浙江省慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题

浙江省慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二数学上学期期
中联考试题
1、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
个是满足题意的。

）
1.空间中一点到平面的距离为（ ）
(2,3,1)A -XOY A ．2 B ．3 C ．1
2.(,3)43104
230P a x y x y 若点到直线的距离为，且在不等式表示的平面区域-+=+->内，则点P 的横坐标是( )
A ．
B ．
C ． D. 73-或73-73
-或3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（
m n αβ）
A ．若，，则
B ．若，，，则
//m α//n α//m n //αβm α⊂n β⊂//m n
C ．若，，，则
D ．若，，，则
m αβ= n ⊂αn m ⊥n β⊥m α⊥//m n n β⊂αβ
⊥4.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则
M(,)x y 220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
的最小值为( )y x
A. 2
B. 1
C.
D. 13-
12-5.直线和直线平行，则（ ）1l 1:(3)453a x y a ++=- 2l 2:2(5)8x a y ++=
a =A ． B ． C ． D ． 71--或1-71或7
-6．长方体中，,为中点，则异面直线
1111ABCD A B C D -11,2AA AD AB ===E 11A B 与所成角为（ ）
1AD BE A. B. C. D.30°45︒60︒90︒
7.已知点在圆221:O x y +=外, 则直线与圆的位置关系是（ ）
(,)M a b 1ax by +=O
A ．相交 B.相切 C.相离 D.不确定
8.已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
:l y x m =+x =m
A ． B. C ． D. 2,⎡-⎣(2⎤--⎦2,⎡⎣(2⎤-⎦
9.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且
S ABCD -ABCD ,其中，，分别是，，
=SA SB SC SD ==E M N BC CD 的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：
SC P MN ①；②；③面；④面，
EP ⊥AC //EP BD //EP SBD EP ⊥SAC 其中恒成立的为（ ）
A ．①③
B ．③④
C ．①④
D ．②③10.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为
0104422=---+y x y x 0:=+by ax l ,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
22l A. B. C. D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,12ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）
11.直线的斜率为 ；倾斜角的大小是 ．
310x +=12.已知方程表示圆，则圆心坐标为 ；实数的取值范围
22
220x y x y m ++++=m 是 ．
13.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称
为邪。

在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔的长分别为1,3，正
P ABCD -ABCD CD AB ，
广长为， 平面，则邪田的邪长为 ；邪所在直线与AD PD ⊥ABCD ABCD 平面 所成角的大小为 ．PAD 2214.10230x y C x y x y C
++=+=++=直线被圆：所截得的弦长为____;由直线上的一点向圆
引切线，切线长的最小值为 .
15.已知，满足约束条件若的最小值为-1，则= .
0a >,x y ()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩
2z x y =+a 16.如图所示，有一条长度为1的线段，其端点，在
MN M N 边长为4的正方形的四边上滑动，当点绕着正方形的
ABCD N 四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹长度为______.
MN P 17.在中，已知
ABC △AB =，，
26BC =045ABC ∠=-D AC ABD BD A BCD A
∆是边上一点，将沿折起，得到三棱锥。

若该三棱锥的顶点在底=,BCD M BC BM x x
面的射影在线段上，设则的取值范围为____.三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
18.(本题14分）已知平面内两点．
(8,6)(22)A B -，，（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
(2,3)P -AB l （2）一束光线从点射向（1）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方
B l A 程．
19．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，，
P ABCD -PA ⊥ABCD 2AB BC ==，，
.为线段的中点.
AD CD ==PA =120ABC ︒∠=G PC （1）证明：面BD ⊥PAC
（
2）求与平面所成的角的正弦值;
DG APC
20.(本题15分）已知圆，直线过定点.22
:68210C x y x y +--+=l ()1,0A （1）若与圆C 相切，求的方程；
l l （2）若与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形面积的最大值，并求此时的直线方程.
l CPQ l 21．（本题15分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，
PD ABCD 为的中点，，四边形
,2ADC BAD F π
∠=∠=PA 12,12PD AB AD CD ====为矩形，线段交于点.
PDCE PC DE N （1）求证：平面；
AC A DEF （2）求二面角的正弦值；
A P
B
C --（3）在线段上是否存在一点，使得与平面
EF Q BQ 所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
BCP π
6FQ 22、若圆经过坐标原点和点，且与直线相切, 从圆外一点向该圆引
C )0,6(1=y C ),(b a P 切线,为切点，
PT T （Ⅰ）求圆的方程；
C （Ⅱ）已知点，且， 求点的轨迹方程，并判断点是否总在某一定
)2,2(-Q PQ PT =P P 直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；
l l （Ⅲ）若（Ⅱ）中直线与轴的交点为,点是直线上两动点，且以为
l x F N M ,6=x N M ,直径的圆 过点，圆是否过定点？证明你的结论.
E F E
2019学年第一学期高一高二期中六校联考
高二数学学科参考答案
一、选择题
CBDCD CABAB
二、填空题
11
12、 13、6π()1,1,2m --<4,6
π14
15
、 16、 17、
3212π+三．解答题18.解：（1） 由题得 ……………… 2分624823
AB k --==--由点斜式 ………………4分43(2)3
y x +=--∴直线的方程 ……………… 5分
l 4310x y ++=（2）设关于直线的对称点
(2,2)B l (,)B m n '∴ ……8分
232422431022
n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪⨯+⨯+=⎪⎩解得 ……… 10分1458
5m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴， ……… 12分148(,)55B '--86115142785B A k '-+
==-+由点斜式可得，整理得116(8)27
y x +=--1127740x y ++=∴反射光线所在的直线方程为 …14分
1127740x y ++=19.解：（1）取中点,因为，，
AC O AB BC =AD CD =所以 ……3分
,CA BO CA OD CA BD ⊥⊥∴⊥
因为平面,平面所以， ……5分
PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为平面,平面,,
PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A = 所以面 ……7分
BD ⊥PAC ,,.
OG BD PAC BD OG DG PAC DGO ⊥⊥∠（2）法一：连结由（1）平面可得与平面所成角为 ……10分
分1,2G O PC AC OG PA ∴= 分别是，的中点，因为,，所以,2AB BC ==120
ABC ︒∠=1AO OC BO ==
=因为，所以, ……12分
7AD CD ==2DO = ……14分43tan 3
DO Rt DGO
DGO GO ∴∆∠===在中，419sin DGO ∴∠=因此与平面. ……15分
DG APC 419
法二：以为坐标原点，,平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角
O ,BD AC PA ,,x y z 坐标系，则因为,，所以,因为
2AB BC ==120ABC ︒∠=3,1AO OC BO ===，所以,
7AD CD =
=2DO =因此 (10)
分
(1,0,0),(2,0,0),(0,(0,B D C A P -从而为平面一个法向量， (12)
(3,0,0)
DB =
APC
分
G DG =
cos ,
DG DB <>==
因此与平面. ……15分
DG APC 20.解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得()()22344
x y -+-=∴圆心，半径. …………………… 2分
()3,4C 2r =①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意． ……………… 4分
l 1x =②若直线斜率存在，设直线，即.
l :(1)l y k x =-0kx y k --=∵与圆相切.∴圆心到已知直线的距离等于半径2，
l C ()3,4C l
…………………5分
2解得 . ……6分34
k =∴综上，所求直线方程为或． …………7分
1x =3430x y --=（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为.
0kx y k --=则圆心到直线l 的距离 ……………… 8分21d k =
+又∵面积 ……10分CPQ ∆()22242144242S d d d d d =
⋅⋅-=-=--+∴当. …………12分2d =
max 2S =由 …………14分
221d k ==+17k k ==或∴直线方程为或. ……………… 15分
10x y --=770x y --=21.解：（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，
PDCE N PC FN 在中，分别为的中点，所以，……2分
PAC A ,F N ,PA PC FN AC ∥因为平面，平面，
FN ⊂DEF AC ⊄DEF
所以平面. ……4分
AC A DEF （2）易知两两垂直，如图以为原
,,DA DC DP D 点，分别以所在直线为轴，建
,,DA DC DP ,,x y z
立空间直角坐标系. ……5分
则，所以
.
(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B
C (1,1,,(1,1,0)PB BC ==-
设平面的法向量为，
PBC (,,)m x y z = 则即
解得(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩
0,0,x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪
⎩,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩
令，得1x
=1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以平面的一个法向量为. ……7分
PBC m = 设平面的法向量为，
ABP (,,)n x y z = ，据此可得 ，
(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,2)0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ 201x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩则平面的一个法向量为， ……8分ABP ()
2,0,1n = ， ……10分226cos ,11221
m n +<>==++⋅+ 故二面角. ……11分
A P
B
C --3
（3）设存在点满足条件.由，
Q 12,(0,2)
2F E ⎛ ⎝设，整理得
，(01)FQ FE λλ
= ……1,22Q λλ⎛-
⎝则
. ……12分1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝ 因为直线与平面所成角的大小为，BQ BCP
6π所以
1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅ 解得， ……14分 2
1λ=
由知，即点与重合.
01λ……1λ=Q E
故在线段上存在一点，且
. 15分EF Q FQ EF ==22.解：（Ⅰ）设圆心由题易得 ………… 1分
),(n m C 3=m 半径， ……………… 2分
291n n r +=-=得， ………… 3分
4-=n 5=r 所以圆的方程为 …………4分
C 25)4()3(22=++-y x （Ⅱ）由题可得 ………………5分
CT PT ⊥ 所以 …………７分
25)4()3(2222-++-=-=b a CT PC PT ……………… ８分
22)2()2(++-=b a PQ 所以 整理得25)4()3(22-++-b a 22)2()2(++-=b a 042=+-b a 所以点总在直线上 ………… ９分
P 042=+-y x （Ⅲ） ………… １０分
)0,4(-F 由题可设点，,
),6(1y M ),6(2y N 则圆心，半径 ………… 1１分2
,6(21y y E +221y y r -=从而圆的方程为 ………… 1２分E 4
)(2()6(2
212212y y y y y x -=+-+-整理得
036)(12212122=+++--+y y y y y x y x 又点在圆上，故 得 ………… 1３分 F E 0=⋅→→FN FM 10021-=y y 所以0
64)(122122=-+--+y y y x y x 令得， ………… 1４分
0=y 064122=--x x 所以或16=x 4
-=x 所以圆过定点和 …………１５分E )0,16()0,4(-。