初三上-月测卷-《10月月考》教院附中2016-2017学年度（一元二次方程、二次函数、旋转圆）

初三上-⽉测卷-《10⽉⽉考》教院附中2016-2017学年度（⼀元⼆次⽅程、⼆次函数、旋转圆）
教院附中2016-2017学年度第⼀学期初三数学
⼗⽉⽉考试卷
（测试范围：⼆次⽅程，⼆次函数，旋转，圆
测试时间：120分钟满分：150分）
姓名
成绩
⼀、选择题（每⼩题4分，共40分）
1．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（）
A．y=2(x+1)2+3 B．y=2(x-1)2-3 C．y=2(x-1)2+3 D．y=2(x+1)2-3
2．在平⾯直⾓坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）
A．第⼀象限 B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限
3．下⾯的图案中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是（）
A．①B．②C．③D．④
4．如果点（﹣2，﹣3）和（5，﹣3）都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是（）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=D．x=﹣
5．若⼀元⼆次⽅程2x2﹣6x+3=0的两根为α、β，那么（α﹣β）2的值是（）
A．15 B．﹣3
C．3 D．以上答案都不对
6．点P在⊙O内，OP=2，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）
A．1 cm B．2 cm C． c D．2cm
7．在平⾯直⾓坐标系中，以点（2，3）为圆⼼，2为半径的圆必定（）
A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切
8．⼀个扇形的圆⼼⾓为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）
A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
9．如图，△PQR是⊙O的内接正三⾓形，四边形ABCD是⊙O的内接正⽅形，BC∥QR，
则∠AOQ=（）
A．60°B．65°C．72°D．75°
10．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动⾄点B后，⽴即按原路返回．点P在运动过程中速度⼤⼩不变．则
以点A为圆⼼，线段AP长为半径的圆的⾯积S与点P的运动时间t之间的函数图象⼤致为（）
A． B．C．D．
⼆、填空题（每⼩题4分，共28分）
11.如图，圆锥底⾯半径为rcm，母线长为10cm，其侧⾯展开图是圆⼼⾓为216°的扇形，则r的值为
12.已知四边形ABCD内接于⊙0，若∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=
13.若正六边形的边长为6cm，则此正六边形的外接圆半径为cm．
14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，
则∠DOB的度数是
15.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀条圆弧经过正⽅形⽹格格点A，B，C，其中点B（4，4），则该圆弧所在圆的圆
⼼坐标为．
16.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆⼼，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图
中阴影部分⾯积是
17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，
19.（3+2分）如图，在11×11的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边长都为1，⽹格中有⼀个格点△ABC（即三⾓形的顶点都在格点上）．
（1）作出△ABC绕点C顺时针⽅向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下直接写出点B
旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）20.（5分）如图，有⼀座⽯拱桥的桥拱是以O为圆⼼，OA为半径的⼀段圆弧．若∠AOB=120°，OA=4⽶，请求出⽯拱桥的⾼度．
21.（6分）如图，P是⊙O外的⼀点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C
是上的任意⼀点，过点C的切线分
别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA=4，求△PED的周长；
（2）若∠P=40°，求∠DOE的度数．
22.（7分）如图，已知△ABC是等边三⾓形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
23.（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线
的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ABD的⾯积；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
24.（12分）如图，直线y1=kx+2与x轴交于点A（m，0）（m＞4），与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax+c（a ＜0）经过A，B两点．P为线段AB上⼀点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．
（1）当m=5时，
①求抛物线的关系式；
②设点P的横坐标为x，⽤含x的代数式表⽰PQ的长，并求当x为何值时，PQ=；
（2）若PQ长的最⼤值为16，试讨论关于x的⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．
25.（12分）已知如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，OA=2，∠ABO=30°，P是直线AB 上⼀动点，⊙P的半径为1．
（1）判断原点O与⊙
P的位置关系，并说明理由；
（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与坐标轴相切时，求出切点的坐标．
26.（12分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m ⊥l，过点O作OD⊥m于点D，
交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．
（1）⽤关于x的代数式表⽰BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的⾯积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正⽅形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦⼼距为1，求AP的长（直接写出答案）．
院附中2016-2017学年度第⼀学期初三数学
⼗⽉⽉考答案
⼀、选择题：
1.A
2.A
3.A
4.C
5.C
6.D
7.A
8.A
9.D 10.A
⼆、填空题：
11. 6 12. 90° 13. 6 14. 38 15. （2，0） 16. 8﹣π 17. +1
三、解答题： 18.（1）125
3,2x x ==
（2）⽆解（3）125x x ==
19.（1）△A 2B 2C 如图所⽰；
（2）根据勾股定理，BC=
=，
所以，点B 旋转到B 2所经过的路径的长=
=
π．
20.解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交弧于点C ，∵∠AOB=120°，OD ⊥AB ，∴∠AOD=60°，
在Rt △AOD 中，∠AOD=60°，∴∠OAD=30°，∴OD=2（⽶）．
∴CD=OA ﹣OD=2（⽶）．答：⽯拱桥的⾼度是2⽶．
21.解：（1）∵DA ，DC 都是圆O 的切线，
∴DC=DA ，
同理EC=EB ，PA=PB ，
∴三⾓形PDE 的周长=PD +PE +DE=PD +DC +PE +BE=PA +PB=2PA=8，即三⾓形PDE 的周长是8；
（2）∵∠P=40°，∴∠PDE +∠PED=140°，
∴∠ADC +∠BEC=（180﹣∠PDE ）+（180﹣∠PED ）=360°﹣140°=220°，∵DA ，DC 是圆O 的切线，
∴∠ODC=∠ODA=∠ADC ；同理：∠OEC=∠BEC ，
∴∠ODC +∠OEC=（∠ADC +∠BEC ）=110°，∴∠DOE=180﹣（∠ODC +∠OEC ）=70°．
22.（1）证明：如图1，连接OD ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD ，
∴∠ODB=∠B=60°．∵DE ⊥AC ，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE ⊥OD 于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：如图2，连接AD ，BF ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF ⊥BF ，AD ⊥BD ．∵△ABC 是等边三⾓形，∴
，
．
∵∠EDC=30°，∴
．
∴FE=FC ﹣EC=1．
23.解：（1）∵四边形OCEF 为矩形，OF=2，EF=3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
把x=0，y=3；x=2，y=3分别代⼊y=﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴△ABD中AB边的⾼为4，
令y=0，得﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
所以AB=3﹣（﹣1）=4，
∴△ABD的⾯积=×4×4=8；
（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，
∴点A对应点G的坐标为（3，2），
当x=3时，y=﹣32+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．
24.解：（1）①∵m=5，
∴点A的坐标为（5，0），
把A（5，0）代⼊y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，
∴直线解析式为y1=﹣x+2，
当x=0时，y1=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
将A（5，0），B（0，2）代⼊，得，解得，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；
②设点P的坐标为（x ，﹣x+2），则Q（x ，﹣x2+x+2），
∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，
⽽PQ=，
∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴当x=1或x=4时，PQ=；
（2）设P（x，kx+2），则Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的长⽤l表⽰，∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ长的最⼤值为16，如图，
当h=16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；
当h＞16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；
当0＜h＜16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．
25.解：（1）原点O在⊙P外．
理由：∵∠OBA=30°，OA=2
∴点A（2，0），点B（0，﹣2），
∴直线AB为y=x﹣2
如图1，过点O作OH⊥AB于点H，
在Rt△OBH中，OH=，
∵＞1，
∴原点O在⊙P外；
（2）如图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠OBA=30°，
∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆⼼⾓为：180°﹣30°﹣30°=120°，
∴弧长为：=；
同理：当⊙P过点B时，点P在y 轴左侧时，弧长同样为：；
∴当⊙P过点B时，⊙P被y 轴所截得的劣弧的长为：；
（3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下⽅时，设切点为D，在PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴∠APD=∠ABO=30°，
∴在Rt△DAP中，AD=DP?tan∠DPA=1×tan30°=，
∴OD=OA﹣AD=2﹣，
∴此时点D的坐标为：（2﹣，0）；
当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上⽅时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）；综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2﹣，0）或（2+，0）．
26.解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，
∴AB=4x，
∴BQ=5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB=OQ，
∴=2x，
∴CD=2x，
∴
FD==3x；
（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
作OM⊥AQ于点M（如图1），
∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=x ∴OD=MC=，
∴OE=BQ=，
∴ED=2x+4，
S矩形DEGF=DF?DE=3x（2x+4）=90，
解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，
∴AP=3x=9；
（3）①若矩形DEGF是正⽅形，则ED=DF，
I．点P在A点的右侧时（如图1）
∴2x+4=3x，解得：x=4，
∴AP=3x=12；
II．点P在A点的左侧时，
当点C在Q右侧，
0＜x ＜时（如图2），
∵ED=4﹣7x，DF=3x，
∴4﹣7x=3x，解得：x=，
∴AP=；
当≤x ＜时（如图3），
∵ED=4﹣7x，DF=3x，
∴4﹣7x=3x，解得：x=（舍去），
当点C在Q的左侧时，即x ≥（如图4），
DE=7x﹣4，DF=3x，
∴7x﹣4=3x，解得：x=1，
∴AP=3，
综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正⽅形；
②连接NQ，由点O到BN的弦⼼距为l，得NQ=2，
当点N在AB的左侧时（如图5），
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM=x，BM=x，
∴∠GBM=45°，
∴BM∥AQ，
∴AI=AB=4x，
∴IQ=x，
∴NQ==2，
∴x=2，
∴AP=6；
当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，
∴tan∠GBJ=，
∴AI=16x，∴QI=19x，
∴NQ==2，
∴x=，
∴AP=，
综上所述：AP的长为6或．。