高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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②当21a－1>0 即 0<a<21时，函数 f(x)在(－1,0)和21a－1，＋∞
上单调递增，在0，21a－1上单调递减，f(x)在 x＝0 处取得 极大值，且 f(0)＝0， 要使对任意实数 b∈(1,2)，当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的最
大值为 f(b)，只需 f(1)≥0，解得 a≥1－ln2，又 0<a<12，
所以此时实数 a 的取值范围是 1－ln2≤a<1.
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③当21a－1<0 即 a>21时，函数 f(x)在－1，21a－1和(0，＋∞) 上单调递增，在21a－1，0上单调递减，若存在实数 b∈(1,2)， 使得当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的最大值为 f(b)，需 f21a－1 ≤f(1)，
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根据图象可得到高度与时间的函数关系．设运动员在空中运 动时可视为质点，那么如何来求运动员跃起的最大高度呢？
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新知导学 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值条件 假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)图象是___一__条__连__续__不__停_ 曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值步骤 (1)求函数y＝f(x)在_(_a_，__b_)__内极值． (2)将函数y＝f(x)___各__极__值_与端点处______函__数__值__f(_a_)，__f(b)
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比较，其中_最__大___一个是最大值，____最__小一个是最小 值．
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预习自测 1．若函数 f(x)＝－x4＋2x2＋3，则 f(x) ( B ) A．最大值为 4，最小值为－4 B．最大值为 4，无最小值 C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
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【解析】 f ′(x)＝－4x3＋4x，由 f ′(x)＝0 得 x＝±1 或 x＝0. 易知 f(－1)＝f(1)＝4 为极大值也是最大值，故应选 B．
e－2a－b.
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学科关键素养 函数最值综合应用 函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参 数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数 法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助 导数求值．
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例 3 设函数 f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0). (1)求函数 f(x)的最小值 h(t)； (2)在(1)的条件下，若 h(t)<－2t＋m 对 t∈(0,2)恒成立， 求实数 m 的取值范围．
当 x＝31时，y＝2227；当 x＝1 时，y＝2， 所以函数的最小值为－1，选 C．
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(2)已知函数 f(x)＝x3－3x，x∈R. ①求 f(x)的单调区间； ②当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值. 解：①f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0，当－1<x<1 时，f′(x)<0.
极小值－8 递增 －1
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可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为32. 【答案】32
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4．已知 f(x)＝－x2＋mx＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就 是函数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是__(_－__4_，__－__2_)_. 【解析】 f ′(x)＝m－2x，令 f ′(x)＝0，得 x＝m2 . 由题设得－2<m2 <－1，故 m∈(－4，－2)．
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规律总结 将证实或求解不等式问题转化为研究一个函数最值问题 能够使问题处理变得轻易． 普通地，若不等式a≥f(x)恒成立，a取值范围是a≥[f(x)]max； 若不等式a≤f(x)恒成立，则a取值范围是a≤[f(x)]min.
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跟踪练习 3 已知函数 f(x)＝ln(x＋1)＋ax2－x(a∈R)． (1)当 a＝14时，求函数 y＝f(x)的单调区间； (2)若对任意实数 b∈(1,2)，当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的 最大值为 f(b)，求 a 的取值范围．
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命题方向1 ⇨求函数最值
例 1 (1)y＝x3＋x2－x＋1 在区间[－2,1]上的最小值为( C )
A．2227
B．2
C．－1
D．4
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【解析】 y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
令 y′＝0 解得 x＝31或 x＝－1. 当 x＝－2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝2；
∴f f
′(－1)<0， ′(1)<0，
∴33－ ＋22aa－ －aa22<<00， ，
∵a>0，∴a>3.
(3)∵a∈[3,6]，∴a3∈[1,2]，－a≤－3， 22/47
又 x∈[－2,2]，∴当 x∈[－2，a3)时，f ′(x)<0，f(x)单调递 减，当 x∈(3a，2]时，f(x)单调递增，故 f(x)的最大值为 f(2) 或 f(－2)．
1.3.3 函数最大（小）值与导数
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情景导入 蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现 杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种．蹦床有“空 中芭蕾”之称．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上 蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员跃起的高度， 训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹 性网所受的压力， 并在计算机上作出压力－时间图象，
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解：(1)当 a＝41时，f(x)＝ln(x＋1)＋41x2－x，
则
f
′(x)＝x＋1 1＋12x－1＝2
x(x－1) x＋1
(x>－1)，
令 f ′(x)>0，得－1<x<0 或 x>1；令 f ′(x)<0，得 0<x<1，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，
单调递减区间为(0,1)．
(2)由题意 f ′(x)＝x[2ax－x＋(11－2a)](x>－1)，
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1°当 a≤0 时，函数 f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上 单调递减，此时，不存在实数 b∈(1,2)，使得当 x∈(－1， b]时，函数 f(x)的最大值为 f(b)． 2°当 a>0 时，令 f ′(x)＝0，有 x1＝0，x2＝21a－1， ①当 a＝12时，函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，显然符合 题意．
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t (0,1)
1
(1,2)
g′(t) ＋
0
－
g(t)
极大值
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1， 又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一极值点，
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∴函数g(t)极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内最大值 g(t)max＝1. h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立， 即g(t)<m在(0,2)内恒成立， 当且仅当g(t)max＝1<m，即m>1时上式成立， ∴实数m取值范围是(1，＋∞)．
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2．若 1、3 为函数 f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b、c∈R)的两个极
值点，则曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为
(A) A．8
B．6
C．4
D．0
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【解析】 f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3是方程 f ′(x)＝0两个实根，∴b＝－百度文库，c＝3，∴f ′(－1)＝8， 故选A．
∴最大值为29，最小值为－5207.
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命题方向2 ⇨含参数函数最值问题
例 2 设函数 f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在 x∈[－1,1]内没有极值点，求 a 的取值范围； (3)若对任意的 a∈[3,6]，不等式 f(x)≤1 在 x∈[－2，2]上恒 成立，求 m 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2x(x－a)＋(x2－4) ∴f′(－1)＝－2(－1－a)＋(1－4)＝0，∴a＝12.
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(2)f′(x)＝2x(x－12)＋(x2－4)＝0，解 x＝－1 或 x＝43，
在[－2，－1]上为减函数；在[－1，34]上为增函数，
[43，2]上为减函数，
f(－2)＝0，f(－1)＝92，f(43)＝－5207，f(2)＝0，
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代入化简得 ln(2a)＋41a＋ln2－1≥0， ① 令 g(a)＝ln(2a)＋41a＋ln2－1(a>12)， 因为 g′(a)＝1a1－41a>0 恒成立， 故恒有 g(a)>g12＝ln2－12>0，所以 a>12时，①式恒成立， 综上，实数 a 的取值范围是[1－ln2，＋∞)．
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而 f(2)－f(－2)＝16－4a2<0， f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m， 又∵f(x)≤1 在[－2,2]上恒成立， ∴－8＋4a＋2a2＋m≤1， 即 m≤9－4a－2a2，在 a∈[3,6]上恒成立， ∵9－4a－2a2 的最小值为－87， ∴m≤－87.
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规律总结 求函数最值四个步骤：第一步求函数定义域；第二步 求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x) 改变表；第四步求极值、端点值，确定最值． 尤其警示：不要忽略将所求极值与区间端点函数值比 较．
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跟踪练习 1 已知 a 为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若 f′(－1)＝0. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
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所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 递减区间为(－1,1)． ②由①知 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2， f(x)的极小值为 f(1)＝－2，又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18. 所以 f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2.
规律总结
1.因为参数取值范围不一样会造成函数在所给区间上单
调性改变，从而造成最值改变，故含参数时，需注意是
否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上
极值及函数在区间端点处函数值，经过比较它们大小，
判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参
数，进而使问题得以处理．
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跟踪练习 2 已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718 28… 为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x) 在区间[0,1]上的最小值．
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解：g(x)＝ex－2ax－b，∴g′(x)＝ex－2a
当 a≤21时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(0)＝1－b；
当12<a<2e时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(ln(2a))
＝2a－2aln(2a)－b；
当 a≥2e时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(1)＝
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课堂验收
1．函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在[－2,1]上的最大值、最小
值分别是 ( A )
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3．已知函数 f(x)＝x3－12x＋8 在区间[－3,3]上的最大值与
最小值分别为 M，m，则 M－m＝______. 【解析】令f ′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，列表得：
x
－3
(－3， －2)
－2
(－2,2)
2
(2,3) 3
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
递减
f(x) 17 递增 极大值24
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解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f(x)最小值为f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1， 由g′(t)＝－3t3＋2＝0及t>0，得t＝1， 当t改变时，g′(t)，g(t)改变情况以下表：
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解：(1)∵f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x－a3)(x＋a)，
又 a>0，∴当 x<－a 或 x>a3时，f ′(x)>0；
当－a<x<a3时，f ′(x)<0.
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a3，＋∞)，
单调递减区间为(－a，3a)．
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(2)由题设可知，方程 f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0 在[－1，1]上 没有实根，
②当21a－1>0 即 0<a<21时，函数 f(x)在(－1,0)和21a－1，＋∞
上单调递增，在0，21a－1上单调递减，f(x)在 x＝0 处取得 极大值，且 f(0)＝0， 要使对任意实数 b∈(1,2)，当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的最
大值为 f(b)，只需 f(1)≥0，解得 a≥1－ln2，又 0<a<12，
所以此时实数 a 的取值范围是 1－ln2≤a<1.
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③当21a－1<0 即 a>21时，函数 f(x)在－1，21a－1和(0，＋∞) 上单调递增，在21a－1，0上单调递减，若存在实数 b∈(1,2)， 使得当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的最大值为 f(b)，需 f21a－1 ≤f(1)，
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根据图象可得到高度与时间的函数关系．设运动员在空中运 动时可视为质点，那么如何来求运动员跃起的最大高度呢？
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新知导学 1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值条件 假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)图象是___一__条__连__续__不__停_ 曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值步骤 (1)求函数y＝f(x)在_(_a_，__b_)__内极值． (2)将函数y＝f(x)___各__极__值_与端点处______函__数__值__f(_a_)，__f(b)
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比较，其中_最__大___一个是最大值，____最__小一个是最小 值．
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预习自测 1．若函数 f(x)＝－x4＋2x2＋3，则 f(x) ( B ) A．最大值为 4，最小值为－4 B．最大值为 4，无最小值 C．最小值为－4，无最大值 D．既无最大值，也无最小值
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【解析】 f ′(x)＝－4x3＋4x，由 f ′(x)＝0 得 x＝±1 或 x＝0. 易知 f(－1)＝f(1)＝4 为极大值也是最大值，故应选 B．
e－2a－b.
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学科关键素养 函数最值综合应用 函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时，求参 数的取值范围问题，这是一种常见题型，主要应用分离参数 法，然后转化为求函数的最值问题，在求最值时，可以借助 导数求值．
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例 3 设函数 f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0). (1)求函数 f(x)的最小值 h(t)； (2)在(1)的条件下，若 h(t)<－2t＋m 对 t∈(0,2)恒成立， 求实数 m 的取值范围．
当 x＝31时，y＝2227；当 x＝1 时，y＝2， 所以函数的最小值为－1，选 C．
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(2)已知函数 f(x)＝x3－3x，x∈R. ①求 f(x)的单调区间； ②当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值. 解：①f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0，当－1<x<1 时，f′(x)<0.
极小值－8 递增 －1
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可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 故答案为32. 【答案】32
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4．已知 f(x)＝－x2＋mx＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就 是函数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是__(_－__4_，__－__2_)_. 【解析】 f ′(x)＝m－2x，令 f ′(x)＝0，得 x＝m2 . 由题设得－2<m2 <－1，故 m∈(－4，－2)．
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规律总结 将证实或求解不等式问题转化为研究一个函数最值问题 能够使问题处理变得轻易． 普通地，若不等式a≥f(x)恒成立，a取值范围是a≥[f(x)]max； 若不等式a≤f(x)恒成立，则a取值范围是a≤[f(x)]min.
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跟踪练习 3 已知函数 f(x)＝ln(x＋1)＋ax2－x(a∈R)． (1)当 a＝14时，求函数 y＝f(x)的单调区间； (2)若对任意实数 b∈(1,2)，当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的 最大值为 f(b)，求 a 的取值范围．
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命题方向1 ⇨求函数最值
例 1 (1)y＝x3＋x2－x＋1 在区间[－2,1]上的最小值为( C )
A．2227
B．2
C．－1
D．4
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【解析】 y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
令 y′＝0 解得 x＝31或 x＝－1. 当 x＝－2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝2；
∴f f
′(－1)<0， ′(1)<0，
∴33－ ＋22aa－ －aa22<<00， ，
∵a>0，∴a>3.
(3)∵a∈[3,6]，∴a3∈[1,2]，－a≤－3， 22/47
又 x∈[－2,2]，∴当 x∈[－2，a3)时，f ′(x)<0，f(x)单调递 减，当 x∈(3a，2]时，f(x)单调递增，故 f(x)的最大值为 f(2) 或 f(－2)．
1.3.3 函数最大（小）值与导数
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情景导入 蹦床(Trampoline)是一项运动员利用从蹦床反弹中表现 杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种．蹦床有“空 中芭蕾”之称．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上 蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员跃起的高度， 训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹 性网所受的压力， 并在计算机上作出压力－时间图象，
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解：(1)当 a＝41时，f(x)＝ln(x＋1)＋41x2－x，
则
f
′(x)＝x＋1 1＋12x－1＝2
x(x－1) x＋1
(x>－1)，
令 f ′(x)>0，得－1<x<0 或 x>1；令 f ′(x)<0，得 0<x<1，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，
单调递减区间为(0,1)．
(2)由题意 f ′(x)＝x[2ax－x＋(11－2a)](x>－1)，
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1°当 a≤0 时，函数 f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上 单调递减，此时，不存在实数 b∈(1,2)，使得当 x∈(－1， b]时，函数 f(x)的最大值为 f(b)． 2°当 a>0 时，令 f ′(x)＝0，有 x1＝0，x2＝21a－1， ①当 a＝12时，函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，显然符合 题意．
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t (0,1)
1
(1,2)
g′(t) ＋
0
－
g(t)
极大值
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1， 又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一极值点，
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∴函数g(t)极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内最大值 g(t)max＝1. h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立， 即g(t)<m在(0,2)内恒成立， 当且仅当g(t)max＝1<m，即m>1时上式成立， ∴实数m取值范围是(1，＋∞)．
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2．若 1、3 为函数 f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b、c∈R)的两个极
值点，则曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为
(A) A．8
B．6
C．4
D．0
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【解析】 f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3是方程 f ′(x)＝0两个实根，∴b＝－百度文库，c＝3，∴f ′(－1)＝8， 故选A．
∴最大值为29，最小值为－5207.
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命题方向2 ⇨含参数函数最值问题
例 2 设函数 f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在 x∈[－1,1]内没有极值点，求 a 的取值范围； (3)若对任意的 a∈[3,6]，不等式 f(x)≤1 在 x∈[－2，2]上恒 成立，求 m 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2x(x－a)＋(x2－4) ∴f′(－1)＝－2(－1－a)＋(1－4)＝0，∴a＝12.
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(2)f′(x)＝2x(x－12)＋(x2－4)＝0，解 x＝－1 或 x＝43，
在[－2，－1]上为减函数；在[－1，34]上为增函数，
[43，2]上为减函数，
f(－2)＝0，f(－1)＝92，f(43)＝－5207，f(2)＝0，
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代入化简得 ln(2a)＋41a＋ln2－1≥0， ① 令 g(a)＝ln(2a)＋41a＋ln2－1(a>12)， 因为 g′(a)＝1a1－41a>0 恒成立， 故恒有 g(a)>g12＝ln2－12>0，所以 a>12时，①式恒成立， 综上，实数 a 的取值范围是[1－ln2，＋∞)．
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而 f(2)－f(－2)＝16－4a2<0， f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m， 又∵f(x)≤1 在[－2,2]上恒成立， ∴－8＋4a＋2a2＋m≤1， 即 m≤9－4a－2a2，在 a∈[3,6]上恒成立， ∵9－4a－2a2 的最小值为－87， ∴m≤－87.
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规律总结 求函数最值四个步骤：第一步求函数定义域；第二步 求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x) 改变表；第四步求极值、端点值，确定最值． 尤其警示：不要忽略将所求极值与区间端点函数值比 较．
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跟踪练习 1 已知 a 为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若 f′(－1)＝0. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
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所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 递减区间为(－1,1)． ②由①知 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2， f(x)的极小值为 f(1)＝－2，又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18. 所以 f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2.
规律总结
1.因为参数取值范围不一样会造成函数在所给区间上单
调性改变，从而造成最值改变，故含参数时，需注意是
否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上
极值及函数在区间端点处函数值，经过比较它们大小，
判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参
数，进而使问题得以处理．
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跟踪练习 2 已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718 28… 为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x) 在区间[0,1]上的最小值．
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解：g(x)＝ex－2ax－b，∴g′(x)＝ex－2a
当 a≤21时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(0)＝1－b；
当12<a<2e时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(ln(2a))
＝2a－2aln(2a)－b；
当 a≥2e时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min＝g(1)＝
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课堂验收
1．函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在[－2,1]上的最大值、最小
值分别是 ( A )
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3．已知函数 f(x)＝x3－12x＋8 在区间[－3,3]上的最大值与
最小值分别为 M，m，则 M－m＝______. 【解析】令f ′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，列表得：
x
－3
(－3， －2)
－2
(－2,2)
2
(2,3) 3
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
递减
f(x) 17 递增 极大值24
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解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f(x)最小值为f(－t)＝－t3＋t－1， 即h(t)＝－t3＋t－1. (2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1， 由g′(t)＝－3t3＋2＝0及t>0，得t＝1， 当t改变时，g′(t)，g(t)改变情况以下表：
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解：(1)∵f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x－a3)(x＋a)，
又 a>0，∴当 x<－a 或 x>a3时，f ′(x)>0；
当－a<x<a3时，f ′(x)<0.
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(a3，＋∞)，
单调递减区间为(－a，3a)．
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(2)由题设可知，方程 f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0 在[－1，1]上 没有实根，