利用导数构造函数证明数列型不等式

微专题二十四 构造函数证明数列型不等式
利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。

一、基础知识： 1、考察类型：
（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：
（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。

（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。

其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式：
（1）ln 1x x <- 对数→多项式 （2）1x e x >+ 指数→多项式 4、关于前n 项和的放缩问题：
（1）倒序相加：通项公式具备第k 项与第1n k -+项的和为常数的特点
（2）错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式（例如2n
n a n =⋅，求和可用错位相减）
（3）等比数列求和公式
（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且n a 裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。

二、典型例题：
例1： 已知函数()()2
ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值
（1）求实数a 的值
（2）证明：对于任意的正整数n ，不等式2341
2ln(1)49n n n
++
+++>+L 都成立 【解析】：下面求()()2
ln 1f x x x x =+--的单调区间
()()'
2312111
x x f
x x x x +=
--=-++,令()'
00f x x >⇒<
()()00f x f ∴<=即()2ln 1x x x +<+（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式，不用
白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）
令1x n =，则2
111
ln 1n n n
⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即211ln n n n n ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
223131
ln ln ln 2124n n n n ++∴+++<+++L L 即23412ln(1)49n n n
+++++>+L
例2： 已知函数()()2
ln 1f x ax x =++
（1）当1
4
a =-
时，求函数()f x 的单调区间 （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在0
x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范
围
（3）求证：()()1248211112335582121n n n e -⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++++< ⎪⎪⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
L
（其中,n N e *∈是自然对数的底数）
【解析】：（1）常规解法，求出单调区间找最值 ()()2
1ln 14
f x x x =-
++ ()()()()()
2'
21112
212121x x x x f x x x x x +-+-=-+=-=-+++,令()
'0f x >
求出单调区间如下： （2）解：Q 函数()y f x =图像上的点都在0
x y x ≥⎧⎨
-≤⎩区域内，
Q 条件等价于[)0,x ∀∈+∞,()2
ln 1ax x x ++≤恒成立，即()2
ln 10ax x x ++-≤
令()()2
ln 1g x ax x x =++- ()00g ∴=
()()()2'
2212211
21111
ax a x x ax a g x ax x x x +-+-=+-==+++ 令()'
02210g x ax a >⇒+->即212ax a >-
① 0a >时， 2
11111ln 1ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++-=+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
不符合题意
（此时发现单调性并不能直接舍掉0a >的情况，但可估计函数值的趋势，()ln 1x +恒为正，而2ax x -早晚会随着x 值的变大而为正数，所以必然不符合题意。

在书写时可构造反例来说明，此题只需20ax x -=即可，所以选择1x a
=
） ② 0a ≤时，2210ax a +-<即()'
0g x < ()g x ∴在[)0,+∞单调递减 ()()00g x g ∴≤=，符合题意 综上所述：0a ≤
（3） 所证不等式等价于()()1242ln 1ln 1ln 1123352121n n n -⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 由（2）可得()ln 1x x +≤，令()()
122121n
n n
x -=++，即 ()()()()111221
1ln 1=2212121212121n n n n
n n n n ---⎛⎫⎛⎫+≤- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消） ()()112112211111ln 1ln 1212321212121212121n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 1
121221n ⎛⎫=-<
⎪+⎝⎭
∴不等式得证
例3： 已知函数)1(1
)
ln 1()(>-+=
x x x a x x f
（1）当0a ≠时，讨论()x f x x g '-=2
)1()(的单调性；
（2）当1=a 时，若n x f >)(恒成立，求满足条件的正整数n 的值； （3）求证：()()()[]2
5
211321211-
>++⨯⨯⨯+⨯⨯+n e
n n Λ.
【解析】：（1）()()
'
2
ln 1
1ax a x a f x x ---=
-
()ln 1g x ax a x a ∴=--- ()'1
a x g x a a x x
-=-=⋅
若()()'
010g x a x >⇒->
当0a >时，()g x 在()1+∞，上单调递增 当0a <时，()g x 在()1+∞，上单调递减 （2）思路：()()1ln 1x x f x x +=
-不等式等价于()1ln 1x x n x +>-，即()min
1ln 1x x n x +⎛⎫
< ⎪-⎝⎭
而在第（1）问中()g x 即为()'
f x 的分子，故考虑利用()
g x 来确定()'f x 的符号，进而求出()f x 的单调
区间及最值 解：()()
'2
ln 2
1x x f x x --=
-
()ln 2g x x x ∴=--，由（1）得()g x 单调递增 ()33ln320,(4)4ln420g g =--<=-->
()3,4b ∴∃∈,()ln 20g b b b =--=(尽管无法直接求出()g x 的零点，但可估计出()12,0,x g x <<<且(),0x g x →+∞>，所以可估计零点的所在区间）
()()()()1,,0;,,0x b g x x b g x ∴∈<∈+∞> ()f x 的单调区间如下：
()()()
min 1ln 1
b b n f x f b b +∴<==- ln 2b b =-
()()
()13,41
b b f b b b -∴=
=∈-
{}1,2,3n ∴∈
（4） 所证不等式等价于：
()()()5ln 112ln 123ln 1122
n n n +⨯++⨯++++>-⎡⎤⎣⎦L 由第（2）问可得：
()1ln 3
3ln 21x x x x x
+>⇒>-- ()()()()331
1ln 1122231111n n n n n n n n ⎛⎫∴++>-
>-=-- ⎪++++⎝⎭
∴()()1
1
1735ln 11ln 3213=2ln 3221212n
i i i n n n n n =⎛⎫++>+---+-+>-⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∑ 即原不等式成立。

（如果从第一项就进行缩小，则
()1
13ln 112312311n
i i i n n n n =⎛
⎫++>--=-+⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∑，发现缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。

这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律） 例4：设函数()()2
ln 1f x x a x =-+，其中a R ∈。

:
（1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n ，不等式()2
31
1
1ln 1n
k n k
k =⎛⎫
+>-
⎪⎝⎭
∑都成立。

【解析】：
（1）()2'
22211
a x x a f x x x x +-=-=++，令()'0f x >即解不等式2
220x x a +->
① 1
002
a ∆>⇒-
<<时 0a <()f x 48a ∆=+
方程2220x x a +-=
的两根12x x =
=211x x -<<
()f x ∴的单调区间为：
② 02
a ∆≤⇒≤-
时，2220x x a +->恒成立 ()f x ∴在()1,-+∞单调递增 （2）考虑1a =时，则()()2
ln 1f x x x =-+令()()()3
3
2
ln 1h x x f x x x x =-=-++
()()2
3'
3101
x x h x x +-∴=≥+在[)0,+∞恒成立()h x ∴在[)0,+∞单调递增 ()()00h x h ≥=
()23ln 1x x x ∴+=-，令()1x n N n *
=
∈2323
111111ln 1ln n n n n n n
n +⎛⎫⎛⎫∴+>-⇒>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2311111ln n
n k k k k k k ==+⎛⎫>- ⎪⎝⎭∑∑即：()23111ln 1n
k n k k =⎛⎫+>- ⎪⎝
⎭∑ 例5：已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中0>a 。

（1）求a 的值
（2）若对任意的),0[+∞∈x ，有2
)(kx x f ≤成立，求实数k 的最小值
（3）证明：
∑=∈<+
--n
i N n n i 1*)(2)12ln(1
22
【解析】：（1）()'11
1x a f x x a x a
+-=-=
++,定义域(),a -+∞ 令()'
0f
x >解得1x a >-，()f x ∴的单调区间为：
()()min 110f x f a a ∴=-=-= 1a ∴=
（2）当0≤k 时，取1=x ，有02ln 1)1(>-=f ，故0≤k 不合题意。

当0>k 时，令2
)()(kx x f x g -=，即2
)1ln()(kx x x x g -+-=。

1
))21(2(21)(+---=-+=
'x k kx x kx x x x g ，令0)(='x g ，得12120,12k
x x k -==>-
当21≥k 时，0)(,0221<'≤-x g k k 在),0(+∞上恒成立
因此)(x g 在),0[+∞上单调递减，
∴对于任意的),0[+∞∈x ，总有0)0()(=≤g x g ，即2)(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立。

故2
1
≥
k 符合题意。

当210<<k 时，0221>-k k
)221,0(k k x -∈，0)(>'x g ，∴)(x g 在)221,0(k k -内单调递增，
取)221,0(0k k x -∈时，0)0()(0=>g x g ，即2
0)(kx x f ≤不成立。

故2
10<<k 不合题意 1
2k ∴≥
综上，k 的最小值为2
1。

（3）由第（2）问可得：当12k =时，不等式()21
ln 12
x x x -+≤恒成立
令2
21
x i =-
()()2
2
22112111ln 22,2121221232121i i i N i i i i i i +⎛⎫∴-<=<-≥∈ ⎪-----⎝⎭- 122111111ln 2ln 3121213352321n
i i i i n n =+⎛⎫⎛⎫∴-<-+-+-++- ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭∑L
即11
2211
ln 2ln 312212121n n i i i i i n ==+-<-+-<---∑∑ 即∑=∈<+--n
i N n n i 1*)(2)12ln(1
22
例6： 已知函数()3
()ln 1,0,,()f x x x x g x x ax =-+∈+∞=-
（1）求()f x 的最大值；
（2）证明不等式：121
n n n
n e n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 。

【解析】：（1）()'111x f x
-=
-=
，令()'
01f x x >⇒<，()f x 单调区间如下： ()max 10y f ∴==
（2） 由（1）可得ln 10ln 1x x x x -+≤⇒≤- 令i x n =
，即ln 1i i i n
n n n
-≤-= ln ln n
i i n i n i n n n ⎛⎫
∴≤-⇒≤- ⎪⎝⎭（寻找n 次方的来源）
n
i n i e n -⎛⎫
∴≤ ⎪⎝⎭
()1112112=111n n n n n
n n n n n
e e n e e e e e e n n n e e e -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++<+++=< ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L
∴不等式得证
例7：函数x x f sin )(=.
（1）若x ax x f cos 1)(+≥+在[]π,0上恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）证明：)
12(4)
1(23)12)1((...)122()12(
++≥
+++++++n n n n f n f n f πππ
. 【解析】（1）解：恒成立不等式等价于：cos sin 10ax x x +--≤，令()cos sin 1g x ax x x =+--
()()002002g g a g πππ⎧
⎪≤⎪⎪
∴≤⇒≤⎨⎪
⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩ (注：在[]0,π中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）
cos sin 1y ax x x =+--Q 可视为关于a 的一次函数且递增 ∴令()2
cos sin 1h x x x x π
=
+-- 则对[]2
,0,a x ππ
∀≤
∀∈
()()g x h x ≤恒成立。

∴若要()0g x ≤，只需()0h x ≤，下面进行证明：
()()00,0h h π==,只需证max 2cos sin 10x x x π⎛⎫
+--≤ ⎪⎝⎭即可
()'2
sin cos h x x x π=
-- 考虑0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，(
sin cos 4x x x π⎫+=+∈⎪⎭
从而 ()'2
2
sin cos 10h x x x π
π
=
--<
-< （注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点0x ,但要利
用零点存在性定理估计0x 所在区间）
'320,024h h πππ⎛⎫⎛⎫<=> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ()'
3,,sin cos 004x x x h x ππ⎛⎫∈-->⇒> ⎪⎝⎭
03,
24
x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
,使得()'
00h x = 且当()()()()'
'
000,,0;,,0x x h x x x h x π∈<∈>
()h x ∴在()00,x 单调递减，在()0,x π单调递增 ()()()max 00h x h h π∴=== ()0h x ∴≤恒成立 ()()0g x h x ∴≤≤,进而对每一个2
a π
≤
均满足 2
a π
∴≤
（3） 由（2）可得：2
2
sin 1cos sin cos 1x x x x x x π
π
+≥
+⇒-≥
-
21sin 44x x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫-
≥-⇒-≥- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
令()()421421k n x n ππ++=+
可得()(
))(
)421421sin 2121421421k n k n k k f n n n n ππππ++++⎛⎫⎛⎫
=≥=
⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭
(注：通项公式为sin 21k k a n π⎛⎫= ⎪+⎝⎭，而恒成立不等式中的三角函数为sin 4x π⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，所以令421k x n ππ-=+，反求x 即可）
∴)(
)114212(1)()()...()2121214212n k k n n f f f n n n n π
ππ+=⎛++++++≥- ⎪++++⎝⎭
∑
)(
)()(
))()
(
)
)1
1121214212
1421421n k n n n n k n n n n +=+++
++⎛++-=+ ++⎝⎭
∑
1)
=
4(21)n n ++∴)
12(4)1(23)12)1((...)122()12(++≥
+++++++n n n n f n f n f πππ 例8：定义：若()k
f x y x
=
在[),k +∞上为增函数，则称()f x 为“k 次比增函数”，其中k N *
∈，已知()ax f x e =:
（1）当1
2
a =
时，求函数()()f x g x x =在[](),10m m m +>上的最小值
（2）求证：
()
()
()
()
1
2
3
11
1
1
72123n
e
n ++++
<
⋅
⋅
⋅
⋅
L 【答案】见解析
【解析】： （1）()1
2
x e g x x = ()()11
1222
'22
1222x x x xe e x e g x x x
--∴== 令()'
0g x >解得2x >
()g x ∴在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增
① 2m >时，()()2
min m e
g x g m m
==
② 2112m m m ≤<+⇒<≤，()()min 22
e g x g == ③ 121m m +≤⇒≤，()()12
min 11
m e
g x g m m +=+=
+
综上所述：()2min +12,2,122
,11m m
e m m e g x m e m m ⎧⎪>⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪⎪≤⎪+⎩
（2）由第（1）问可得：()0,x ∈+∞时，()()22e g x g ≥=，即12
2x e e x ≥ 所求和的通项公式为()1
n n a n =，由122
x e e x ≥可得：
()()()22221212x x x x e x x x e e e x
x x ≥⇒≤⇒≤⇒≤⋅， 令x n =，可得：()
()21
21211n e n e n n n ≤⋅<⋅- ∴()()()()2123221
1111111+++22123n
e n n ⎛⎫++
++< ⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅L L ()1111112423341e n n ⎛⎫<+++++ ⎪⨯⨯-⎝⎭
L ()1111111111111112423341242334
1e n n e n n ⎛⎫⎛⎫<+++++=++-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭L L 1111177=
1242242e n e e ⎛⎫++-<⋅= ⎪⎝⎭。