专题43概率-2023年高考数学一轮复习课件(全国通用)

BCACB
， BCABC
， BCBAC
，∴甲赢的概率为 P M
1 2
4
7
1 2
5
9 32
．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
∴丙赢的概率为 P N 1 2 9 7 ．
32 16
（2019 全国 II 理 18）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10：10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0．5，乙发球时 甲得分的概率为 0．4，各球的结果相互独立．在某局双方 10：10 平后， 甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束． （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率．
2023年高考第一轮复习
专题43：概率
1．概率 (1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个 常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件 A 的概率，记作 P(A). (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确 定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为 随机事件概率的估计值．
n 64 16
57．（2018 全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世
界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的
和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和
等于 30 的概率是
A． 1 12
B． 1 14
C． 1 15
爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就
是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有
3 个阳爻的概率是（ ）
A． 5 B． 11 C． 21 D． 11
16 32
32 16
【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n 26 64 ，该 重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数m C36C33 20 ，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p m 20 5 ，故选 A．
【解析】由题意可得，一共比赛了 5 场，且第 5 场甲获胜，前 4 场甲队 胜 3 场，输 1 场，有 2 种情况：①甲队主场输 1 场，其概率为：
P1 C12 0.6 0.4 C22 0.52 0.12 ；
②甲队客场输 1 场，其概率为： P2 C22 0.62 C12 0.5 0.5 0.18 ，
球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
【解析】设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲 ，在第二盘与乙比赛 连赢两盘的概率为 P乙 ，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙
由题意
P甲=p1[ p2 (1 p3 ) p3 (1 p2 )] p1 p2 p1 p3 2 p1 p2 p3 P乙 =p2[ p1(1 p3 ) p3 (1 p1)] p1 p2 p2 p3 2 p1 p2 p3 P丙 =p3[ p1(1 p2 ) p2 (1 p1)] p1 p3 p2 p3 2 p1 p2 p3 所以 P丙 P甲=p2 ( p3 p1) 0 ， P丙 P乙 =p1( p3 p2 ) 0 所以 P丙 最大，故选 D.
相邻的概率 P 4 2 ． 63
5．（2022·新高考 1 卷 T5）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的
数，则这 2 个数互质的概率为
A． 1 B． 1 C． 1 D． 2
63
2
3
【解析】总事件数共
C72
76 2
21，
第一个数取 2 时，第二个数可以是 3,5,7 ；第一个数取 3 时，第二个数可以是4,5,7,8 ；
（2021·天津卷 T14）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜 对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、
乙猜对的概率分别为 5 和 1 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次 65
活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_______，3 次活动中，甲
n 10
1.古典概型中基本事件的探求方法 2.利用公式法求解古典概型问题的步骤
考向2：互斥事件、对立事件的概率
（2021·新高考 1 卷 T8）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，
从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数
字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的
【解析】（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由 甲得分，
或者均由乙得分．因此 P(X 2) 0.50.4 (1 0.5)(1 0.4) 0.5
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的 得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
对立事件
件 A 与事件 B 互为对立事件
且 A∪B＝Ω
考向1：古典概型
1.（2022·全国甲文 T6）从分别写有 1，2，3， 4，5， 6 的 6 张卡片
中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数
的概率为（ ）
1
12
2
A.
B. C.
D.
5
35
3
【解析】无放回随机抽取 2 张方法有 12，13，14，15，16，23，24， 25，26，34，35，36，45，46，56 共 15 种，其中数字之积为 4 的倍
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 1 ． 2
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
【解析】（1）记事件 M
:甲连胜四场，则
PM
1 2
4
1 16
．
（2）记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为
数的是 14，24，26，34，45，46 共,6 种， p m 2 ,故选 C。 n5
85．将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_____．
【解析】设 2 本数学书分别为 A、B，语文书为 G，则所有的排放顺 序有 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共 6 种情况，其中数 学书相邻的有 ABC、BAC、CAB、CBA，共 4 种情况，故 2 本数学书
至少获胜 2 次的概率为______________．
【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 5 4 2 ； 65 3
则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为C32源自2 321 3
2 3
3
20 27
.故答案为： 2 3
； 20 27
.
（2019 全国 I 理 15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队 赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客 场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0．6，客场取 胜的概率为 0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率 是____________．
2．事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B
包含关系
B⊇ A(或 A⊆ B)
包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
相等关系 若 B⊇ A，且 A⊇ B，则称事件 A 与事件 B 相等
A＝B
并事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生， A∪B(或 A＋B)
【解析】解法 1:设5 名同学的编号为甲、乙、1 、2 、3 ，从中随机取3 名的所有结果为：甲
乙1、甲乙 2 、甲乙3 、甲1 2 、甲1 3、甲 2 3 、乙1 2 、乙1 3 、乙 2 3 、1 2 3 共 10 种，其中
甲、乙都入选的情况为：甲乙1、甲乙 2 、甲乙 3共 3 三种，故所求概率为 3 . 10
由于第 5 场必定是甲队胜，所以 P P1 P2 0.62 0.18 ，则甲队以
4：1 获胜的概率为 0．18
（2020 全国Ⅰ理 19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每 场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被 淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另 一人最终获胜，比赛结束．
P
P
ABAB
P
ACAC
P
BCBC
P
BABA
4
1 2
4
1 4
，
∴，需要进行第五场比赛的概率为 P 1 P 3 ． 4
（3）记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件C 为丙输，记事件 M : 甲赢，记事件 N :
丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，
(和事件) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)
交事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生， A∩B(或 AB)
(积事件) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)
互斥 事件
若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥
A∩B＝∅
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，则称事 A∩B＝∅
同学中至少有 1 名女同学的概率是
．
【解析】从 3 名男同学和 2 名女同学中任故选 2 名同学参加志愿者服务，基本事件
总数 n C52 10 ， 故选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数m C13C12 C22 7 ， 所以故选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是P m 7 ．
第一个数取 4 时，第二个数可以是 5,7 ； 第一个数取 5 时，第二个数可以是6,7,8 ；
第一个数取 6 时，第二个数可以是 7 ；
所以 P 3 4 2 3 11 14 2 ．
21
21 3
第一个数取 7 时，第二个数可以是8 ；
4.（2022·全国乙文 T14）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服 务工作，则甲、乙都入选的概率为____.
因此所求概率为 P [0.5 (1 0.4) (1 0.5) 0.4] 0.5 0.4 0.1
考向3：几何概型
几何概型定义和特点： 如果每一个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则 称这样的概率模型为几何概率模型。它的特点是： ① 试验中所有可能出现的基本事件是无限个； ② 每个基本事件出现的可能性相等。 几何概型中事件 A 发生的概率公式为：
(3)概率的几个基本性质 ①概率的取值范围：0≤P(A)≤1. ②必然事件的概率：P(A)＝1. ③不可能事件的概率：P(A)＝0. ④概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥， 则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ⑤对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件． P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B).
解法
2：设“甲、乙都入选”为事件
A
，则 P(A)
C31 C53
3 10
解法
3：设“甲、乙不都入选”为事件
B
，
则
P(B)
C21C
2 3
C53
C
3
3
7
10
，故所求概率为
P(B) 1 P(B) 1 7 3 10 10
55．（2019 全国 I 理 6）我国古代典籍《周易》用“卦” 描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个
D．1 18
【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10
个，从中随机选取两个不同的数有C120 种不同的取法，这 10 个数中两个不同
的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率P
3 C120
1 15
，故选 C．
从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名
(2018 全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图 形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直
径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，
直角边 AB ， AC ． ABC 的三边所围
成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余
部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，