广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题含答案

汕头市2023-2024学年度普通高中毕业班期中调研测试
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，能表示集合
{
}220
A x x x =--≤∣与{05}
B x x =<<∣关系的Venn 图是（
）
A. B.
C
.
D.
2.已知复数1z -与复数2(1)8i z +-都是纯虚数，则z =（）
A.1i
+ B.12i
+ C.12i
± D.12i -3.设22tan22.51cos50,2sin13cos13,1tan 22.52
a b c -===-
）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.c b a
<< D.b<c<a
4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70717376787881858990､､､､､､､､､，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（）
A.77
B.78
C.76
D.80
5.已知ABC ，点D 在线段BC 上（不包括端点），向量AD xAB y AC =+ ，12
x y
+的最小值为（
）
A.22
B.222+
C.223
D.32
+6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器111ABC A B C -，现往内灌进一些水，设水深为h .将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为11A B C ，如图2，则h =（
）
A.3
B.4
C.42
D.6
7.已知函数()sinπf x x =的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（
）
A.122y f x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
B.122x y f ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭C.12x y f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
D.()
21y f x =-8.设()0,1a ∈，若函数()(1)x
x
f x a a =++在()0,∞+递增，则a 的取值范围是（
）
A.5151,22⎤
⎣⎦ B.51,12⎫
-⎪⎢⎪⎣⎭ C.51,12⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ D.510,2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设A B ､为两个互斥的事件，且()()0,0P A P B >>，则（）
A.()0P AB =
B.()()()P AB P A P B =C .
()1
P A B = D.()()()
P A B P A P B =+ 10.已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 是直线:0l x y +=上一动点，过点P 作直线PA PB ､分别与圆C 相切于点A B ､，则（
）
A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为1
2 B.直线AB 恒过定点31,22⎛⎫-
⎪⎝
⎭C.AB 2
D.四边形ACBP 面积的最小值为2
11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB BB BC M N ===，，分别为棱111,A D AA 的中点，则下列结论正确的是（
）
A.MN //平面1ABC
B.1B D ⊥平面CMN
C.异面直线CN 和AB 所成角的余弦值为
3
3
D.若P 为线段11A C 上的动点，则点P 到平面CMN 的距离不是定值12.对于函数()1
sin sin22
f x x x =+，则下列结论正确的是（）
A.2π是()f x 的一个周期
B.()f x 在[]0,2π上有3个零点
C.()f x 的最大值为
4
D.()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎣⎦
上是增函数
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.
13.以下4幅散点图所对应的样本相关系数1234r r r r ､､､的大小关系为__________.
14.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选
一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）
15.如图，在三棱锥S ABC -中，1,,SA AB BC SA AB BC AB ===⊥⊥，若2SC =，则直线SA 与BC 所成角的大小是
__________.
16.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线H ．双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则1
3
BCE ACB ∠∠=
．①双曲线H 的离心率为________；
②若π
2
ACB ∠=
，||AC =，CE 交AB 于点P ，则||OP =________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.记n S 为数列{}(
)0,N n n a a n *
>∈的前n
项和，已知
.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设11a =，证明：
1223111112
n n a a a a a a ++++< 18.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，若在CD 上存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D
.
（1）求DE 的长；
（2）求平面11AB D 与平面1BB E 夹角的余弦值.
19.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
（1）如果新药有效，把治愈率提高到了80%，求经试验认定该药无效的概率p ；（精确到0.001，参考数据：
12243648101010101C 2C 2C 2C 262201+⨯+⨯+⨯+⨯=）
（2）根据（1）中p 值的大小解释试验方案是否合理.
20.在凸四边形ABCD 中，对角线AC BD ､交于点E ，且,2,4,BE ED AE EC AB AD ====.
（1）若1EC =，求BAD ∠的余弦值；（2）若π
4
ABD ∠=
，求边BC 的长.21.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
3
，上､下顶点分别为,4A B AB =､.过点()0,1E ，且斜率
为k 的直线l 与x 轴相交于点G ，与椭圆相交于C D ､两点.（1）若GC DE =，求k 的值；
（2）是否存在实数k ，使得直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论.22.已知函数()e ()x f x a a =∈R ，2()g x x =．
（1）若()f x 的图像在点（1，f （1））处的切线过（3，3），求函数y =xf （x ）的单调区间；（2）当a >0时，曲线f （x ）与曲线g （x ）存在唯一的公切线，求实数a 的值．
汕头市2023-2024学年度普通高中毕业班期中调研测试
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，能表示集合
{
}220
A x x x =--≤∣与{05}
B x x =<<∣关系的Venn 图是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断.
【详解】因为{
}{
}
2
2012A x
x x x x =--≤=-≤≤∣∣，又{05}B x
x =<<∣，所以{02}A B x
x ⋂=<≤∣，所以A B A ≠ ，A B B ≠I ，A B ⋂≠∅，
根据选项的Venn 图可知选项D 符合.故选：D.
2.已知复数1z -与复数2(1)8i z +-都是纯虚数，则z =（）
A.1i +
B.12i +
C.12i
± D.12i
-【答案】D 【解析】
【分析】设i z a b =+，由题意列出方程组，求解即可.【详解】解：设i z a b =+，
则1(1)i z a b -=-+，()()()2
2
2
2
18i=1i 8i=(+1)218i z a b a b b a ⎡⎤+-++--++-⎣⎦，
由题意可得()()22
100
102180a b a b b a -=⎧⎪≠⎪
⎨+-=⎪
⎪+-≠⎩
,解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-.故选：D.
3.
设22tan22.5,2sin13cos13,1tan 22.5a b c ===-
）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.c b a <<
D.b<c<a
【答案】C 【解析】
【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小.【详解】22tan 22.5tan 4511tan 22.5a ︒
=
=︒=-︒
，2sin13cos13sin 26b =︒︒=︒
，
sin 25c ===︒，
因为sin y x =在090x <<︒时单调递增，所以sin 25sin 26sin 901︒<︒<︒=，即c b a <<.故选：C.
4.为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：70717376787881858990､､､､､､､､､，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（）
A.77
B.78
C.76
D.80
【答案】A 【解析】
【分析】由第p 百分位数计算公式可得答案.【详解】因共10个数据，则00
10404i =⨯=，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数
据与第5个数据的平均数，即7678
772
+=.故选：A
5.已知ABC ，点D 在线段BC 上（不包括端点），向量AD xAB y AC =+ ，12
x y
+的最小值为（
）
A. B.2+
C.
3 D.2
+
【答案】C 【解析】
【分析】由平面向量共线定理的推论得到1x y +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】ABC ，点D 在线段BC 上（不包括端点），
故存在λ，使得BD BC λ=
，即AD AB AC AB λλ-=- ，即()1AD AC AB λλ=+- ，因为向量AD xAB y AC =+
，所以,1y x λλ==-，
可得1x y +=，
0x >，0y >，由基本不等式得
()12122
1233y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭，
当且仅当y =，即21y x ==-时等号成立.
故选：C ．
6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器111ABC A B C -，现往内灌进一些水，设水深为h .将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为11A B C ，如图2，则h =（
）
A.3
B.4
C. D.6
【答案】B 【解析】
【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.【详解】在图1中的几何体中，水的体积为1ABC V S h =⋅△，
在图2的几何体中，水的体积为11111111121
6643
ABC A B C C A B C ABC A B C ABC V V V S S S --=-=⨯-⨯⨯= ，因为12V V =，可得4ABC ABC S h S ⋅= ，解得4h =.故选：B.
7.已知函数()sinπf x x =的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（
）
A.122y f x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭ B.122x y f ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D.()
21y f x =-【答案】D 【解析】
【分析】根据三角函数的变换即可得答案.
【详解】解：由题意可知，图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变，横坐标先缩短12，再向右平移1
2个单位得到的.
所以对应的解析式为()21y f x =-.故选：D.
8.设()0,1a ∈，若函数()(1)x
x
f x a a =++在()0,∞+递增，则a 的取值范围是（
）
A.11,22⎤⎣⎦
B.51,12⎫
-⎪⎢⎪
⎣⎭ C.1,12⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭ D.510,2⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
【分析】把函数()f x 在()0,∞+递增利用导数转化为1ln ln(1)x
a a a a +⎛⎫
≥- ⎪
+⎝⎭
在()0,∞+上恒成立，利用指数函数单调性得ln 1ln(1)
a
a -
≤+，解对数不等式即可得解.
【详解】因为函数()(1)x
x
f x a a =++在()0,∞+递增，
所以()ln (1)ln(1)0x x
f x a a a a '=+++≥在()0,∞+上恒成立，
则(1)ln(1)ln x
x
a a a a ++≥-，即1ln ln(1)x
a a a a +⎛⎫
≥-
⎪+⎝⎭
在()0,∞+上恒成立，由函数1x a y a +⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增得0
1ln 1ln(1)a a a a +⎛⎫=≥- ⎪
+⎝⎭
，又()0,1a ∈，所以()11,2a +∈，所以()ln 10a +>，
所以()ln 1ln 01
a a a ⎧+≥-⎨
<<⎩即()1101
a a a ⎧+≥⎨
<<⎩，解得
1
12
a -≤<，
所以a 的取值范围是1,12⎫
⎪⎪
⎣⎭
.故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设A B ､为两个互斥的事件，且()()0,0P A P B >>，则（）
A.()0P AB =
B.()()()P AB P A P B =
C.()1P A B =
D.()()()
P A B P A P B =+ 【答案】AD 【解析】
【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.【详解】因为A B ､为两个互斥的事件，且()()0,0P A P B >>，所以A B ⋂=∅,即()0P AB =，故A 正确，B 错误；
因为A B ､为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以,A B 也不一定为对立事件，故()P A B ⋃不一定为1，故C 错误；
因为A B ､为两个互斥的事件，所以()()()P A B P A P B =+ ，故D 正确，故选：AD .
10.已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 是直线:0l x y +=上一动点，过点P 作直线PA PB ､分别与圆C 相切
于点A B ､，则（
）
A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为1
2 B.直线AB 恒过定点31,22⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C.AB
D.四边形ACBP 面积的最小值为2
【答案】BC 【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离求解选项A ；利用圆的标准方程和直线恒过定点的求解方法求解选项B ；利用弦长公式求解选项C ；利用切线长公式求解选项D.
【详解】
圆心(2,0)C ，半径1r =，
对A ，圆心(2,0)C 到直线:0l x y +=的距离为
d ==，
所以圆上的点到直线l 距离得最小值为112
-<，
圆上的点到直线l 112
>
，所以圆C 上恰有两个点到l 的距离为1
2，A 错误；
对B ，设(,)P t t -，由题意可知，,A B 都在以PC 为直径的圆上，
又(2,0)C ，所以PC 为直径的圆的方程为2
2
22
2(2)224t t t t x y +-+⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得，()2
2
220x y t x ty t +-+++=，
联立()22
22
(2)1220x y x y t x ty t ⎧-+=⎪⎨+-+++=⎪⎩
可得，(2)320t x ty t -+-+=，即为直线AB 的方程，
即23(2)0
x t x y ----=令23020
x x y -=⎧⎨--=⎩，解得3122,x y ==-，所以直线AB 恒过定点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 正确；
对C ，因为直线AB 恒过定点31,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，当定点31,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭与圆心(2,0)C 的连线垂直于AB 时，圆心(2,0)C 到直线AB 的距离最大，则AB 最小，
定点31,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭与圆心(2,0)C 之间的距离为12
d =，
所以min
AB ==，C 正确；
对D ，四边形ACBP 的面积为PA CA PA =,
根据切线长公式可得，PA =
=
，
当PC 最小时，PA 最小，min PC d ==
，
所以PA 最小值为1，即四边形ACBP 面积的最小值为1，D 错误；故选:BC.
11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB BB BC M N ===，，分别为棱111,A D AA 的中点，则下列结论正确的是（
）
A.MN //平面1
ABC
B.1B D ⊥平面CMN
C.异面直线CN 和AB
所成角的余弦值为
3
D.若P 为线段11A C 上的动点，则点P 到平面CMN 的距离不是定值【答案】AD 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则
()()()()()()()11110,4,0,2,0,0,2,4,0,0,4,4,0,0,4,2,0,4,2,4,4A C D A B C D ，()()
1,4,4,0,4,2M N 对于A ，因为()()11,0,22,0,42NM BC NM ===
，
，所以1//BC MN ，又1BC ⊂平面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，所以MN //平面1ABC ，故A 正确；
对于B ：()()()12,4,41,4,42,4,2B D CM CN =-=-=- ，
，，设平面CMN 的法向量为(),,m x y z = ，则0.0.m CM m CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即440.
2420.
x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩令1z =，则3
2.2x y =-=-，所以平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为1B D 与
32,,12m ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭ 不平行，所以1B D ⊥平面CMN 不成立，故B 错误；
对于C ：()()2,4,20,4,0CN AB =-=-
，
，设异面直线CN 和AB 所成的角为θ
，则cos cos ,3
CN AB CN AB CN AB
θ⋅===⋅
，故C 错误；
对于D ，设()[]()1112,4,00,1A P A C λλλλ==-∈
，所以()1122,44,4CP CA A P λλ=+=--
，
又平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ 所以点P 到平面CMN 的距离
292
m CP d m
⋅==
不是定值.故D 正确.故选：AD
12.对于函数()1
sin sin22
f x x x =+，则下列结论正确的是（）
A.2π是()f x 的一个周期
B.()f x 在[]0,2π上有3个零点
C.()f x 的最大值为334
D.()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎣⎦
上是增函数
【答案】ABC 【解析】
【分析】对于A ，根据周期的定义即可判断；对于B ，令()0f x =即可求得零点；对于CD ，对()f x 求导，令()0f x '=，判断单调性即可.
【详解】对于A ，因为()()()()11
2πsin 2πsin 22πsin sin 222
f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期，A 正确；对于B ，当()1
sin sin 202
f x x x =+
=，[]0,2πx ∈时，sin sin cos 0x x x +=，即sin (1cos )0x x +=，即sin 0x =或1cos 0x +=，解得0x =或πx =或2πx =，所以()f x 在[]0,2π上有3个零点，故B 正确；
对于C ，由A 可知，只需考虑求()f x 在[)0,2π上的最大值即可.
()1
sin sin 2sin sin cos 2
f x x x x x x =+=+，
则()22
cos cos sin f x x x x '=+-22cos cos 1x x =+-，
令()0f x '=，求得1
cos 2
x =或cos 1x =-，所以当π0,
3x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭或5π,2π3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，1cos 12x <<，此时()0f x '>，则()f x 在π5π0,
,,2π33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
上单调递增，当π5π,33x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，11cos 2x -≤<，此时()0f x '≤，但不恒为0，
则()f x 在π5π,33⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，则当π
3
x =时，函数()f x 取得最大值，
为ππ12πsin sin 3323244f ⎛⎫
=+=+=
⎪
⎝⎭
，C 正确；对于D ，由C 可知，()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不是增函数，D 错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.
13.以下4幅散点图所对应的样本相关系数1234r r r r ､､､的大小关系为__________.
【答案】2431r r r r <<<【解析】
【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；
【详解】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以12340,0,0,0r r r r ><，
又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，
故图③④两变量的线性相关程度比较低，即1||r 与2||r 比较大，3||r 与4||r 比较小，所以2431r r r r <<<.故答案为：2431
r r r r <<<14.高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）【答案】9【解析】
【分析】根据选取的必修类课本数量分类即可.
【详解】第一类，只选取一册必修类课本的选法有12
23C C 6=种；第二类，两册必修类课本都选的选法有2
1
23C C 3=种.综上，满足条件的选法共有639+=种.故答案为：9
15.如图，在三棱锥S ABC -中，1,,SA AB BC SA AB BC AB ===⊥⊥，若2SC =，则直线SA 与BC 所成角的大小是__________.
【答案】π3
【解析】
【分析】利用空间向量可得SC SA AB BC =++
，在根据模长可求得12
SA BC ⋅= ，即可求出直线SA 与BC
所成角的大小是π
3
.
【详解】根据题意可得SC SA AB BC =++
，又2SC = ，所以可得()
2
2222222SC SA AB BC
SA AB BC SA AB BC AB SA BC
=++=+++⋅+⋅+⋅
1110024SA BC =+++++⋅=
，即可知12
SA BC ⋅= ，
设直线SA 与BC 所成的角为θ，
则112cos 112SA BC SA BC θ===⨯⋅ ，又[)0,πθ∈，所以π3θ=
.故答案为：
π
3
16.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线H ．双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则1
3
BCE ACB ∠∠=
．①双曲线H 的离心率为________；②若π
2
ACB ∠=
，||AC =，CE 交AB 于点P ，则||OP =________．【答案】①.2
②
.7-【解析】
【分析】①根据图形关系确定2c a =即可求解；利用面积之比
1
sin 21sin 2
ACP
BCP
AC CP ACP AP S S BP BC CP BCP ⋅∠==⋅∠△△，
进而可求出3BP =-，再根据OP OB BP =-求解.【详解】①由题可得,,OA a OB c ==所以2c a =，
所以双曲线H 的离心率为
2c
a
=；
②，因为π
2
ACB ∠=
，且AC BC ==，
所以6AB ==,又因为13BCE ACB ∠∠=
，所以ππ,,36
ACP BCP ∠=∠=所以
13
sin 2211sin 2
2
ACP BCP
AC CP ACP AP
S S BP BC CP BCP
⋅∠===
⋅∠△△，
所以AP =,
因为1)6AB AP BP BP =+==,
解得3BP =-，
所以7OP OB BP =-=-故答案为
:2;7-.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.记n S 为数列{}(
)0,N n n a a n *
>∈的前n
项和，已知
.
（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11a =，证明：
1223111112
n n a a a a a a ++++< 【答案】（1）1(21)n a n a =-⋅（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据题意，得到21n S n a =⋅，得到2n ≥时，2
11(1)n S n a -=-⋅，两式相减可得1(21)n a n a =-⋅，
进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）知1(21)n a n a =-⋅，求得11111
()22121
n n a a n n +=--+，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：由
是公差为
((n n n -=
-21n S n a =⋅，
当2n ≥时，2
11(1)n S n a -=-⋅，
两式相减可得22
1111(1)(21)n n S S n a n a n a --=--=-⋅，即1(21)n a n a =-⋅，
当1n =时，2
11111a S a a ==⋅=，适合上式，所以数列{}n a 的通项公式1(21)n a n a =-⋅.【小问2详解】
解：由（1）知1(21)n a n a =-⋅，当11a =时，21n a n =-，则
111111
()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+，
所以
1223111111111111[(1)(()](1)23352121221
n n a a a a a a n n n ++++=-+-++-=--++ ，因为
1021n >+，所以111
(12212
n -<+，所以
122311111
2
n n a a a a a a ++++< .18.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，若在CD 上存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D
.
（1）求DE 的长；
（2）求平面11AB D 与平面1BB E 夹角的余弦值.【答案】（1）1
2；（2
）39
.【解析】
【分析】（1）建立空间坐标系，设DE a =，令11A E AB ⊥
即可求出a 的值；
（2）求出平面1
BB E 的法向量n ，计算n 和1
A E 的夹角即可得出二面角的大小.【详解】（1）以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：
设DE a =，则(0E ，a ，0)，(1A ，0，0)，1(1A ，0，1)，1(1B ，2，1)，1(0D ，0，1)，
∴1(0AB = ，2，1)，11(1D B =
，2，0)，1(1A E =- ，a ，1)-，
AE ^Q 平面11AB D ，
∴1AB AE ⊥ ，即1210E a A AB ⋅=-= ，解得12
a =，
12
DE ∴=
.（2）由（1）可知1(1A E =- ，1
2，1)-为平面11AB D 的法向量，
(1BE =- ，3
2
-，0)，1(0BB = ，0，1)，
设平面1BB E 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则1·0·0n BB n BE ⎧=⎨=⎩ ，即03
02z x y =⎧⎪
⎨--=⎪⎩
，令2y =可得(3n =-
，2，0)，
1cos A E ∴< ，11·481333913
2
A E A E n n n >===
.∴平面11AB D 与平面1BB E 夹角的余弦值为81339
.
【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）
→指→求（解三角形）；
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m n m n
α⋅=±
（其中,m n
分别是两个
平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）
19.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
（1）如果新药有效，把治愈率提高到了80%，求经试验认定该药无效的概率p ；（精确到0.001，参考数据：
1224364810101010
1C 2C 2C 2C 262201+⨯+⨯+⨯+⨯=）（2）根据（1）中p 值的大小解释试验方案是否合理.【答案】19.0.006p ≈20.试验方案合理
【解析】
【分析】（1）先分析新药无效的情况：10中0人或1人或2人或3人或4人痊愈，由此求解出无效的概率；（2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解.【小问1详解】
设通过试验痊愈的人数为变量X ，则()10,0.8B X ，所以经试验认定该药无效的概率为：
()()()()()()
501234p P X P X P X P X P X P X =<==+=+=+=+=()()()()()()()()
10
9
8
2
7
3
6
4
0123410101010100.20.20.80.20.80.20.80.20.8C C C C C =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()
10
2341234101010100.214444C C C C =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()
10
24681234101010100.212222C C C C =⨯+⨯+⨯++⨯+⨯10
62201
0.0065
=
≈.【小问2详解】
由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为0.006p =，概率很小是小概率事件，故试验方案合理.
20.在凸四边形ABCD 中，对角线AC BD ､交于点E ，且,2,4,BE ED AE EC AB AD ====.
（1）若1EC =，求BAD ∠的余弦值；（2）若π
4
ABD ∠=
，求边BC 的长.
【答案】（1）2
4
-
（2）
102
【解析】
【分析】（1）设BE ED x ==，在ABD △与AED △
中，分别利用余弦定理建立方程求解BD =，然后在ABD △中由余弦定理求解；
（2）在ABD △中由正弦定理得sin 1ADB ∠=，从而求得π
2
ADB ∠=
，进一步利用直角三角形的性质得AE =，5
cos 5
BEC ∠=
，在BCE 中由余弦定理求解即可.【小问1详解】
因为1EC =，所以22,3AE EC AC ===，设BE ED x ==，在ABD △
中，由余弦定理得
(
)2
2
2
2
2
2
224cos 2x AD BD AB ADB AD BD
+-+-∠==
=
⋅
在AED △
中，由余弦定理得
2
222
2
2
22cos 2x AD ED AE ADB AD ED +-+-∠=
==
⋅
22
=
，解得x =BD =
，
在ABD △
中，由余弦定理得
22
2
2
2
2
42cos 24
AB AD BD BAD AB AD
+-+-∠==
=-
⋅；【小问2详解】
在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB
AD
ADB ABD
=∠∠，
所以πsin sin 14AB ADB ABD AD ∠=
∠==，又
ADB ∠为三角形的内角，所以π2ADB ∠=，
所以BD AD ==
，
BE ED ==
AE ==，
所以cos cos 5
ED AED BEC AE ∠=∠=
=
，又122
EC AE ==，在BCE 中，由余弦定理得2222cos BC BE EC BE EC BEC
=+-⋅∠
55
22
2252
=+-⨯=
，所以
2
BC=.
21.设椭圆
22
22
1(0)
x y a b
a b+=>>的离心率为
3
3，上､下顶点分别为
,4
A B AB=
､.过点()
0,1
E，且斜率为k的直线l与x轴相交于点G，与椭圆相交于C D､两点.
（1）若GC DE
=，求k的值；
（2）是否存在实数k，使得直线AC平行于直线BD？证明你的结论.
【答案】（1）
6
3
±
（2）不存在实数k，使得直线AC平行于直线BD，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，列出基本量方程组，进而求出椭圆方程，设()
11
,
C x y，()
22
,
D x y，
直线l方程为1
y kx
=+，直曲联立，结合韦达定理，求出CD的中点横坐标，据题意推出CD的中点即为EG 的中点，列方程即可求出k的值；
（2）据题意，若//
AC BD,则//
AC BD
，进而得到21
3
x x
=-，由（2）得
()
12111
2
2
12111
2
632
23
933
23
k
x x x x x
k
x x x x x
k
⎧
+=-=-=-
⎪⎪+
⎨
⎪=-=-=-
⎪+
⎩
，即()
2
22
2
93
23
23
k
k
k
=
+
+
，即可得出答案.
【小问1详解】
根据题意，
222
3
24
c
e
a
b
a b c
⎧
==
⎪
⎪⎪
=
⎨
⎪=+
⎪
⎪⎩
，解得
2
2
6
4
a
b
⎧=
⎨
=
⎩
，
所以椭圆的方程为
22
1
64
x y
+=，
当0
k=时，直线l方程为1
y=，与x轴无交点，不符合题意；
当0
k≠时，设直线l方程为1
y kx
=+，则
1,0
G
k
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，
设()11,C x y ，()22,D x y ，
由221164y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
得()
2223690k x kx ++-=，
()223636230k k ∆=++>，
所以122623k x x k +=-
+，12
2
9
23x x k =-+
，所以CD 的中点横坐标为2
323k k
-
+，EG 的中点横坐标为1
2k -，又因为GC DE =，且四点共线，取EG 中点H ，则||||EH GH =，
所以||||||||CG GH DE EH -=-，即||||CH DH =，所以H 是CD 的中点，即EG 与CD 的中点重合，即231232k k k -
=-+，解得6
3
k =±
.【小问2详解】
不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意()0,2A ，()0,2B -，
则()11,2AC x y =- ，()22,2BD x y =+
，
若//AC BD ,
则//AC BD
，
所以()()1221220x y x y +--=，化简得()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=，化简得213x x =-，
由（2）得()1211122121112
6322393323k x x x x x k
x x x x x k ⎧
+=-=-=-⎪⎪+⎨⎪=-=-=-⎪+⎩
，
所以12
2123233
23k x k x k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，故()2222932323k k k =++，整理得22332k k =+，无解，所以不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD .22.已知函数()e ()x f x a a =∈R ，2()g x x =．
（1）若()f x 的图像在点（1，f （1））处的切线过（3，3），求函数y =xf （x ）的单调区间；（2）当a >0时，曲线f （x ）与曲线g （x ）存在唯一的公切线，求实数a 的值．【答案】（1）单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞-（2）2
4
e a =【解析】
【分析】（1）先由切线方程求出1
e
a =
，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为()1
1
,e x x a ，()22
2
,x x ，利用分离参数法求出()1
1
12
412
e
e
x x x x
a -==
，()11x >，
构造函数4(1)
()e x
x F x -=，利用导数判断出F （x ）的单调性和最大值，即可求得.【小问1详解】
由()e x f x a =得()e x f x a '=，又1e f a =（）
，所以在x =1处切线方程为()e e 1y a a x -=-，代入（3，3）得1
e
a =所以1()e x y xf x x -==，
1(1)e x y x -'=+，
由0'>y 得1x >-，由0'<y 得1x <-，
所以单调递增区间为(1,)-+∞，单调递减区间为(,1)-∞-．【小问2详解】
设公切线与两曲线的切点为(
)1
1,e
x x a ，()22
2
,x x ，易知1
2x
x ≠，
由11
2
2212
e
e 2x x a x k a x x x -===-，
12222
1222222e 2x x x a x x x x --=-=，
所以2
122222x x x x -=，
由0a >，故20x >，所以212 20x x =->，故11x >，所以()11
12412e e
x x x x a -=
=，()11x >，构造函数4(1)
()e
x
x F x -=
，()1x >问题等价于直线y =a 与曲线y =F （x ）在x >1时有且只有一个交点，4(2)
()e
x
x F x -'=
，当(1,2)x ∈时，F （x ）单调递增；当(2,)x ∈+∞时，F （x ）单调递减；()F x 的最大值为24
(2)e F =，(1)0F =，当x →+∞时，F （x ）→0，24e a =．。