第六节两个重要极限 PPT资料共30页

称数列 y n 为单调增加数列； 若对如何正整数 n ， 恒有
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
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第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1

1 2(xn

a )
xn

xn
a xn

a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)

1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
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第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
x 0
x
n n
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第二章 极限与连续
2.填空题
(1) lim (n1)( 1)n1
n n2 n
n n2 1
所以
1
1
1
ln i m n 2 1n 22 n 2n 1
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第二章 极限与连续
（二）两个重要极限
sinx (1) lim 1
x0 x
证 当圆心角 x (0 , ) 时，
2
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积
1 e
e

1
x x
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第二章 极限与连续
内容小结
1.极限存在的准则


夹逼准则 单调有界数列必有极限
2.两个重要极限（重要的是形式）
lim sin
1
1
1
lim(1 ) e lim(1 ) e
0

0
中是相同的变量 作业 P93 22-27
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x
x
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第二章 极限与连续
当 x 时，令 x(t1), 则 t
lim (11)xlim (11) (t 1 ) x x t t 1
lim(11)t1
t
t

e
故 lim(1 1)x e, 综合两式得
x
n1
n1
x
n
(1 1 )n1 n
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第二章 极限与连续
而
lim(1
n
1 )n n1
lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1)n1 lim(11)n(11) e
n
n
n n
n
故 lim(1 1)x e
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第二章 极限与连续
记此极限为 e ，即
lim(1 1)n e
n
n
e 为无理数，其值为 e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5
再证 lim(1 1)x e
x
x
当 x 时，设 nxn1,
(1 1 )n (1 1 )x ( 1 1 ) x (1 1 ) x

2
x2 1
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第二章 极限与连续
3.计算 lim (sinx1sinx) x
解 sinx1sinx
和差化积 公式
2sinx1xco s x1x
2
2
因为 lim( x1 x)lim 1 0
x
x x1 x
cos x1 x 1 故 lim (sinx 1 sinx ) 0
(k0)
x0 x
解 limsinkxklimsinkxt kx k lim sin t k
x 0 x
x 0 kx
t0 t
例6 解
计算 lim x0
1 cos x
lim
x0
x2
1
cos x2 2
lim
x 0
x sin 2
x2
x 2

1 2


lim
x 0

sin x 2
意正整数 n ，恒有 m y nf(n ) M ,则称数列 yn f(n)为有界数列。
【定理 2.12】（准则2）单调有界数列必
有极限。（证明略）
例
数列
yn

1
1 n
,
是单调增加的数列，
且
0
yn
1，则此数列有极限，lim(1 n

1) n
1
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第二章 极限与连续
xn1
(1 1 )n1 n1
1 1 1 ( 1 1) 1 ( 1 1) ( 1 2) 2 ! n 13 ! n 1 n 1
1(1 1)(1 2) (1 n 1 ) n ! n 1 n 1 n 1
1 (1 1)(1 2) (1 n) (n 1 )! n 1 n 1 n 1
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第二章 极限与连续
比较可知 x n x n 1(n 1 ,2 , )
又 x n (1 n 1 )n 1 1 2 1 ! 3 1 ! n 1 !
11
1
11222 2n1

1

1

1 2n
1 1
2
1 3 2n1
3
根据准则 2 可知数列 x n 有极限。
22 2
由 lim x 2 0 和准则1，得
x0 2 lim (1cosx)0
x 0
即 limcosx1 证毕。 x0
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第二章 极限与连续
【定义】单调数列 设数列 yn f(n)
若对如何正整数 n ，恒有
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
b
lni m xnb(m)
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第二章 极限与连续
例3
求
1
1
1
ln i m n 21n 22 n 2n
解 利用夹逼准则
n 1 1 1 n
n2 n
n21 n22
n2n n 2 1
n
n
且 lim
1, lim
1
几何解释
yn

1

1 n
0
1
2
23 34
1
x
说明 在准则2中
对单调增加数列，只要求有上界即可； 对单调减少数列，只要求有下界即可。
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第二章 极限与连续
x 1 x 2 x n x n 1 M a ln i m xna(M)
x 1 x 2 x n x n 1 m
2
x
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第二章 极限与连续
4.证明 ln i m n n 21 n 2 1 2 n 2 1 n 1
证 利用夹逼准则
n2 n 2 n
n n21 n2 12 n2 1n
n2 n2
x x x x
2
2
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第二章 极限与连续
例8
计算
lim(
x
x
x2 2
1
)
x
解
lim(
x
x
x2 2
1
)
x
lim ( x)xlim ( x)x x x1 x x1

1
lim(11)x
lim(11)x x x
x x
1
lim(11)x
lim(1 1)x x x
且
n2
lnim n2 n
1,
n2
lim
n
n2


1
所以 ln i m n n 21 n 2 1 2 n 2 1 n 1证毕
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第二章 极限与连续
5.设 xn11 2(xnx an)(n1,2, ),且 x1 0 ,
例1 证明 limsinx0 x0
证 当 x 时，0sinxx
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsinx0 证毕。
x0
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第二章 极限与连续
例2 证明 limcosx1 x0
证 01cosx2sin2x 2( x)2 x2
AA0(1r)t
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第二章 极限与连续
如果每期结算 m 次，t 期本利和 A m 为
AmA0(1m r )mt
若立即产生立即结算，即 m 。
例7 计算 lim(1 2 )x
x
x
解
lim(12)x x x
lxi m (12x)2x2
lim(12)2x lim(12)2x e 2
即 1sinx1x1tanx
2
22
＜△AOD的面积
1 x 1 (0 x )
sinx cosx
2
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第二章 极限与连续
1 x 1 (0 x )
sinx cosx
2
s i n x 是偶函数
x
得到 cosxsinx 1 (0 x )
yA , zA
恒成立，即 A y A , A z A
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第二章 极限与连续
又由 yxz, 得 A y x z A
所以 A x A ,即 xA , 也就是
lim xA 证毕。
x
2
1 2
2
2 sin 2 x
lim x 0
2 4( x )2
2
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第二章 极限与连续
(2) lim(11)x e x x
证 先证数列的情况，利用二项式定理
xn

(1
1 )n n
n 1n ( n 1 )1n ( n 1 ) ( n 2 )1
n n
（2019）
解 lim(n1)(1)nlim[(11)n](n1)n e0 1
n n
n
n
2x (2) lx i m xsinx212
（2019）
解
limxsin
x
2x x2 1

lim
x
sin
2x
x2 2x
1
lim
x
2x2 x2 1
x li m x0 f(x)f(x0)
微积分讲义
11/26/2019
设计制作
王新心
§2.6 两个重要极限
（一）极限存在的准则 （二）两个重要极限
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第二章 极限与连续
（一）极限存在的准则 【定理 2.11】（准则１又称夹逼定理） 若在某一变化过程中，三个变量 x, y,z 总有关 系 yxz ，且 lim ylim zA ，则 lim xA 证 因为 lim ylim zA所以 0, 从某一时刻以后，下列两个不等式
x
lim(1 1)x e
x
x
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第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1)x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A 0 ，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A 为
则由递推公式有
A a
x1 0, xn 0, 故 lnim xn a
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谢谢你的阅读
知识就是财富 丰富你的人生
1 1 !n 2 !
n 2
3 !
n 3
n (n1 )n (!nn1 )n 1 n 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )
2 ! n3 ! n n
1(11)(12) (1n1)
n ! n n
n
11/26/2019
第二章 极限与连续