幕墙立柱内力和挠度的快速计算法

(0 < x12 ≤ c )
( ) A2-B2 段： M
(x21 ) =
−
1 2
q
⎡⎣
x
2
2 1
−
l
1− λ
− λ4 + λ5
x 2 1 ⎤⎦
(0 ≤ x21 ≤ l )
( ) B2-A3
段： M
(x22 ) =
−
1 2
q
⎡ ⎣
(
c
−
) x 22 2
+
l
1− λ + λ3 − λ4
(c − x 22 )⎦⎤
幕墙立柱的计算简图如图 1 所示。
设均布荷载为 q ，悬跨比 λ = c l ，荷载效应的符号及正负号定义如下：
R －支座反力，作用方向向上者为正； V －剪力，对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正； M －弯矩，使截面上部受压、下部受拉者为正；
w －挠度，向下变位者为正。
图 1 幕墙立柱计算简图
本文推导了按受均布荷载作用五等跨等截面铰接梁处理的建筑幕墙立柱以下简称为幕墙立柱的内力和挠度方程及其最大值计算式并据此编制了内力和挠度计算系数表可方便地用于幕墙立柱的结构计算
幕墙立柱内力和挠度的快速计算法
蔡杰民 郭毓
（上海杰思工程实业有限公司）
(上海大学)
摘 要 本文推导了建筑幕墙立柱的内力和挠度方程，给出了相应的最大值计算式，并据此编 制了内力和挠度计算系数表，可方便、快捷地运用于建筑幕墙立柱的结构计算。
B4-A5 段：
( ) w ( x42 ) =
q 24EI
⎡ ⎣
(
x
4
2
−
c )4
−
2l
1− λ2
( x42
−
c )3
−
S 4 x42
−
T4
⎤ ⎦
(0 < x42 ≤ c )
( ) ( ) 式中： S4 = l3 1 − 5λ − 5λ 2 − λ3 + λ 4 + 5λ 5 − λ 6 + 4λ10 ； T4 = l 4 λ 3 2 + λ − 2λ 2 ；
段：
w m ax
=
C2
ql4 100EI
(在 A 2 − B 2 段 中 部 ) （13）
( ) B2-A3 段： w m ax =
− ql 4λ
1 − 5λ + 5λ 3 − 5λ 4 + 4λ 8 100EI
=
C
A3
ql4 100EI
(在 铰 接 点 A 3 处 ) （14）
A3-B3
段： w m ax
A4-B4 段：
( ) w ( x41 ) =
q 24EI
⎡⎣ x 414
− 2l
1− λ
− λ2
+ λ3
x 413 − U 4 x 41 − V 4 ⎤⎦
(0 ≤ x41 ≤ l )
( ) ( ) 式中：U4 = −l3 1 − λ − 7λ 2 + 3λ 3 + 5λ 4 − 5λ5 + λ 6 − 4λ10 ；V4 = l4k −1+ 5λ −5λ2 − 5λ3 + 5λ4 − λ5 + 4λ9
2
) x52 2
(0 < x22 ≤ c ) (0 ≤ x31 ≤ l ) (0 < x32 ≤ c ) (0 ≤ x41 ≤ l ) (0 < x42 ≤ c ) (0 ≤ x51 ≤ l ) (0 < x52 ≤ c )
式中的 xij （ i ＝1 、2 …5 ； j ＝1 、2 ）如图 1 所示。根据剪力 与弯矩之间 的关系
段： w m ax
=
C1
ql4 100EI
(在 A1 − B 1段 中 部 ) （11）
( ) B1-A2 段： w max = − q l 4 λ
1 − 4λ − 4λ 2 + λ 3 + 4λ 5 − 4λ 7 100EI
=
C
A2
ql 4 100EI
(在 铰 接 点 A2处 )
（12）
A2-B2
−l
1− λ
− λ2
+ λ3
x 41 ⎤⎦
( ) B4-A5
段： M
( x42 ) =
−
1 2
q
⎡ ⎣
(
c
−
) x42 2
+
l
1− λ2
(c − x42 )⎤⎦
( ) A5-B5 段： M
( x51 )
=
−
1 2
q
⎣⎡ x 512
−l
1− λ2
x51 ⎦⎤
B5-A6
段： M
( x52 ) =
− 1 q (c −
式中的 Ki （ i ＝1、2…5）， KBj （ j ＝1、2…5）均是悬跨比 λ 的函数。
（5） （6） （7） （8）
（9） （10）
根据 d 2 y dx2 = M ( x ) EI [5]，以及在支座处梁挠度为零的边界条件和梁的连续性条件，对
上述弯矩方程积分，可得各段梁的挠度方程：
A1-B1 段：
=
C3
ql4 100EI
(在 A 3 − B 3 段 中 部 ) （15）
( ) B3-A4 段：w max
=
−ql4λ
1 − 5λ + λ 2 + 5λ 3 − 5λ 4 + λ 5 − 4λ 9 100EI
=
C
A4
ql4 100EI
(在 铰 接 点 A 4处 ) （16）
A4-B4
段： w m a x
(
x
1
2
−
c )4
−
2l
1− λ − λ4 + λ5
( x12
−
c )3
−
S 1 x12
−
T1
⎤ ⎦
(0 < x12 ≤ c )
( ) ( ) 式中： S1 = l 3 1 − 4 λ − 6 λ 2 + 2 λ 3 + 4 λ 5 + 2 λ 6 − 6λ 7 ； T1 = l 4 λ 3 2 − λ − 2 λ 4 + 2 λ 5
A2-B2 段：
( ) w ( x21 ) =
q 24EI
⎡⎣ x 2 1 4
− 2l
1− λ
− λ4
+ λ5
x 2 13 − U 2 x 2 1 − V 2 ⎤⎦
(0 ≤ x21 ≤ l )
( ) ( ) 式中：U 2 = −l 3 1 − λ − 4λ 2 − 4λ 3 − λ 4 + 2λ 5 + 4λ 6 − 4λ 8 ；V2 = l 4λ (λ + 1) 1 − 5λ + λ 2 + 4λ 5 − 4λ 6
B3-A4 段：
3
( ) w ( x32 ) =
q 24EI
⎡ ⎣
(
x
3
2
−
c )4
−
2l
1− λ − λ2 + λ3
( x32
−
c )3
−
S3 x32
−
T3
⎤ ⎦
(0 < x32 ≤ c )
( ) ( ) 式中： S3 = l 3 1 − 5λ − λ 2 + 6λ 3 − 3λ 4 − λ 5 − 4λ 9 ； T3 = l 4 λ 3 2 − λ − 2λ 2 + 2λ 3 ；
2
ql2 = K 4ql2
( ) B4-A5 段： M m ax = － λ
1+ λ − λ2 2
ql2 = K B4ql2
( ) A5-B5 段： M max =
1− λ2 8
2
ql2 = K 5ql2
B5-A6 段： M
m ax
=－
λ2 2
ql2
=
K B5ql2
(在 A3 − B 3段 中 部 ) (在 支 座 B 3处 ) (在 A4 − B 4段 中 部 ) (在 支 座 B 4处 ) (在 A5 − B 5段 中 部 ) (在 支 座 B 5处 )
V (x) = dM (x) dx [5]，可得各段梁的剪力方程，此处不再赘述。
由上述弯矩方程，进而可得各段梁的最大弯矩：
( ) A1-B1 段： M m ax =
1− λ + λ5 − λ6 2
8
q l 2 = K 1q l 2
( ) B1-A2 段： M m ax = － λ
1− λ4 + λ5 2
R = 1 ql (2 + 3λ − λ 3 )； B4 2
( ) V A 2
=
1 ql 2
1− λ − λ4 + λ5
；
( ) V A 4
=
1 ql 2
1− λ − λ2 + λ3
；
各段梁的弯矩方程如下：
R = 1 q l (1 + λ )2 ；
B5 2
( ) V A 3 =
1 ql 2
1− λ + λ3 − λ4
B2-A3 段：
( ) w ( x 22 ) =
q 24EI
⎡ ⎣
(
x
2
2
− c )4
− 2l
1− λ
+ λ3 − λ4
( x22
−
c )3
−
S 2 x22
−
T
2
⎤ ⎦
(0 < x22 ≤ c )
( ) ( ) 式中： S2 = l 3 1 − 5λ − 2λ 2 + 6λ 3 − 5λ 4 − 2λ 5 + 2λ 6 + 4λ 8 ； T2 = l 4 λ 3 2 − λ + 2 λ 3 − 2λ 4
由力和力矩平衡方程，可推导出各支座处反力和各铰接点剪力：
1
( ) R = 1 q l 1 − λ + λ 5 − λ 6 ； A1 2
( ) R = 1 q l 2 + 2 λ − λ 4 + λ 6 ； B1 2
( ) R = 1 q l 2 + 2 λ + λ 3 − λ 5 ； B2 2
( ) R = 1 q l 2 + 2 λ − λ 2 + λ 4 ； B3 2
关键词 建筑幕墙 立柱 内力 挠度 计算系数表
建筑幕墙按其施工方法可分为单元式幕墙和构件式幕墙[1]。单元式幕墙通过相邻单元组件 的上、下框，或左、右框对插形成组合横梁和立柱，因此其上、下立柱之间的连接应视为铰 接。构件式幕墙上、下立柱之间采用芯柱连接，当芯柱插入上、下立柱的长度小于立柱截面 高度的两倍，或芯柱惯性矩小于立柱惯性矩时，上、下立柱之间的连接可按铰接处理[2]。因此， 单元式幕墙和上述构件式幕墙立柱的计算模型可简化为受均布荷载作用的多跨铰接梁。
A5-B5 段：
( ) w ( x51 ) =
q 24EI
⎡⎣ x514
− 2l
1− λ2
x
5
3 1
− U 5 x51
−
V5
⎤⎦
(0 ≤ x51 ≤ l )
( ) ( ) 式中：U5 = −l3 1 + λ − 7λ 2 − 3λ3 − λ5 + 5λ 6 − λ 7 + 4λ11 ；V5 = l 4k 1 − 5λ − 3λ 2 − λ 4 + 5λ 5 − λ 6 + 4λ10
通常，一项建筑幕墙工程中的大部分幕墙立柱可按受均布荷载作用的等跨等截面铰接梁 计算。本文推导了按受均布荷载作用、五等跨等截面铰接梁处理的建筑幕墙立柱（以下简称 为幕墙立柱）的内力和挠度方程及其最大值计算式，并据此编制了内力和挠度计算系数表， 可方便地用于幕墙立柱的结构计算。
1 幕墙立柱的内力和挠度方程及其最大值
q l 2 = K B1q l 2
( ) A2-B2 段：M m ax =
1− λ − λ 4 + λ5 2
8
ql2 = K 2ql2
( ) B2-A3 段：M m ax = － λ
1+ λ3 − λ4 2
ql2 = K B2ql2
(在 A1 − B 1段 中 部 ) (在 支 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ B 1处 ) (在 A 2 − B 2 段 中 部 ) (在 支 座 B 2处 )
=
C4
ql4 100EI
(在 A 4 − B 4 段 中 部 ) （17）
A3-B3 段：
( ) w ( x31 ) =
q 24EI
⎡⎣ x314
− 2l
1− λ
+ λ3
− λ4
x
3
3 1
− U 3 x31
− V3 ⎤⎦
(0 ≤ x31 ≤ l )
( ) ( ) 式中：U 3 = − l 3 1 − λ − 5λ 2 + 2 λ 3 + 3λ 4 − 5λ 5 + 4λ 9 ；V3 = l 4 k 1 − 5λ + 5λ 3 − 5λ 4 + 4λ 8
B5-A6 段：
w ( x52 ) =
q 24EI
⎡ ⎣
(
x
5
2
−
c )4
−
S5 x52
−
c
4
⎤ ⎦
(0 < x52 ≤ c )
( ) 式中： S5 = l3 1 − λ + λ 2 − λ 3 + λ 5 − 5λ 6 + λ 7 − 4λ11 ；
由上述挠度方程，进而可得各段梁的最大挠度：
A1-B1
（1） （2） （3） （4）
2
( ) A3-B3 段： M m ax =
1− λ + λ3 − λ 4 8
2
ql2 = K 3ql2
( ) B3-A4 段： M m ax = － λ
1− λ2 + λ3 2
ql2 = K B3ql2
( ) A4-B4 段： M max =
1− λ − λ2 + λ3 8
( ) w ( x11 ) =
q 24EI
⎡⎣ x1 1 4
− 2l
1− λ
+ λ5 − λ6
x1 13 − U 1 x1 1 ⎤⎦
(0 ≤ x11 ≤ l )
( ) 式中：U 1 = − l 3 1 − 2λ + 2λ 5 − 2λ 6
B1-A2 段：
( ) w ( x12 ) =
q 24EI
⎡ ⎣
( ) A3-B3 段： M
( x31 )
=
−
1 2
q
⎡⎣ x312
−
l
1− λ + λ3 − λ4
x31 ⎤⎦
( ) B3-A4
段： M
( x32
)=
−
1 2
q
⎡ ⎣
(
c
−
x32
)2
+
l
1− λ − λ2 + λ3
(c − x32 )⎦⎤
( ) A4-B4 段： M
( x41
)
=
−
1 2
q
⎡⎣ x 412
；
( ) V A 5
=
1 ql 2
1− λ2
；
( ) A1-B1 段： M
( x11 )
=
−
1 2
q
⎡⎣ x112
−
l
1− λ
+ λ5 − λ6
x11 ⎤⎦
(0 ≤ x11 ≤ l )
( ) B1-A2
段： M
( x12
)=
−
1 2
q
⎣⎡ ( c
−
x1 2
)2
+
l
1− λ − λ4 + λ5
(c − x12 )⎦⎤