2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)

2


(

3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x

y
2 y 4 0.

消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
综上可知，切线l的方程为x=1 或3 − 4 + 5 = 0.
o
x
解惑提高
求过一点P的圆的切线方程问题需注意：
1.先判断点P与圆的位置关系



若点P在圆上，切线有一条
若点P在圆外，切线有两条
先定位，再定量
2.在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况.
跟踪训练
已知过点（ − 3， − 3）的直线l被圆2 + 2 + 4 − 21 = 0所截得的弦长为8，求直线l的方程.
2
+ + 10.5
2
= 14.52 .
14.52 − (−2)2 − 10.5 ≈ 14.36 − 10.5 = 3.86(m).
答：支柱22的长度约为3.86 m.
第一步:建立坐标系，
用坐标和方程表示有
关的量．
第二步:进行有关代
数运算
第三步:把代数运算
结果翻译成几何关
系．
解惑提高
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形
呢？它们有哪些位置关系呢？
新知学习
直线与圆的位置关系:
位置关系
相离
相切

图形

d与r的关系
>
交点个数
思考
0个

பைடு நூலகம்
相交

=
1个
如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？

<
2个

典例剖析
判断直线与圆的位置关系
例1 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 − 4 = 0，判断直线 l 与圆的位置关系；
解: ∵ 2 + 2 + 4 − 21 = 0，∴x 2 + y + 2
2
= 25,
∴ 圆心坐标为 0， − 2 ， 半径 = 5.
∵ 直线l被圆所截得的弦长为8，∴弦心距为d = 52 − 42 = 3.
∵ 直线l 过点M,
①当直线l的斜率存在时，
y
可设所求直线l 的方程为: + 3 = + 3 ，即 − + 3 − 3 = 0,
P
=
= .
5
M
O
N
x
课堂小结
几何方法
代数方法
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图形直观判断
两个交点
一个交点
没有交点
d<r
d=r
d>r
两图形方程判断
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
因此 =
1−2
2
+ 3−0
2
= 10.
典例剖析
判断直线与圆的位置关系
例1 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 − 4 = 0，判断直线 l 与圆的位置关系；
如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法二：圆 2 + 2 − 2 − 4 = 0， 可化为 2 + − 1
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，
点C （0，1）到直线 l 的距离 =
3×0+1−6
32 +12
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
跟踪训练
某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
y
+ ( + . ) = .
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
− 1＝ − 2 ，
因为直线l与圆相切，所以方程组ቊ
只有一组解.
2 + 2 = 1
消元，得 2 + 1 2 + 2 − 42 + 42 − 4＝0.①
02 + 4 − 2 = 2 ,
把（0，4） （10，0）代入圆的方程得方程组൝ 2
10 + 0 − 2 = 2 ,
解得ቊ
= −10.5,
2 = 14.52 ,
所以圆的方程是 2 + + 10.5
2
= 14.52
把点2的横坐标 = −2 代入圆的方程，得 −2
因为 > 0,所以 =
因为方程①只有一个解，所以Δ＝4 2 1 − 2
2
− 16 2 + 1 − 1 ＝0，
4
解得＝0或 3.
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
P.
O
x
变式
(2,1) 作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
过点 (1,2)
解：设切线l的方程为 − 2 = ( − 1),
由已知，在直角三角形中，有
2
= 2 + 2 .
设圆拱所在圆的半径长是，则有 2 = − 4
2
+ 102 ,
A
A1
A3
A2 O
C
解得 = 14.5.我们求出 即可.
= − .
而 =
2 − 2 2 = 14. 52 − 22 = 14.36, = − = 14.5 − 4 = 10.5,
由垂径定理，得 = 2 2 − 2 ＝ 10 .
=
10
<
2
5
2
= 5.
解惑提高
判断直线与圆的位置关系的方法
运算量较大
请谨慎选择
Ax + + = 0，
1.代数法：由൜
消元，得一元二次方程的判别式∆
− 2 + − 2 = 2
∆> 0 ⟺ 相交；∆= 0 ⟺ 相切；∆< 0 ⟺ 相离.
|1 − 2|
2 + 1
4
解得＝0或 3.
因此，所求切线l的方程为＝1，或4 − 3 − 5＝0.
=1
O
x
典例剖析
例2
求圆的切线方程
过点(2,1)作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
消去y，得 x 2 3x 2 0
2
因为 (3) 4 1 2= 1 > 0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
因此 =
1−2
2
+ 3−0
2
= 10.
典例剖析
判断直线与圆的位置关系
例1 如图，已知直线l：3 + − 6 = 0 和圆心为C的圆 2 + 2 − 2 − 4 = 0，判断直线 l 与圆的位置关系；
如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
2.5.1 直线与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.能用圆和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
核心素养：逻辑推理、数学建模
情境导学
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗
句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．
如果相交，求l 被圆C所截得的弦长．
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x y 2 y 4 0.
2.几何法：计算圆心到直线的距离d，与半径r相比较
< ⟺ 相交； = ⟺ 相切； > ⟺ 相离.
即时巩固
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系
(1) ∶ − + 1 = 0
圆 ∶ 2 + 2 = 3
相交
(2) ∶ 3 + 4 + 2 = 0
圆 ∶ 2 + 2 − 2 = 0
O A3
A4
B
典例剖析
例3
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 = 20 m，拱高 = 4 m，建造时每间
隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱22的高度（精确到0.01m）.
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，）,
圆的半径是 ,则圆的方程是2 + ( − )2 = 2 .
∴
2+3−3
2 +1
4
=3,解得 = − 3 . 所求直线l的方程为4 + 3 + 21 = 0
②当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=-3，
此时，圆心到直线l的距离为3，符合题意.
综上所述，所求直线l的方程为:4 + 3 + 21 = 0或 = −3.
M
.O .
x
E
F
典例剖析
相切
(3) ∶ + + 3 = 0
圆 ∶ 2 + 2 + 2 = 0
相离
2.判断直线2 − + 2 = 0与圆( − 1)2 + ( − 2)2 = 4的位置关系;如果相交，求出直线被圆截得的弦长.
直线与圆相交，弦长为


典例剖析
例2
求圆的切线方程
过点(2,1)作圆: 2 + 2 = 1的切线l,求此切线l的方程.
例3
直线与圆的方程在实际生活中的应用
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 = 20 m，拱高 = 4 m，建造时每间
隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱22的高度（精确到0.01 m）.
P2 P
A
A1
A2 O
A3
A4
B
P2
思考1
你能用几何法求支柱22的高度吗？
P
H
【分析】如图，过2 作2 ⊥ ,
所以 2 2 = = 3.86
A4
B
思考2
你能用代数法(坐标法)求支柱22的高度吗？
y
P2
P
思考3 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
+ ( + . ) = .
思考4
x
A
A1
A2
利用这个圆的方程可求得点2的纵坐标是多少？问题的答案如何？
=
. − (−) − . ≈ . − . = . ().