
（1）根据题意可得：AD ＝
12（30﹣x ）m ， y ＝12
x （30﹣x ） ＝﹣12
x 2+15x ＝﹣
12（x ﹣15）2+112.5， ∵墙长为14m ，
∴0＜x≤14，
则x≤15时，y 随 x 的增大而增大，
∴当x ＝14m ，即AB ＝14m ，BC ＝8m 时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m 2）；
∴y 的最大值为112m 2；
（2）当y ＝108时，108＝12
x （30﹣x ）， 整理得：x 2﹣30x+216＝0，
解得：x 1＝12，x 2＝18（不合题意舍去），
答：x 的值为12．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．
22．（1）50010y x =-；（2）2104005000w x x =-++，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；（3）75，5000．
【分析】
（1）根据每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件即可得；
（2）根据“毛利润=（每件的售价-每件的成本）⨯销售量”可得w 与x 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，先根据纯利润的计算公式求出Q 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
（1）由题意，每件涨价x 元，每周销量就减少10x 件，
则50010y x =-；
（2）由题意得：(5040)(10)(50010)w x y x x =+-=+-，
整理得：2104005000w x x =-++，
将此二次函数的解析式化成顶点式为2
10(20)9000w x =--+，
由二次函数的性质可知，当020x ≤≤时，毛利润w 随x 的增大而增大；
（3）设一周销售获得的纯利润为Q 元，
则220%(50)1040050000.2(50)(50010)Q w x y x x x x =-+=-++-+-，
整理得：28400Q x x =-+，
即28(25)5000Q x =--+，
由二次函数的性质可知，当25x =时，Q 取得最大值，最大值为5000，
则此时该商品售价为50502575x +=+=（元），
故答案为：75，5000．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的应用、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解
题关键．
23．（1）见解析；（2）①函数图象是轴对称图形，关于y 轴对称；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；（3）①12x =-，20x =，32x =；②2；③10a -<<
【分析】
（1）描点、连线即可得到函数的图象；
（2）根据函数图象得到函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
（3）①根据函数图象与x 轴的交点位置，即可得到结论；
②如图，根据y=x 2-2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；
③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是-1＜a ＜0．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）由函数图象知：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
故答案为：①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （3）①由函数图象知：函数图象与x 轴的交点所对应的数为-2，0，2，所以方程x 2-2|x|=0的实数根为12x =-，20x =，32x =；
②如图，∵y=x 2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x 2-2|x|=2有2个不相等的实数根；
③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x|=a 有4个不相等的实数根，
∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，
故答案为：12x =-，20x =，32x =；2；-1＜a ＜0．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了观察函数图象的能力． 24．（1）x 为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）13k -<<
【分析】
（1）根据函数解析式可以写出x 的取值范围；
（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y 轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
（4）根据函数图象，可以写出关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵函数y =x 2-4|x |+3，
∴x 的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）由函数y =x 2-4|x |+3可知，x ＞0和x ＜0时的函数图象关于y 轴对称，函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
函数图象关于y 轴对称，故①正确；
函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，故③正确； 函数图象与x 轴有4个公共点，故④错误；
故答案为：①③；
（4）由图象可得，
关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是-1＜k ＜3， 故答案为：-1＜k ＜3．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（1）2160y x =-+；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组，得出解后根据x 求出对应的y ，即可求解；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（45，70）、（50，60）代入得：
45705060k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+；
（2）由题意得：()()402160600x x --+=，
整理得212035000x x -+=，
解得125070x x ==，，
∵要求尽可能提高销量，当150x =时，销量为70千克，当270x =时，销量为20千克 ∴270x =不合题意，舍去
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为50元/千克； （3）设当天的销售利润为w 元，则：
()()402160w x x =--+
22(60)800x =--+，
∵﹣2＜0
∴当60x =时，w 最大值=800．
答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
26．（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =-，21x =，3 1.6x =.
【分析】
（1）观察解析式可直接得出结果；
（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；
（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；
（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；
（5）看作两个函数交点问题来解决即可．
【详解】
（1）0x ≠；
（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；
（3）如图；
（4）答案不唯一，
如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；
（5）对于方程2120x x x
-+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x
=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =-，21x =，3 1.6x =．
【点睛】
本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．。