中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《圆的切线证明》测试卷-附带答案
学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________
1．如图 在ABC 中 6,8,10AB BC AC === 以AB 为直径作O 交AC 于点F 连接CO 并延长 分别交O 于D E 、两点 连接,BE BD ．
(1)求证：BC 是O 的切线
(2)求证：2BC CD CE =⋅
(3)求ABE ∠的正切值．
2．如图 ABC 是圆内接三角形 过圆心O 作OE AC
⊥ 连接OA
过点C 作CD ∥AO 交BA 的延长线于点D 45AOE ∠=︒．
(1)求证：DC 是O 的切线
(2)如果8BC CF ⋅= 求O 半径的长度．
3．如图 AB 为O 的直径 点C 在O 上 EAC CAB ∠=∠ 直线CD AE ⊥于点D
交AB 的延长线于点F ．
(1)求证：直线CD 为O 的切线
(2)当1
tan 2F = 4CD =时 求BF 的长．
4．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．
(1)求证：直线AD是O的切线
(2)若AE BC
⊥垂足为M O的半径为10 求AE的长．
5．如图ABC内接于O AB是O的直径D为AC的中点连接OD并延长交O于点E过点E作AC的平行线交BA的延长线于点F连接BE与AC交于点G．
(1)求证：EF是O的切线
(2)若12
EF=
5
sin BAC
∠=求CG的长．
6．如图 Rt ABC 中 90ABC ∠=︒ 以点C 为圆心 CB 为半径作C D 为C 上一点 连接AD CD AB AD = AC 平分BAD ∠．
(1)求证：AD 是C 的切线
(2)延长AD BC 相交于点E 若:2:1ED DA = 求tan BAC ∠的值．
7．如图 点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点 且AC CE
= 连接AE 交CD 于点O
以点O 为圆心 OD 为半径作,O O 交线段AO 于点F ．
(1)求证：AC 是O 的切线
(2)
若2AB = 求阴影部分的面积．
8．如图 在菱形ABCD 中 DH AB ⊥于H 以DH 为直径的O 分别交AD BD 于点E F 连接EF ．
(1)求证：①CD 是O 的切线
①DEF DBA ∽
(2)若5AB = 6DB = 求sin DFE ∠．
9．如图 已知 AB 是О☉的直径 PB AB ⊥ 连接OP 弦AD OP ∥ 直线PD 交直线AB 于点C 2CD PB =．
(1)证明：直线PD 是O ☉的切线
(2)求sin OPB ∠的值．
10．如图 以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O 交斜边AC 于点D
过圆心O 作OE AC ∥
交BC 于点E 连接DE .
(1)求证：DE 是O 的切线
(2)求证：22DE CD OE =⋅.
11．如图 AB 为O 的直径 AC 是O 的一条弦 作BAC ∠的角平分线与O 相交于点D
过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线上于点E 延长线段AB ED 、交于点F 连接DA DB 、．
(1)求证：DE 是O 的切线
(2)若10AB = 45AD = 求BF ．
12．如图 已知点C 是以AB 为直径的半圆上一点 D 是AB 延长线上一点
过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E 连结CD 且CD ED =．
(1)求证：CD 是O 的切线
(2)若tan 2DCE ∠= 1BD = 求O 的半径．
13．如图1 在ABC 中 90ACB ∠=︒ ABC ∠的平分线交AC 于点E 过点E 作BE 的垂线交AB 于点F BEF △的外接圆O 与CB 交于点D ．
(1)求证：AC 是O 的切线
(2)若9BC = 3EH = 求O 的半径长
(3)如图2 在（2）的条件下 过C 作CP AB ⊥于P 求CP 的长．
14．如图 点P 是O 外一点 PA 切O 于点A AB 是O 的直径
连接OP
过点B 作BC OP ∥交O 于点C 连接AC 交OP 于点D ．
(1)求证：PC是O的切线
(2)若
16
cm
3
PD=8cm
AC点E是AB的中点连接CE求CE的长．
15．如图AB是O的直径点C在O上．
(1)尺规作图：在弦BC的右侧作BCD CAB
∠=∠交AB的延长线于点D（保留作图痕迹不写作法）
(2)在（1）所作的图中
①求证：CD是O的切线
①若2
BD OB
=求tan CAB
∠的值．
参考答案：
1．（1）证明：在ABC中
2222
68100
AB BC
+=+=
2210100AC
222AB BC AC ∴+=
ABC ∴是直角三角形 90ABC ∴∠=︒ AB 是O 的的直径
BC ∴是O 的切线 （2）证明：DE 是直径 90EBC ∴∠=︒
90EBO OBD ∴∠+∠=︒ 90CBD OBD ∠+∠=︒ EBO CBD ∴∠=∠
OE OB =
E EBO ∴∠=∠
E CBD ∴∠=∠
BCD BCE ∠=∠（公共角） BCD ECB ∴∽
BC CD CE BC
∴= 即2BC CD CE =⋅ （3）由（2）得2()BC CD CD DE =+ 即(6)64CD CD +=
解这个方程 得3CD =-+3CD =-
3CD ∴=-BCD ECB ∽
BD CD BE BC ∴==连结,AE AD
AB 与DE 都是O 的直径
AB ∴与DE 互相平分
∴四边形AEBD 为平行四边形
AE BD ∴=
在Rt ABD 中
733tan AE BD ABE BE BE -∠=== 2．（1）证明：连接OC
①45AOE ∠=︒ OA OC = OE AC ⊥
①290AOC AOE ∠=∠=︒ ()118090452
OAC ∠=
︒-︒=︒ ①CD AO ∥
①18090OCD AOC ∠=︒-∠=︒
即CD OC ⊥
①OC 是O 的半径
①DC 是O 的切线．
（2）解：由（1）可知=90AOC ︒∠ 45OAC ∠=︒ ①1452ABC AOC ∠=∠=︒ ①45ABC OAC ∠=∠=︒
①BCA ACF =∠∠
①ABC FAC ∽ ①BC AC AC CF
= 即2AC BC CF =⋅ ①8BC CF ⋅=
①28AC =
①由勾股定理得2228OC AC ==
解得：2OC =（负值舍去）
①O 半径的长度为2．
3．（1）证明：连接OC BC
OA OC =
CAO ACO ∴∠=∠
EAC CAB ∠=∠
DAC ACO ∴∠=∠
OC AD CDAD
OC DF ∴⊥ OC 是O 的半径
∴直线CD 为O 的切线
（2）解：
1tan 2F = ∴12
OC CF = 设OC x = 则2CF x = AO OB x ==
OF ∴=
OC AD
AFD OFC ∴∽ ∴CF OF DF AF
=
∴25245x x x x x
++ 25x ∴=1025BF OF OB ∴=-=-
4．（1）证明：如图 连接OA
30AEC ∠=︒
∴30B AEC ∠=∠=︒ 260AOC AEC ∠=∠=︒
AB AD =
∴30D B ∠=∠=︒
∴18090OAD AOC D ∠=︒-∠-∠=︒
OA 是O 的半径 且AD OA ⊥
∴直线AD 是O 的切线．
（2）解：
BC 是O 的直径 且AE BC ⊥于点M
∴AM EM =
90AMO ∠=︒ 60AOM ∠=︒
∴30OAM ∠=︒ ∴12
OM OA = 11052=⨯= ∴2222105AM OA OM -=-53∴2253AE AM ==⨯=3
5．（1）证明：①AC 是O 的弦 OE 是O 的半径 D 为AC 的中点
①OE AC ⊥．
①EF AC ，
①OE EF ⊥ 即90OEF ∠=︒．
①OE 是O 的半径
①EF 是O 的切线
（2）解：如解图 连接AE ．
①EF AC ∥
①F BAC ∠=∠
即sin sin F BAC =∠=
OE OF ∴=
设OE = 则5OF x =．
在Rt OEF △中 222OE EF OF +=
①222)12(5)x +=
解得x =（负值已舍去） ①6OE =
①6OA =
在Rt AOD 中 sin OD OA BAC =∠=
①AD = 6DE OE OD =-=．
在Rt ABC △中 sin BAC ∠=
212AB OA ==
①sin BC AB BAC AD =∠=
=． 在BCG 和ADE 中
90CBG DAE BC AD
BCG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=
⎩
①BCG ADE ≌ ①656CG DE == 6．（1）证明：AC 平分BAD ∠
BAC DAC ∴∠=∠．
又AB AD = AC AC =
()SAS BAC DAC ∴≌
90ADC ABC ∴∠=∠=︒
CD AD ∴⊥
即AD 是C 的切线
（2）由()1可知 90EDC ABC ∠=∠=︒
又E E ∠=∠
EDC EBA ∴∽．
①:2:1ED DA =
2EDC ADC S
S ∴= 且BAC DAC ≌△△ :1:2EDC EBA S S ∴=
:2DC BA ∴=DC CB =
:2CB BA ∴=2tan CB BAC BA ∴∠==． 7．（1）解：过点O 作OG AC ⊥ 交AC 于点G
①正方形ABCD
①DA CB ∥ OD AD ⊥
①∠=∠DAE AEC
①AC CE =
①EAC AEC ∠=∠
①EAC DAE ∠=∠
①OD OG =
①点G 在O 上
①AC 是O 的切线
（2）解：①正方形ABCD
①45OCG DAC ∠=∠=︒
2DC AB ==
①OD OG =
设OD a = 则OC =
①(12DC a == 解得：2a =
①2OD a == ①114522.522
EAC DAE DAC ∠=∠=∠=⨯︒=︒ ①9022.567.5DOA ∠=︒-︒=︒
()
22167.5π167.5π23
222π236023604ABC DOF OD S S S DA OD ⨯=-=⨯⋅-=⨯⨯-=-阴影扇形
故答案为：324
-π． 8．（1）证明：①①①四边形ABCD 是菱形
①AB CD ∥
①DH AB ⊥
①90CDH DHA ∠=∠=︒
①CD OD ⊥
①D 为O 的半径的外端点
①CD 是O 的切线
①连接HF
①DF DF =
①DEF DHF ∠=∠
①DH 为O 直径
①90DFH ∠=︒
①90DHF BDH ∠=︒-∠ ①90DHB ∠=︒
①90DBA BDH ∠=︒-∠
①DHF DBA DEF ∠=∠=∠ ①EDF BDA ∠=∠
①DEF DBA ∽
（2）解：连接AC 交BD 于G ．
①在菱形ABCD 中 6BD = ①AC BD ⊥ AG GC = 132DG GB BD === ①在Rt AGB △中 2222534AG AB GB -- ①28AC AG == ①12
ABCD S AC BD AB DH =
⋅=⋅菱形 即18652DH ⨯⨯=⋅ ①245DH = ①DEF DBA ∽
①DFE DAH ∠=∠ ①24
245sin sin 525
DH DFE DAH AD ∠=∠===． 9．（1）证明：如图所示 连接OD ①PB AB ⊥
①90OBP ∠=︒
①OA OD =
①OAD ODA ∠=∠
①AD OP ∥
①OAD BOP ODA DOP ==∠∠，∠∠ ①DOP BOP ∠=∠
又①OD OB OP OP ==， ①()SAS DOP BOP ≌
①90ODP OBP ∠=∠=︒ ①OD CD ⊥
又①OD 是O 的半径
①直线PD 是O ☉的切线
（2）解：①DOP BOP ≌△△ ①PD PB =
①2CD PB =
①3PC PD =
①3PC PB =
①AD OP ∥
①CAD COP △∽△ ①
23AC CD OC CP ==
①2AC OA =
①44BC OA OB ==
在Rt PBC 中 由勾股定理得222PC PB BC =+ ①()()22234PB PB OB =+ ①2PB OB = ①225OP OB PB OB + ①5
sin OB OPB OP ==∠
10．（1）
证明：连接OD BD
①AB 是O 的直径
①90ADB BDC ∠=∠=︒. ①OE AC ∥ OA OB = ①BE CE =
①DE BE CE ==
①DBE BDE ∠=∠.
①OB OD =
①OBD ODB ∠=∠
①90ODE OBE ∠=∠=︒ ①点D 在O 上
①DE 是O 的切线.
（2）证明：①90BCD ABC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ ①BCD ACB ∽△△ ①BC
CD
AC BC =
①2BC CD AC =⋅.
由（1）知
1
2 DE BE CE BC ===
①2
4DE CD AC
=⋅.
由（1）知OE是ABC是中位线
①2
AC OE
=
①2
42
DE CD OE
=⋅
①2
2DE CD OE
=⋅.
11．（1）证明：连接OD
BAC
∠的角平分线与O交于点D
CAD BAD
∴∠=∠
OA OD
=
BAD ADO
∴∠=∠
CAD ADO
∴∠=∠
AC DO
∴∥
DE AC
⊥
90
E
∴∠=︒
90
ODF E
∴∠=∠=︒
OD DE
∴⊥
OD是O的半径
DE
∴是O的切线
（2）如图过点D作DM AB
⊥于点M
AB为O的直径
90ADB ∴∠=︒
1045AB AD ==，
2225BD AB AD ∴=-=1122
ABD S AD BD AB DM =⋅=⋅ 45254AD BD DM AB ⋅⨯∴=
== 228AM AD DM ∴=-
设BF x =
BAC ∠的角平分线与O 交于点D DE AC DM AB ⊥⊥， DE DM ∴=
CD BD ∴=
在Rt AED △和Rt AMD △中 AD AD DE DM =⎧⎨=⎩
()Rt Rt HL AED AMD ∴≌ AE AM ∴=
4DM =
4DE DM ∴==
8AM =
8AE AM ∴==
90F F ODF E ∠=∠∠=∠=︒， FDO FEA ∴△∽△
OD OF AE AF
∴= 55810x x +∴=+ 解得：103
x = 103
BF ∴=． 12．（1）解：连接OC
①CD DE = OC OA =
①DCE E ∠=∠ OCA OAC ∠=∠ ①ED AD ⊥
①90ADE ∠=︒ 90OAC E ∠+∠=︒ ①90DCO ∠=︒
①CD 是O 的切线
（2）解：连接BC
①CD DE =
①DCE E ∠=∠
①tan 2DCE ∠=
①tan 2E =
①ED AD ⊥
在Rt EDA △中 2AD ED
= 设O 的半径为x 则OA OB x ==, ①1BD =
①21AD x =+ ①212x ED
+= ①12ED x CD =+
= ①CD 是O 的切线
①2·CD BD AD = 即：()2
11212x x ⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭ 解得：32x =或12x =-（舍） 故答案为：O 的半径为32
． 13．（1）
证明：连接OE 如图所示：
OB OE =
ABE OEB ∴∠=∠ BE 平分ABC ∠
ABE CBE ∴∠=∠
OEB CBE ∴∠=∠
①OE BC ∥
90OEA ACB ∴∠=∠=︒ AC 经过O 的半径OE 的外端 且AC OE ⊥ AC ∴是O 的切线
（2）
解：如图 作OG BD ⊥于点G 则90OGB OGC ∠=∠=︒
90C OEC ∴∠=∠=︒
∴四边形OECG 是矩形 CG OE OB == BE 平分ABC ∠ EC BC ⊥ EH BA ⊥ 3OG EC EH ∴===
9BC =
99BG CG OB ∴=-=-
222OG BG OB +=
()2
2239OB OB ∴+-= 5OB ∴=
∴O 的半径长为5．
（3）
解：连接OE 如图所示：
由（2）得：5OE OF == 3EC EH == ①EH AB ⊥
①4OH ==
在Rt OHE △中 45
cos OH EOA OE ∠=
= 在Rt EOA 中 4cos 5OE EOA OA ∠== ①52544
OA OE ==
①154AE == ①1527344AC AE EC =+=
+=
①
2545
5
44
AB OB OA
=+=+=90
ACB
∠=︒
①ABC的面积
11
22
AB CP BC AC =⨯=⨯
①
27
927
4
455
4
BC AC
CP
AB
⨯
⨯
===．
14．1）证明：如图连接OC
PA切O于点A
∴OA PA
⊥
∴90
PAO
∠=︒
OP BC
∥
∴AOP OBC
∠=∠COP OCB
∠=∠
OC OB
=
∴OBC OCB
∠=∠
∴AOP COP
∠=∠
在PAO和PCO
△中
OA C
AOP COP
OP OP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
SAS
PAO PCO
≌
∴90
PAO PCO
∠=∠=︒
∴OC PC
⊥
∴PC是O的切线
（2）连结AE BE作BH CE
⊥于H如图
AB 是O 的直径
∴90ACB AEB ∠=∠=︒
OP BC ∥
∴PO AC ⊥
142
AD CD AC ∴=== 在Rt PAD △中
PA APO DPA ∠=∠
∴Rt Rt PAD POA ∽△△
∴ PA PO PD PA =∶∶ 即201620333PO =∶∶ 解得253
PO = ∴3OD PO PD =-=
AO BO = ∥OD BC
∴26BC OD ==
在Rt ACB △中
10AB =
点E 是AB 的中点
1452
BCE ACE ACB ∴∠=∠=∠= ∴AE BE =
∴BCH 和ABE 都是等腰直角三角形
252BE AB ∴==在Rt BEH △中 ()()22523242EH =-=324272CE CH EH ∴=+= 15．（1）如图所示 BCD ∠为所求．
（2）①连接OC
OA OC =
∴CAO ACO ∠=∠ CAO BCD ∠=∠
∴ACO BCD ∠=∠
AB 是O 的直径
∴90ACB ∠=︒
∴90ACO OCB BCD OCB ∠+∠=∠+∠=︒ 即OC CD ⊥
∴CD 是O 的切线
①设OB a = 则2BD a = OA OC a == 4AD a = 在Rt OCD △中 ()2222322CD OD OC a a a =--= BDC ADC ∠=∠ BCD CAD ∠=∠
∴BDC CDA ∽ ∴222BC CD a AC AD ==∴在Rt ABC △中 2tan BC CAB AC ∠==．。