2弱条件下的三维向量场

三维非调和向量场的数学方法基础
Dichen Yu 窦姸 Department of Mathematics
Chang ’an University 6 Yanta Road, Xi ’an 710054, China
内容提要： 我们在《超变函数论与场论的关系》一文中，称滿足散度0div A =、旋度rot A =0、
副冲量度A vdbi =0的向量场A 为调和场；在《关于三维调和向量场的完备数学观念》一文中，我们给出了三维调和场中的三个相应的函数---势函数、流函数及副沖量函数，并且构建了由正交的等势面、等流面、等副沖量面围成的“屋式网格”。

现在， 对于三维非调和向量场，如何计算其势函数、流函数、副冲量函数？“屋式网格”将是什么样
子？对此，在本文中我们只做一些初步的探讨。

在讨论中提供的方法原则，可以作为研究较复杂的三维非调和场的基础。

关键词：、三维调和场、三维非调和场，势函数，流函数，副冲量函数；屋式网格，副沖量度，势量管，流量管，副冲量管。

分类号： 一， 前言
我们知道，由于目前的物理学缺少三维流函数的解析表达式，更不知道在三维向量场中尙存在有副沖量度A vdbi 及副冲量函数。

因而，目前物理学在处理三维向量场问题時就缺乏有力的数学基础。

我们在《关于三维调和向量场的完备数学观念》一文中所讨论的是三维调和场的情况；本文将对三维非调和场进行研究。

讨论非调和场是一个庞大的‘工程’，涉及的分类很多，我们只就A =a div （常数），
rot A =0及A vdbi =0的情况做出讨论。

但是，讨论中使用的方法、原理己经为讨论各类非调和场提供了原则性的依据。

可以这样说，发生在三维向量场中的诸现象，在本文的基础上已经获得了坚实的数学基础。

往下的讨论需要引用下列材料（见参考文献【3】）： 1． 副沖量度的表达式为
A vdbi i j k =
z y x z y x
x y z A A A A A A ∂
∂∂
∂∂∂--- （а） 其中场A i j k x y z A A A =++.
2． 三维调和场中的势函数、副冲量函数、流函数的表达式
设A i j k x y z A A A =++，则由0A rot =可得势函数
6M
x y z M u A dx A dy A dz =++⎰； （ь）
由vdbi A =0，可得副冲量函数
0()()()M
z y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =-+-+-⎰；
（с） 由u 、w 可得流函数
(,,)(
)()()M
M w u u w w u u w w u u w
v x y z dx dy dz y z y z z x z x x y x y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∴=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎰ （d ） 二，二维向量场
1，二维调和向量场的主要结论
设有二维向量場A ＝A x i ＋A y j 在平面某区域内，0A ∂∂=
-
=∂∂y x
A A rot x
y
时，,可导出向量場A 的势函数(,)x y ϕ=0+⎰M
x y M A dx A dy ；当在该区域内，0A ∂∂=+=∂∂y
x A A div x y 时，可导出向量場A 的流函
数(,)x y ψ=
-+⎰
M
y x M A dx A dy
并且势函数(,)x y ϕ、流函数(,)x y ψ 满足下列偏微分方程组
x y y
x ϕψϕψ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 于是可知，在无源无旋平面向量场中，有三个重要结论：
（1）0rot =A 对应平面向量场的势函数(,)x y ϕ； 0div =A 对应平面向量场的流函数(,)x y ψ。

（2）流函数和势函数是共轭调和函数。

换句话说，在平面向量场中，存在有流函数和势函数，它们满足复变函数论中的C-R 条件。

（3）设有向量场A=B+C ，，则当（见定理1） 0div =A 时，有
()ψA =()ψB +()ψC ；
这里，符号()ψA 表示向量场A 的流函数; ()B ψ、()B ψ分别表示向量场B 、C 的流函数.
我们认为上面的结论同样适合三维向量场。

2，二维非调和向量场 现在，若当
A y
x A A div a x y ∂∂=+=∂∂；0A ∂∂=-=∂∂y x A A rot x y
時，如何求向量场A ＝A x i ＋A y j
的势函数与流函数？（这里假定A 的两个分量、都具有一阶连续的偏导数，今后就不再声明了）。

为此，作向量场ξ＝（x A ax -）i 十 y A j 【注：也可令ξ＝()i j x y A A ay +-】则有 ()0y
x A A ax div x y
∂∂-=
+=∂∂ξ，
此式表明用向量场ξ代替向量场A 時，向量场ξ是无源场；又可以计算得0rot rot ==ξA ，由此可知向量场ξ为无旋场。

于是可知，向量场ξ为调和场。

由于0rot rot ==ξA ，所以向量场ξ的势函数与向量场A 的势函数相同（可以相差一个常数），即为
()φA =()φξ=0
+⎰M
x y M A dx A dy
向量场ξ的流函数则可由下式给岀，即
()ψξ=0
()M
y x M A dx A ax dy -+-⎰， （*）
向量场ξ＝（x A ax -）i 十 y A j 与向量场A 有何关系？即，向量场ξ的流函数
()ψξ是否与向量场A 的流函数()ψA 相同呢？为此，有
定理1. 设有向量场A=B+C ，，则当
（1）0div =A 时，有
()ψA =()ψB +()ψC ；
（2）0rot =A 时，有
()φA =()φB +()φC
这里，符号()ψA 、()φA 分别表示向量场A 的流函数和势函数，余类同。

证明：设A= A x i ＋A y j ，B=B x i ＋B y j ，C= C x i ＋C y j ，由 A=B+C ，可得
x x x A B C =+，y y y A B C =+。

于是，因向量场A 为调和场，故有
（1）()ψA =
M
y x M A dx A dy -+⎰
=
M
y x M B dx B dy -++
⎰
M
y x M C dx C dy -+⎰
=()ψB +()ψC ，
（2）()φA =
M
x y M A dx A dy +⎰
=
M
x y M B dx B dy ++⎰
M
x y M C dx C dy +⎰
=()φB +()φC
定理证毕。

由ξ＝（x A ax -）i 十 y A j =（x A i 十 y A j ）—（ax i 十 0j ）=A —1A ，其中
0ax =+1A i j ，则据定理1，有
()ψξ==()ψA —()ψ1A
对向量场0ax =+1A i j ，因其div a =1A ，故按（*）式有
1()0()0M
M dx ax ax dy ψ=+-=⎰A
所以， ()ψξ=()ψA 故知， ()ψA =
()M
y x M A dx A ax dy +-⎰
由向量场ξ＝（x A ax -）i 十 y A j 与向量场A 的等效性，我们得出非调和向量场A 的势函数及流函数分别为
()φA =0
+⎰M
x y M A dx A dy 及
()ψA =0
()M
y x M A dx A ax dy +-⎰
这一将非调和向量场转化为调和向量场的方法，立即可推广到三维非调和向量场的研究中去。

【注的解释：很易证明，当22222222
,0a x y x y
ϕϕψψ
∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂时，应选择 ξ＝（x A ax -）i 十 y A j 】
三，三维非调和向量场的基本定理
先提出两个今后的论述所需要的定理。

定理2：设有
向量场A i j k x y z A A A =++及x y z B B B =++B i j k ，则
1）(A+B)=A+B div div div 2）(A+B)=A+B rot rot rot 3）(A +B)vdbi =A +B vdbi vdbi 前两个结论巳经是共识，现只需证明3）
(A +B)=vdbi
()()()()()()
i j k Z z Y y X x Z z Y y X x x y z
A B A B A B A B A B A B ∂∂∂
∂∂∂+-++-++-+
=
i j k z y x z y x x y z A A A A A A ∂∂∂∂∂∂---+i j k z y x z y x
x y z B B B B B B ∂
∂∂
∂∂∂---=A +B vdbi vdbi
定理3：设有向量场A i j k x y z A A A =++及i j k x y z B B B =++B ，并假设其各自的
三个分量在空间某区域内具有一阶连续的偏导数，则当在该区域内，
1. 当(A+B)=o rot 时，有
(,,)u x y z （A+B ） =(,,)u x y z （A ） +(,,)u x y z （B ）
2. (A+B)=o div 则
(,,)v x y z （A+B ） =(,,)v x y z （A ） +(,,)v x y z （B ）
， 3，当(A +B)vdbi =0時，有
(,,)w x y z （A+B ） =(,,)w x y z （A ） +(,,)w x y z （B ）
， 其中
(,,)w x y z （A+B ）表向量场A 与B 之和的副冲量函数，(,,)w x y z （A ） 及(,,)
w x y z （B ），分别表向量场A 、B 的副沖量函数；(,,)u x y z （A+B ）表向量场A 及B 之和的势函数，(,,)u x y z （A ）及 (,,)u x y z （B ）分别表向量场A 、B 的势函数；(,,)v x y z （A ）、(,,)v x y z （B ）分别表向量场A 、B 的流函数。

证明：
该定理前两个结论是二维向量场相应概念的自然延伸,只需证明第三个结论.
(,,)(()()][()()][()()] A+B)M
z Z y Y x X z z y y x x M w x y z A B A B dx A B A B dy A B A B dz
=+-+++-+++-+⎰=
()()()M
z y x z y x M A A dx A A dy A A dz -+-+-⎰
+
()()()M
z y x z y x M B B dx B B dy B B dz -+-+-⎰
=(,,)w x y z （A ） +(,,)w x y z （B ）.
四，一类三维非调和向量场的研究
设有向量场A i j k x y z A A A =++，我们将讨论A div a =，A =0rot ，A vdbi =0这一类情况。

该向量场为非调和向量场.我们只有将其转化为调和场,方可寻求该向量场的势函数、流函数、副冲量函数、
为此，则可将
A y x z
A A A div a x y z
∂∂∂=
++=∂∂∂变为 ()0y x z
A A ax A x y z ∂∂-∂++=∂∂∂，
（1） 做新的向量场
ξ＝（x A ax -）i +y A j +k z A ，
即
ξ=1A+A （2）
其中1A i ax =- 则其散度
()0y x Z A A ax A div div a x y z
∂∂-∂=++=-=∂∂∂ξA ; (3)
rot ξ=
()()(
)()()()()()A =0y
y x x z Z y
y x x z Z A A A ax A ax A A y z z x x y A A A A A A rot y z z x x y ∂∂∂-∂-∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-=∂∂∂∂∂∂i j k i j k (4)
,向量场ξ也是无旋场。

由(3)及(4)式知，向量场ξ为无源、无旋场。

故由rot ξ=0知
=(ξ)u
()M
x y z M A ax dx A dy A dz -++⎰
1，关于向量场A 的结论：
（1）由A =0rot 知，向量场A 的势函数为
6M
x y z M A dx A dy A dz ++⎰(A)=u (5-1)
（2）由A =0vdbi 知，向量场A 的副冲量函数为
()()()()A M
z y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =
-+-+-⎰
（5-2）
至此，(5-1)、(5-2)两式即为向量场A 的势函数及副冲量函数。

今后我们的主要任务是如何寻求向量场A 的流函数。

为此，我们将向量场A 转化为与其等效的向量场ξ的研究。

2，关于向量场ξ的结论：
（1）由rot ξ=0知，向量场ξ的势函数为
=(ξ)u
()M
x y z M A ax dx A dy A dz -++⎰
（5-3）
（2）0div =ξ知，向量场ξ是无源场；并且，对ξ=1A+A 应用定理3之（2）可得
11()()()()A A A A v v v v =+=+ξ (5-4)
其中, 1A i ax =- 可视为二维场1A i +0j ax =- 。

则由（*）式知，向量场1A 的流函
数
1()A v =0
0()2M
M d x a x a x d y a
x y +--=-⎰
故知，
1()()()()2A A v v v v axy =-=+ξξ （5-5） 现在要研究向量场ξ是否为无副冲量场？
向量场 ξ＝（x A ax -）i +y A j +k z A 的副沖量度
=vdbi ξ
()()
i j k Z Y
X z
Y X x y
z
A A A ax A A A ax ∂∂∂∂∂∂-----=
i j k Z Y
X z
Y X
x y z A A A A A A ∂∂∂
+∂∂∂---0i j k x y z ax ax
∂∂∂
∂∂∂-=A -vdbi （ a j a +k ），令 η=az ay -j-k
则 v d b i η=
a a x y z ay az
ay az
∂
∂∂
=+∂∂∂-+-j k i j k 。

移项后得出
vdbi vdbi ξ+η=A vdbi =0， （6）
（6）表明, 向量场ξ已不是无副冲量场. 3，转化为向量场ς
再令ς=ξ+η=（x A ax -）i +()y A az j -+(k z A -ay)
则由定理1知
vdbi vdbi vdbi vdbi vdbi ς=(ξ+η)=ξ+η=A =0. (7-1)
由（7）式可知，向量场ς为无副冲量场。

因向量场ς与向量场A 的副冲量度相同、且为零，故二者的副沖量函数相同。

即
w(ς)=0
()()()()A M
z y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =
-+-+-⎰
（7-2）
向量场ς是否是我们希望的三维调和向量场？
由定理1可知，因ς=ξ+η，所以
=rot rot rot ςξ+η
又可算出
00
i
j k rot x y z az ay
∂
∂∂
=∂∂∂--η=
.
即=rot rot ςξ=0，
故知，向量场ς是无旋场，且向量场ς的势函数与向量场ξ的势函数相同（可以相差一个任意常数），即
=
(ξ)ςu()=u 0
()M
x y z M A ax dx A dy A dz -++⎰
又由定理1可计算出
ς=div =ξdiv +ηdiv =0（因为已计算过,=0ξdiv ;现又可算出0=ηdiv ）
可见，向量场ς是无源场。

故有结论：
（1） 向量场ς是三维调和向量场.
且目前由=rot rot ςξ=0就可知
=
(ξ)ςu()=u 0
()M
x y z M A ax dx A dy A dz -++⎰
（
9-1） 其积分路径可选图1的方式
图1
(ξ)u()=u ς各偏导数相同且分别为
()x u A ax x ∂=-∂ς ； ()
u y
∂=∂ςy A ； ()Z u A z ∂=∂ς (9-2)
由(7)式,vdbi vdbi ς=A =0就可知向量场ς的副冲量函数与向量场A 相同. 按（с）式有
w(ς)=0()()()()A M
z y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =-+-+-⎰，且
()Z y w A A x ∂=-∂ς ()
x z w A A y
∂=-∂ς ()w z ∂∂ςy x A A =- （9-3） (2)因为w(η)=0
22
()22
M M a a ay az dx aydy azdz y z c -++-=
-+⎰， 于是
w(ξ)=
w(ς)
-w(η)=
()()()M
z y x z y x M A A dx A A dy A A dz
-+-+-⎰
—
22()22
a a
y z c -+ （10） （10）式计算的是向量场ξ的副冲量函数。

w(ξ)的各偏导数分别为
()w x ξ∂=∂z y A A -；()w y
ξ∂=∂x z A A ay -- ；()
w z ξ∂=∂y x A A az -+
由（
d ）式, 向量场ς的流函数为
(
)()()M
M w u u w w u u w w u
u
d x d y d z y z y z z x z x x y x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎰()v ς (11) 其中,
u z ∂∂为()u z ∂∂ς的简记;w y ∂∂为()w y
∂∂ς的简记，余者皆然。

即，只需将（9-2）、（9-3）式填于上式，向量场ς的流函数()v ς就可求出。

现在，我们的任务就剩下去揭示向量场ς的流函数与向量场A 的流函数的 关系，并由此求取向量场A 的流函数。

4，向量场A 的流函数 由（5-5）式先知，
21()()()()A A v v v v ax =-=+ξξ （**）
再对ς=ξ+η应用定理3之2，得
()()()v v v =+ςξη
所以
()()()v v v =-ξςη （12）
前面己给出
a z
a y =-j-k η 它可视为在 yoz 平面的向量且0y z
div y
z
ηηη∂∂=
+
=∂∂ 于是，可导出向量場η的流函数
()v =
η0M
z y M dy dz ηη-+⎰=0M z
y M dy dz ηη-+⎰=22
1122ay az - 于是
()()v v =ξς—（2211
22
ay az -） （13）
将此结果填入（**）式，终于将向量场A 的流函数求出来了。

这里显然还存在一个问题：
在非调和三维向量场中，由等势面、等副沖面、等流面构成的“屋式网格”将有无变化？
首先，非调和场三维向量场的等势面、等副沖面、等流面不再正交；其次，在《关于三维调和向量场的完备数学观念》一文的定理3的结论仍然成立，即
在三维调和场内通过“屋式网格”每一格的势量等于两等势面的值差与两副冲量面的值差之积；通过“屋式网格”每一格的副冲量等于两流面的值差与两势面的值差之积；通过 “屋式网格”每一格的流量等于两流面的值差与两副沖量面的
值差之积。

[例题] 设有向量场A= ()()()x y z x y z x y z ++++++i+j+k ，其中
先判断场的性质 ，
A div =3y x z A A A x y z
∂∂∂++=∂∂∂ ；A =0rot ；A vdbi =0；于是，由（5-1）式得向量场A 的势函数（在图1上进行下面的积分）。

62221()111222
A M
x y z M u A dx A dy A dz x xy y xz yz z c =++=++++++⎰ 再由（5-2）式计算向量场A 的副沖量函数
0()()()()A M z y x z y x M w A A dx A A dy A A dz =
-+-+-⎰ =0+2c
=2c 由(9-3)式
0()()()()()A M
z y x z y x M w w A A dx A A dy A A dz ==-+-+-⎰ς 所以,()ςw =2c ;同时(A)w =2c
故知, 现在(11)式中的()ςw 的各偏导数为零
所求的
()v ς=3c
为求向量场A 的流函数，做新的向量场
ξ＝（3x A x -）i +y A j +k z A
=（2y z x +-）i ()()x y z x y z +++++j+k
由(**)式知,
21()()()()3A A v v v v x =-=+ξξ
由（13）式
()()v v =ξς—（221122ay az -）=3c -（223322
y z -） 于是,例示的三维向量场的流函数
2
12223()()()()333322A A v v v v x x y z c =-=+=-++ξξ
小结：例示向量场的
势函数为
2221()
111222
A u x xy y xz yz z c =++++++ 副冲量函数为
(A)w =2c
流函数为
2223()
33322
A v x y z c =-++ 如此，就可以作出该向量场的“屋式网格”的一个格。

很容易验证，此时构成“屋式网格”的各曲面不再正交。

顺便提及，本例中(A)w =2c 何意？
盖因，等流面
2223()33322
A v a
x y z c a =-++= 即
2223133322
x y z a c a -
+=-= 是个单叶椭园双曲面，其“屋式网格”的一个格只需再由等势面 2222111222
x xy y xz yz z a +++++= 封堵上即可，故而(A)w =2c .
后记
由本文所给诸定理知，散度、旋度、副冲量度具有线性可加性，因而对较复杂的三维非调和场皆可处理。

即在本文提供的方法基础上，出现的各类情况都是可以（结合数值法）解决的。

参考文献
[1] Dichen Yu, The Discussion on Theory of Super-variable Function , Int. J. Appl. Math. Stat.; V ol.
13; No. S08; September 2008; 95-113, ISSN 0973-1377 (Print), ISSN 0973-7545 (Online); Copyright. 2008 by IJAMAS, CESER
[2] Dichen Yu, Four Equivalent Propositions of Super-variable Function, Int. J. Appl. Math. Stat.;
V ol. 13; No. S09
[3] Dichen Yu, The Relationship between <Theory of Super-variable Function> and <The Field
Theory>, Int. J. Appl. Math. Stat.; V ol. 13; No. S10
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PUBLISHING COMPANY, INC. 1972.
[5] Group of Mathematics Mechanics, Theory of Complex Variable Function, Peking University, The People’s Education Press, 1958
[6] Lin Jianzhong, etc. Hydromechanics, Press of Tsinghua University, April, 2005
[7] Zheng Qiayu, Lu Zhongqi, Hydromechanics, Department of Thermal Engineering, Tsinghua
University, Mechanical Industry Press, 1st Version, March, 1980, P87-P91。