浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题
1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．
C ．
D ．
sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C
【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.
sin α=
cos α=
【详解】解：由三角函数的定义可知，，
sin αcos 0α=
>故选：C ．
【点睛】任意角的三角函数值：
（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)y
y x x x
ααα===≠
（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)y
x x
ααα=
=
=
≠
2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断
【详解】若，而不能推出，
0,1a b ==-b >2
01a b
=<=b >2a b >
当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >
，
b >
所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A
3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．
212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C
【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.
2
124162
S =⨯⨯=故选：C
4．有一组实验数据如下表所示：
t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
0.5v t =()2
0.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D
【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，
数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.
5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．2022
2022-【答案】B
【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，
()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，
(2)(0)0f f =-=.
(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）
()a
y x b x c =
--
A ．，，
B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =
C ．，，
D ．，，
a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A
【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为
()a
y x b x c =
--{
},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>a
y x x c
=
-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，
0,0b c >=()a
y x b x =
-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A
7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．
C ．
D ．
a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B
【分析】利用对数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，
2
3
5125,11==1123
11log 5lo 2
113
g b =>=因为，所以，即，
2=233=2
3332log 2log 33
<=23<a
因为，即，，
4=2
3
10=23
2
lg 4lg103
<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)
log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3
a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<
b 故选：B
【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.
8．已知函数，若关于的方程
（）有三个不()2124,1
3,1
x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）
123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2
12
3
222f x f x f x +++A ． B ．
C ．
D ．
42()2
2a +2a +【答案】A
【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实
()f x t =()()2
02
f x a f x +
+=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由
123,,x x x ()2
2220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.
()()()()()()2
1
2
3
222f x f x f x +++()()22
1222t
t =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 1
3, 1x
x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩
令，则有两个不等的实数根，，
()f x t =()2
2220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，
()()
()()()()2
12
3
222f x f x f x +++，
()()2
2
1222t t =++， ()()212[22]t t =++，
()()2
121224t t t t =+++
. ()2
224244a a =+--+=故选：A
二、多选题
9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=
A ．
B 1ab ≤≤
C ．
D ．
222a b +≥21
2a b
+>【答案】ACD
【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤
对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；
1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪
⎝⎭
，故D 正确； 312313
222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数
()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC
【分析】是周期为
的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +m
a
()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.
n ()f x π,()g x
【详解】设周期为周期为，，
()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；
()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +m
a 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af x
b af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；
(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函
π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC
11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，
f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单
π
2
=ωπ2
ϕ=
()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC
【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.
【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；
22T ∴
=4T =2π4ω
=π
2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故
()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π
2ϕ=-选项B 错误；
对于C ，综上或者，
()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1π
ππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；
()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零
()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π
2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2
y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.
12．设函数若存在，使得
()()4,,f x x t g x x
=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *
∈∈≥，则t 的值可能是（ ）
121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++
A ．-7
B ．-6
C ．-5
D ．-4
【答案】BCD
【分析】根据题意可得，令
112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4
()()()F x f x g x x t x
=-=+
+[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.
【详解】由题意得，存在使得
*
12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，
112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4
()()()F x f x g x x t x
=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4
y x x
=+
(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，
(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，
*
4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，
4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，
4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952
942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222
n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.
三、填空题
13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.
()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域
.
1
3a =-y =
【详解】由幂函数，可得，解得，即
3y x α
α=-31α-=1
3a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.
()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3
cos π25
θ+=tan θ=【答案】
2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或
tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.
tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；
()3
cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3
cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-
++解得或，
tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：
2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．
【答案】##
37.575
2
【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.
【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，
110m 120m 所以，解得，
12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩
55,65A k ==
因为每转一圈，所以，， 30min 2π
30T ω
=
=15
πω=
当时，，所以，所以可取，
0=t 10h =sin 1ϕ=-π
2ϕ=-所以，
π
π55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
所以当时，
5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
故答案为：
37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +
【答案】
[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，
2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，
1a ≤-()f x [1,1]-则，且，
2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；
22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤1
2
a ≥-同理，当，在上递减，
1a ≥()f x [1,1]-则，且，
2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--1
2
a ≤
当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤
当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤
由此得，的取值范围是.
a b +[
当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=
故答案为:
[
四、解答题 17．已知
.
sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫
=∈ ⎪-⎝⎭
，，(1)求的值;
tan α
(2)若，求角.
()sin αβ-=
π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)
4
π
β=
【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；
（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.
【详解】（1）解：因为，
sin cos 3sin cos αα
αα
+=-所以
，解得；
tan 1
3tan 1
αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，
tan 2α=π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭则， 22
sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩
解得， sin αα==
又，所以，
π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
又因
()sin αβ-=
()cos αβ-==
则 ()sin sin βααβ=--==
⎡⎤⎣⎦所以.
4
π
β=
18．已知集合，集合，集合
{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.
{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；
A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x A
B ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.
3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；
（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，
23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……
又因为，所以，
{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.
A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，
x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；
B =∅121m m +>-2m <当时，解得，
B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩
………23m ……综上所述：.
3m …19．已知函数，其中常数．
()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6
的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间1
2()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4
322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究
()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2
t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π3
2k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
（2）由题设，将函数的图象向左平移
个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43
t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦要使最小，则，
b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12
-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+
==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以，即的最小值为． 30143π6
x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群
S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩
，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，
∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】（1）由题意知，当时，
30100x <<， ()180029040f x x x
=+->即，
2659000x x -+>解得或，
20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，
（2）当时，
030x <≤； ()()30%401%4010
x g x x x =⋅+-=-当时，
30100x <<
； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭
∴； ()2401013585010
x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；
032.5x <<()g x 当时，单调递增；
32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；
()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．
【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
(2) 4,15⎡⎤+∞⎢
⎥⎣⎦
【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；
（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1
()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．
【详解】（1）由得； []1
ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即
[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；
3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；
2a =121x x ==-
当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3
x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32
a >
若是原方程的解，当且仅当，即，
2x 21
10a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 321
23a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩
且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩
且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦
（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =
+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，
1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11
ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a
+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415
a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。