状态空间表达式求传递函数

∫
x2
y
λ2
cn
∫
xn
约旦标准型的实现是并联的。
λn
2）具有重根时，设有一个q重的主根 λ1 ，其余 λq +1...λn是 互异根。这时
W (s) = c1q ( s − λ1 )
q
+
c1( q −1) ( s − λ1 ) q −1
& x1 = λ1 x1 + x2 & x2 = λ1 x2 + x3
X (s) = ( sI − A) −1 B U (s) Y ( s) U-Y间的传递函数为 W ( s ) = = C ( sI − A) −1 B + D U ( s)
6
当系统是多输入-多输出系统时，传递函数是一个 mXr矩阵函数，其中矩阵中的各元素Wij ( s ) 都是标量 函数，表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 系统传函还可以计算为
… + +
∫
xn
cn
λn
λ1 0 0 λ 2 & x= ... ... 0 0 y = [1 1 ...
... ...
0 c1 c 0 x + 2 u ... ... ... 0 λn cn 1] x
c1
∫
x1
λ1
c2
sX ( s ) − x (0) = AX ( s ) + BU ( s ), Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
X ( s ) = ( sI − A) −1[ x(0) + BU ( s )], Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
故U-X间的传递函数为 Wux ( s ) =
% W ( s ) = CT ( sI − T −1 AT ) −1T −1 B + D = CT ( sT −1T − T −1 AT ) −1T −1 B + D = CT [T −1 ( sI − A)T ]−1T −1 B + D = CTT −1 ( sI − A) −1TT −1 B + D = C ( sI − A) B + D
n
n −1
（1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分 母多项式。 （2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值 （3）由于状态变量选择的不同，同一系统的状态 空间描述不是唯一的，但是从表征系统状态空间描 述的不同的A,B,C和D变换到表征系统输入输出描述 的传递函数W（s）是唯一的。
6.2 传递函数的不变性 −1 当做坐标变换 z = T x ，则系统的状态表达式为
& z = T −1 ATz + T −1 Bu , y = CTz + Du % W ( s ) = CT ( sI − T −1 AT ) −1T −1 B + D
= C[T ( sI − T −1 AT )T −1 ]−1 B + D = C[T ( sI )T −1 − TT −1 ATT −1 ]−1 B + D = C ( sI − A) −1 B + D
三、负反馈连接
u
u1 = u − y2 y = y1 u2 = y1
+
−
u1
∑
y1
y
1
y2
∑
2
u2
& x1 = A1 x1 + B1 (u − y2 ) = A1 x1 + B1u − B1C 2 x2 & x2 = A2 x2 + B2 y1 = A2 x2 + B2C1 x1 简单起见设 y = y1 = C1 x1 D1 = 0，D2 = 0 & − B1C 2 x1 B1 x1 A1 ∴ = x + 0 u & A2 2 x2 B2C1
从状态空间表达式求传递函数
2009年 4月20日
Байду номын сангаас
bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 已知系统的传递函数 W ( s ) = n s + an −1 s n −1 + ... + a1s + a0
5.3.3 系统的并联型实现
1）具有互异根时 n cn ci c1 c2 W (s) = + + ... + =∑ ( s − λ1 ) ( s − λ2 ) ( s − λn ) i =1 ( s − λi )
+
... 0 1 0 λ ... 0 1 2 x + u & x= ... ... ... ... ... 1 0 0 0 λn y = [ c1 c2 ... cn ] x 0
λ1
∫
+
x1
c1
+
λ1
u +
∫
x2
c2
+ +
y
λ2
y = [C1 x1 0] x2
Y (s) = Y1(s) = G1(s)U1(s) = G1(s) ⋅[U(s) −Y2 (s)] = G1(s)U(s) − G1(s)G2 (s)U2 (s) = G1(s)U(s) − G1(s)G2 (s)Y (s)
[ I + G1 ( s )G2 ( s ) ]Y ( s ) = G1 ( s )U ( s )
sI − A1 C2 ] 0
−1
B1 B + [ D1 + D2 ] sI − A2 2 0
−1
−1
= C1 [ sI − A1 ] B1 + C 2 [ sI − A2 ] B2 + D1 + D2 = G1 ( s ) + G2 ( s )
二、串联连接
Y (s) = [ I + G1 (s)G2 (s)] G1 (s)U (s)
−1
传递函数矩阵为：G(s) = [ I + G1 (s)G2 (s)] G1 (s)
−1
对应单入－单出系统的传递函数：
G1 ( s ) G(s) = 1 + G1 ( s )G2 ( s )
1 s − λ1
xq
1 s − λ1
xq −1
...
1 s − λ1
x2
x1 1 c1q s − λ1
...
U (s)
c11 c12
c1( q −1)
+ + + Y (s) + + +
1 s − λq +1
xq +1
cq +1
...
...
xn cn
1 s − λn
6 从状态空间表达式求传递函数 6.1 传递函数（阵） 已知系统的状态空间表达式 x = Ax + Bu , y = Cx + Du & 对其进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有
u
u1
∑
y1 u2
1
∑
y2
2
y
显 ， 1 = u u2 = y1， = y2 然 u ， y
& x1 = A1 x1 + B1u1 = A1 x1 + B1u Σ1 : y1 = C1 x1 + D1u1 = C1 x1 + D1u
& x2 = A2 x2 + B2 y1 = A2 x2 + B2 (C1 x1 + D1u) = B2C1 x1 + A2 x2 + B2 D1u Σ2 : y2 = C2 x2 + D2 y1 = C2 x2 + D2 (C1 x1 + D1u) = D2C1 x1 + C2 x2 + D2 D1u
& x1 A1 ∴ = & x2 B2C1
0 x1 B1 x1 x + B D u，y = [ D2C1 C 2 ] x + D2 D1u A2 2 2 1 2
Y ( s ) = G2 ( s )Y1 ( s ) = G2 ( s )G1 ( s )U ( s ) ∴ G ( s ) = G2 ( s )G1 ( s )
n ci c12 c11 + ... + + +∑ ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) i =q +1 ( s − λi )
... & xq −1 = λ1 xq −1 + xq & xq = λ1 xq + u & xq +1 = λq +1 xq +1 + u ... & xn = λn xn + u y = c1q x1 + c1( q −1) x2 + ...c12 xq −1 + c11 xq + ... + cn xn
1 W ( s) = [Cadj ( sI − A) B + D sI − A ] sI − A
与经典控制理论的传递函数相比较，可得到如下结论
N ( s ) b0 s + b1s + ... + bn−1s + bn W (s) = = n n −1 D( s ) s + a1s + ... + an−1s + an
−1
6.3 子系统在各种联结时的传递函数阵 一、并联连接
U1
u1 = u2 = u，同维 y1 + y2 = y，同维
& x1 A1 x = 0 &2
G ( s ) = [C1
∑
Y1
+ +
1
U
Y
∑
U2
2
Y2
0 x1 B1 x1 x + B u， y = [C1 C 2 ] x + [ D1 + D2 ] u A2 2 2 2