黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二第二学期期中数学

试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知函数f（x）＝x sin x，则f'（π

2

）的值为（）

A．π

2

B．0C．﹣1D．1

2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b＝1，c+d＝1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d 中至少有一个负数”时的假设为（）

A．a，b，c，d全都大于等于0

B．a，b，c，d全为正数

C．a，b，c，d中至少有一个正数

D．a，b，c，d中至多有一个负数

3．（x2−2x）6的展开式中x3的系数为（）

A．90B．160C．﹣160D．﹣120

4．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则x＝x0是函数f（x）的极值点…大前提因为函数f（x）＝x3满足f′（0）＝0，…小前提所以x＝0是函数f（x）＝x3的极值点”，结论以上推理（）

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．没有错误

5．若直线y＝kx﹣2与曲线y＝2lnx相切，则k＝（）

A．3B．1

3

C．2D．

1

2

6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，

额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

2√2

3

=√223，3√38=√338，4√415=√4415，5√524=√5524

则按照以上规律，若8√8

n

=√88n具有“穿墙术”，则n＝（）A．7B．35C．48D．63

7．（理）∫1

(√1−(x−1)2−x2)dx的值是（）

A．π

4

−

1

3

B．

π

4

−1C．

π

2

−

1

3

D．

π

2

−1

8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）

A．48B．72C．90D．96

9．已知a∈R，函数f（x）=1

3x

3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，

若函数g（x）=f′(x)

x

，则（）

A．g（x）在（1，+∞）上有最大值

B．g（x）在（1，+∞）上有最小值

C．g（x）在（1，+∞）上为减函数

D．g（x）在（1，+∞）上为增函数

10．某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）

A．A42•C42B．1

2

A62•C42

C．A62•C42D．2A62

11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=

2S

a+b+c，

类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（）

A．

V

S1+S2+S3+S4

B．

2V

S1+S2+S3+S4

C．

3V

S1+S2+S3+S4

D．

4V

S1+S2+S3+S4

12．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

A．f(1

k

)＜1k B．f(1k)＞1k−1

C．f(

1

k−1

)＜1k−1D．f(1k−1)＞k k−1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax+By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为．

14．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N*）时，从“n＝k”到“n＝k+1”的证明，左边需增添的代数式是．

15．若函数f（x）＝x2e x﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围是．

16．已知多项式（2x2+3x+1）（x﹣2）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a7﹣a6+a5﹣a4+a3﹣a2＝．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．从6名运动员中选出4人参加4×100接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：

（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；

（2）甲、乙二人不都跑中间两棒．

18．已知函数f（x）=1

3

x3−ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10＝0，

求

（1）实数a ，b 的值；

（2）函数f （x ）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值． 19．已知在二项式(√x 3

+

1

2√x

3

)n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．

（1）求正整数n 的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项；

20．已知数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，且S n 是2a 与﹣2na n 的等差中项，其中a 是不等于零的常数． （1）求a 1，a 2，a 3；

（2）猜想a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 21．已知函数f （x ）＝xe x ﹣ln （x +l ）﹣x ．

（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）证明：函数f （x ）在区间（0，1）内有且只有一个零点． 22．已知函数f （x ）＝mlnx +1

2x 2−2x ，m ∈R ．

（1）求f （x ）的单调递增区间；

（2）若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f （x 1）﹣ax 2≥0恒成立，求实数a 的取值范围．