数列的概念(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

数列的概念第一课时
1.课时教学内容
数列的概念
2.课时学习目标
(1)能准确说出数列的概念及其表示方法。

(2)会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据
给定的前几项写出它的一个通项公式。

3.教学重点与难点
重点∶理解数列的概念，能从函数的观点认识数列，理解数列的通项公式
及应用。

难点∶数列与函数的关系的理解；根据数列的前几项抽象、归纳出数列的
通项公式。

4.教学过程设计
环节一创设问题情境
问题1：请同学们观察这两个例子，看它们有何共同特点？
（1）从1984年至今，我国体育健儿共参加了八届奥运会，获得的金牌数依次排成一列数∶15，5，16，16，28，32，51，38.
（2）中国体育健儿从1984年开始共参加了七届奥运会，我国获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，51得到第一列数；
共同特点∶它们均是一列数。

设计意图创设情境，激发兴趣，引入新课.以金牌数为例，调节课堂气氛，拉近师生间心与心的距离，增强了感性认识，调动学生学习新知识的积极性。

问题2：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145，153,158,160,162,163,165,168。

它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记王芳第i 岁时的身高为h i ，则有：h 1=75, h 2=87, h 3=96, h 4=103,…, h 17=145。

形成结论：不能交换位置，具有确定的顺序。

追问1：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.它们之间能否交换位置吗？具有确定的顺序吗？
记第i 天月亮可见部分的数为s i ，那么s 1=5，s 2=10，…，s 15=240。

形成结论：不能交换位置，具有确定的顺序2
1。

追问2：2
1-的n 次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一
列数：，，，，， (16)
18,14
121-- 你能仿照以上的叙述，说明这也是具有确定的顺序的
一列数吗？
追问3：上面三个例子的共同特征是什么？
1) 75,87,96,103,110,116,120,128,138,145，153,158,160,162,163,165,168。

2) 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240。

3) (16)
18,14
121，，，
，--。

共同特征：具有一定的顺序的一列数。

【设计意图】提出问题，思考归纳，形成概念.学生可进行自我表述、小组讨论、教师点拨，逐步归纳，形成共识——这些具体例子的共同特点∶它们均是一列数，都有一定次序.学生尝试归纳数列的定义，培养学生的抽象概括能力。

环节二 讲授新课
问题3： 数列的定义是什么？
一般的，我们把按照确定的顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个
数叫做这个数列的项。

（教师板书）
追问1：按照数列定义判断，1,3,5,7是一个数列，7,5,3,1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
追问2：1,1,1,1,1，…是不是一个数列？
追问3：请同学们结合数列的定义和上述具体实例，说说数列中的每一个
数和集合中的元素有什么区别？
区别：
1)数列中的数一定是“数”，而集合中的元素不一定是“数”。

2)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相
同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的元素是无序的。

3)数列定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数
列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复出现。

【设计意图】实例辨别，加深概念理解.继续利用实例，使学生把数列中
的数和集合中的元素区分开来。

问题4：如何用符号来表示数列？
数列的一般形式为：a1,a2,a3,…,a n,…简记为{a n}
追问：数列中，符号{a n}与a n所表示的意义相同吗？
a n仅表示数列中的第n项这一个数值，
{a n}表示数列。

【设计意图】本节课的重点是数列的概念及通项公式，因为数列的概念是
学生学习本章知识的基础，数列的通项公式又是研究后面等差数列、等比数列
的灵魂。

在此教师务必要放慢速度，花足时间，向学生讲清讲透，不能一带而过。

问题5：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可
否用一个公式表示?
如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

追问：你能写出 (16)
18,14
121，，，
，--数列的通项公式吗？ n n a )2
1(-=
【设计意图】对刚才所讲的概念进行及时巩固与消化。

教师巡视指导。

问题8：通过上述实例的研究，你对数列通项公式有什么样的认识?你又是如何理解数列的通项公式的?
1) 并不是所有数列都能写出（或方便写出）其通项公式。

2) 一个数列的通项公式的形式有时是不唯一的。

3) 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示。

它反映了一个数列项与项数的一种对应关系（函数关系）。

【设计意图】让学生在此对数列的通项公式有一个比较深刻的全面的认识.结合对应关系，回顾函数概念，揭示数列与函数的关系。

这是一个难点，讲解必须清楚、透彻，树立从函数观点看待数列问题的意识。

问题9：数列与函数有什么关系？
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，····，n}）为定义域的函数a n =f （n ），当自变量从小到大依次取值时可得到对应的一列函数值.反过来，对于函数y =f （x ），如果f （i ）（i=1，2，3，…，n ，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f （1），f （2），f(3),f(4),…,f(n)…
因此，数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集，其解析式就是数列的通项公式。

问题10：数列有哪些表示方法
通项公式法、列表法、图象法。

（结合实例总结） 问题11：数列有哪些分类？ （1）根据数列项数的多少划分∶ 有穷数列∶项数有限的数列。

无穷数列∶项数无限的数列。

（2）根据数列项的大小划分∶
递增数列∶从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即an>an-|，（n≥2）。

递减数列∶从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即an-1<an ，（n≥2）。

常数数列∶各项相等的数列，即an+1=am 或an=c ，（n e N*，c 为常数）。

摆动数列∶从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

环节三 例题练习，巩固知识
例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出其前5项，并画出它们的图像。

（1）n n
n a n +=2 （2）2
)1(cos π-=n a n
解答：（1）1,3,6,10,15 （2）1,0，-1,0,1 追问：你能判断两个数列的单调性吗？
【设计意图】以上两道习题体现的是数列的函数思想。

例2 根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式。

(1)
,...;4
1
,31,21,1-- (2)2,0,2,0,...; 解答：（1）n
a n n 1
)1(+-= （2）1)1(1+-=+n n a
【设计意图】根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.这是本节课的重点.教师适时引导，让学生先自己解决，然后教师重点讲解.重点强调常用的思考方法，写通项公式时，就是要去发现项an 与序号n 之间的关系，对各项进行多角度、多层次观察，找出这些项与对应序号之间的对应关系，必要时还需对给定的表达式作适当变形。

环节四 课堂小结
问题12：回顾本节课所学知识，思考一下问题
1) 什么是数列？数列的本质是什么？ 2) 我们学习了数列的哪些知识？
本节课学习的主要内容有∶数列的定义；数列的通项公式。

通项公式的学习要求是∶会由通项公式求数列的特定项；会由数列的前几项求数列的一个通项公式。

对通项公式的理解∶不是所有的数列都有通项公式；同一个数列可以有不同的通项公式；给我们数列的前几项求数列的一个通项公式，答案可能不唯一。

环节五 作业
第5页练习第1，2，3，4题。

【巩固练习】
1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋（－1）n ＋1
2，则该数列的前4项依次为( ) A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.12，0，12，0 D.2，0，2，0
答案 A
2.若数列{a n }满足a n ＝3n ，则数列{a n }是( ) A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案 A
3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2
－n ＋1 B.a n ＝n （n －1）
2 C.a n ＝n （n ＋1）2 D.a n ＝n 2＋1
答案 C
4.给出以下通项公式：
①a n ＝22[1－(－1)n ]；②a n ＝1－（－1）n
；③a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数，
其中可以
作为数列2，0，2，0，2，0，…的通项公式的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案 D
5.已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则8
9是该数列的( ) A.第127项 B.第128项 C.第129项 D.第130项 答案 B 二、填空题
6.323是数列{n (n ＋2)}的第________项. 答案 17
7.观察数列的特点，用一个适当的数填：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3
8.数列{a n }的通项公式a n ＝
1n ＋n ＋1
，则10－3是此数列的第________项.
答案 9
9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，….
解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5). (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . 10.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋110. (1)20是不是{a n }中的一项？ (2)当n 取何值时，a n ＝0.
解 (1)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝20， 即n 2－n －90＝0，∴(n ＋9)(n －10)＝0， ∴n ＝10或n ＝－9(舍).
∴20是数列{a n }中的一项，且为数列{a n }中的第10项. (2)令a n ＝－n 2＋n ＋110＝0，即n 2－n －110＝0， ∴(n －11)(n ＋10)＝0，∴n ＝11或n ＝－10(舍)， ∴当n ＝11时，a n ＝0.。