专题14导数概念及运算--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版 )

专题14导数概念及运算--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力

1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．

2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 的导数．

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 二、教学建议

从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 三、自主梳理 知识点1．导数的概念

1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率

为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即.

2．函数f (x )的导函数

称函数为f (x )的导函数．

知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式

000

0()()lim

lim x x f x x f x y

x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim

lim x x f x x f x y

f x x x

∆→∆→+∆-∆==∆∆0

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-=∆

2．导数的运算法则

（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识点3．函数在处的导数几何意义

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 四、高频考点+重点题型

例1-1（常见函数及它们的和差积商的求导）

(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e

4，则a ＝________.

例1-2（复合函数求导） 设函数 f(x)＝ln 1＋2x .，则f ′(x)=

例1-3（ 理解f ′(x 0)与f (x )区别与联系 ）

（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数()()3

2

12f x x f x '=-+，则()2f =（ ）

A ．2-

B ．

10

3

C ．6

D ．14

2

()'()()'()()

'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢

⎥⎣⎦

()y f x =0

x x =

对点训练1. (2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.

对点训练2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2022(x )＝( )

A ．－sin x －cos x

B ．sin x －cos x

C ．－sin x ＋cos x

D ．sin x ＋cos x

对点训练3.(2021·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1

x ，则f (1)＝( ) A.－e

B.2

C.－2

D.e

考点二、求切线方程

例2-1（已知切点的切线问题）

（2020·新课标∈）函数43()2f x x x =-的图像在点(1

(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+

例2-1（不知切点的切线问题）

（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____，切线方程为

对点训练1.（2021·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线e ln x

y a x x =+在

xOy

点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-

对点训练2．（2021·重庆高三其他模拟）曲线()2

ln 2f x x x x x =+-+在点()

()

0,x f x ()00x >处的切线恰好经过坐标原点，则0x =___________.

对点训练3.（2021·湖南永州市·高三其他模拟）已知函数()2

ln f x x x =+，点P 为函数()

f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)

考点三、两只曲线的公切线问题 例3-1.（两函数的公切线）

（2021·天津耀华中学）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．

例3-2（与圆锥曲线的公切线）

（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=1

5

都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1

B ．y =2x +

12

C ．y =

1

2x +1 D ．y =

12x +12

对点训练1.（2021·全国高三其他模拟（理））与曲线

()211

224f x x x b =

++和()3ln g x x

=