考研(数学一)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研（数学一）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2011)已知当x→0时，函数f(x)=3sin．x=sin 3x与cxk是等价无穷小，则( )
A．k=1，c=4．
B．k=1，c=4．
C．k=3，c=4．
D．k=3，c=-4．
正确答案：C
解析：因为当x→0时，函数f(x)=3sin x=sin 3x与cxk是等价无穷小，所以从而k-1=2，即k=3，于是故应选
C．
2．(2012)设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2).….(enx-n)，其中n为正整数，则f’(0)=( ) A．(-1)n-1(n-1)!．
B．(-1)n(n-1)!．
C．(-1)n-1n!．
D．(-1)nn!．
正确答案：A
解析：利用导数的定义求f’(0)．故应选A．
3．(2012)曲线的渐近线的条数为( )
A．0．
B．1．
C．2．
D．3．
正确答案：C
解析：应同时考虑水平渐近线、铅直渐近线与斜渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线，同时说明曲线无斜渐近线．又因为所以x=1是曲线的铅直渐近线，x=-1不是曲线的铅直渐近线．综上所述，应选
C．
4．(2009)设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：本题主要考查分块矩阵的行列式、伴随矩阵的相关公式以及分块矩阵的逆矩阵．由=(-1)2×2｜A｜｜B｜=6知，矩阵可逆，从而故应选B．
5．(2006)设A、B为两个随机事件，且P(B)＞0，P(A｜B)=1，则必有( ) A．P(A∪B)＞P(A)．
B．P(A∪B)＞P(B)．
C．P(A∪B)=P(A)．
D．P(A∪B)=-P(B)．
正确答案：C
解析：本题主要考查乘法公式与加法公式．由已知条件与乘法公式有P(AB)=P(B)P(A｜B)=P(B)，再由加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)．故应选
C．
6．(2003)设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图1所示，则f(x)有( )
A．一个极小值点和两个极大值点．
B．两个极小值点和一个极大值点．
C．两个极小值点和两个极大值点．
D．三个极小值点和一个极大值点．
正确答案：C
解析：本题主要考查导函数y=f’(x)与函数y=f(x)的图形的关系与一元函数的极值(点)．由于已知函数是抽象函数，无法用推理法及反例排除法解决．考虑用y=f’(x)与y=f(x)的图形之间的关系画出y=f(x)的图形，利用定性分析的方法解决该问题．根据y=f’(x)的图形画出y=f(x)的图形，如图2所示，根据y=f(x)的图形知，f(x)有两个极小值点和两个极大值点．故应选
C．
7．(2011)函数f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的驻点个数为( )
A．0．
B．1．
C．2．
D．3．
正确答案：C
解析：因为，所以x=1，x=2，x=3是曲线y=f(x)的铅直渐近线．又，由此可画出f(x)=ln｜(x-1)(x-2)(x-3)｜的草图，如图3所示，由图形可知，存在两点x1，x2，使得f’(x1)=f’(x2)=0，即f(x)有两个驻点．故应选
C．
8．(2006)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )
A．0＜dy＜△y．
B．0＜△y＜dy．
C．△y＜dy＜0．
D．dy＜△y＜0．
正确答案：A
解析：△y=f(x0+△x)-(x0)=f’(ξ)△x (x0＜ξ＜x0+△x)．因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，从而f’(ξ)＞f’(x0)，于是△y=f’(ξ)△x＞f’(x0)△x=dy．又因为f’(x)＞0，所以0＜dy＜△y．故应选A．
9．(1999)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )
A．P{X+Y≤0}=
B．P{X+Y≤1}=
C．P{X-Y≤0}=
D．P{X-Y≤1}=
正确答案：B
解析：由于均服从正态分布且相互独立的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，于是其小于均值的概率为，从而P{X+Y≤1}=故应选
B．
10．(2002)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：取，因为排除A、C、
D．故应选
B．
11．(2005)以下四个命题中，正确的是( )
A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．
B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．
C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．
D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．
正确答案：C
解析：取f’(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)=lnx在(0，1)内无界，排除A．取f(x)=，在(0，1)内连续，但f(x)在(0，1)内无界，排除
B．取f(x)=，在(0，1)内有界，但f’(x)=在(0，1)内无界，排除
D．故应选
C．
12．(2004)设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是( )
A．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(a)．
B．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＞f(b)．
C．至少存在一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0．
D．至少存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)=0．
正确答案：D
解析：取f(x)=2-x2，x∈[-1，1]，则f’(x)=-2x在[a，b]=[-1，1]上连续，且f’(a)=f’(-1)=2＞0，f’(b)=f’(1)=-2＜0，满足已知条件．由f(x)=2-x2的图形可知，在(-1，1)内，f(x)＞1，即对任意x0∈(-1，1)，都有f(x0)≠0，这表明D选项是错误的．故应选
D．
13．(2001)设f(x)的导数在x=a处连续，又，则( )
A．x=a是f(x)的极小值点．
B．x=a是f(x)的极大值点．
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．
D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．
正确答案：B
解析：由f(x)的导数在x=a处连续及=f’(a)=0，即x=a是f(x)的驻点．从而所以x=a是f(x)的极大值点．故应选
B．
14．(2003)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=( ) A．在x=0处左极限不存在．
B．有跳跃间断点x=0．
C．在x=0处右极限不存在．
D．有可去间断点x=0．
正确答案：D
解析：因为f(x)为不恒等于零的奇函数，所以f(0)=0，又f’(0)存在．所以故x=0是g(x)的可去间断点．应选
D．
15．(2005)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x+y)+其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：取φ(x)=x2，ψ(x)=0，则u(x，y)=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2．于是由此可知，选项A、C、D都不正确．故应选
B．
16．(2005)设an＞0，n=1，2，…，若收敛，则下列结论正确的是( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：取收敛，但发散，排除A；发散，排除B；发散，排除
C．故应选
D．
17．(2002)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=0( ) A．当n＞m时仅有零解．
B．当n＞m时必有非零解．
C．当m＞n时仅有零解．
D．当m＞n时必有非零解．
正确答案：D
解析：(推理法)因为当n＜m时，齐次线性方程组BX=0有非零解，从而线
性方程组(AB)X=0有非零解，故应选
D．
18．(2002)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )
A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．
B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．
C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．
D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．
正确答案：A
解析：因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β2线性无关．取k=0，由B知，α1，α2，α3，β2线性相关，与α1，α2，α3，β2线性无关矛盾，排除
B．取k=0，由C知，α1，α2，α3，β1线性无关，则β1不能由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除
C．取k=1，由D知，α1，α2，α3．β1+β2线性相关，因为α1，α2，α3线性无关，所以β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，于是β2可由α1，α2，α3线性表示，与已知条件矛盾，排除
D．故应选A．
填空题
19．(2000)=_____，
正确答案：
解析：由定积分的几何意义，表示由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=所围成的图形的面积，如图5所示，所以(其中S为单位圆(x-1)2+y2≤1的面积)．
20．(2001)(x3+sin2x)cos2xdx=_______．
正确答案：
解析：
21．(2012)设区域D是由曲线y=sinx，x=，y=1围成，则(x5y-1)dxdy=_______.
正确答案：-π
解析：
22．(2008)设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2-y)dxdy=______．
正确答案：
解析：因为积分区域D关于x轴对称，函数y关于y是奇函数，所以．由轮换对称性以及极坐标下二重积分的计算方法，有
23．(2009)设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=_______.
正确答案：
解析：利用轮换对称性，有再利用球坐标下三重积分的计算有
24．(2007)设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=_______.
正确答案：
解析：因为∑关于yOz平面对称，x关于x为奇函数，所以．由轮换对称性，其中S是∑的表面积，记∑在第一卦限部分的面积为S1．如图8所示，则。