人教版九上数学一元二次方程知识点和考点精析

一元二
次方程知识点及考点精析
一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩
⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．
就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02
≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x
m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242
++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

典型例题：
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582
=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
311=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -
★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

()m x m m ±=⇒≥=,02
※※对于()m a x =+2，()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法
例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132
=--x
例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。

）
A.12322-=+x x
B.()022
=-x C.x x -=+132 D.092=+x
0，•再分别使各一次因式等于0
0”，
()()2
2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x
例1．解方程
（1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x （x-2）+x-2 =0 (3)5x 2-2x-
14=x 2-2x+34
(4)(x-1) 2 =(3-2x) 2
例2．已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab
+--的值．
例3、()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A 25=x
B 3=x
C 3,2
521==x x D 52=x 例4、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

变式1：()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）
A.2321=-=，x x
B.2321-==，x x
C.3321-==，x x
D.2221-==，x x
例4、解方程： ()04321322=++++x x
例6、已知023222=--y xy x ,则y
x y x -+的值为 。

变式：已知02322
2=--y xy x ,且0,0>>y x ,则
y x y x -+的值为 。

★1、下列说法中： ①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++
② )4)(2(862--=-+-x x x x . ③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=- ⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）
A ．0622=--x x
B ．0622=+-x x
C ．0622=-+y y
D ．0622
=++y y
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）
A 、-1或-2
B 、-1或2
C 、1或-2
D 、1或2
5、方程：212
2=+x x 的解是 。

★★★6、已知06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求y
x y x --362的值。

★★★7、方程()012000199819992
=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。

()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⇒ 配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根. 关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1． 用配方法解下列关于x 的方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12
=0 (3）2x 2+1=3x （4）3x 2-6x+4=0 （5）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0
例2.试用配方法说明322
+-x x 的值恒大于0。

例3.已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例4.已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例5.分解因式：31242
++x x
一、选择题
1．配方法解方程2x 2-
43
x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=109 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A ．x 2+1=0
B ．（2x+1）2=0
C ．（2x+1）2+3=0
D ．（
12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）．
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
二、填空题
1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x
2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求
222x y x y -+的值．
★★3、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★4、已知04112
2=---+x x x x ，则=+x x 1 . ★★★5、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

★★★6、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子
(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
（5）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。

3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

)0
4
,02≥
-
≠ac
b
a且
a
ac
b
b
x
2
4
2-
±
-
=,()0
4
,02≥
-
≠ac
b
a且
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2x+
1
2
=0 （4）4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）22
m
x++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．B．C．D．
22的根是（）．
A．x1x2B．x1=6，x2C．x1x2D．x1=x2
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-
b a ，x 1·x 2=
c a
；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
例3、选择适当方法解下列方程：
⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x
⑷01432
=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
例2、在实数范围内分解因式：
（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶2
2542y xy x -- 说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

例1、 已知0232=+-x x
，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例4、用两种不同的方法解方程组
⎩⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.
1. 用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用
2..掌握b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。

例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0
不解方程判定下列方程根的情况:
（1）x 2+10x+26=0 （2）x 2-x-
34=0 （3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x+116=0
（5）x 214
=0 （6）4x 2-6x=0 （7）x （2x-4）=5-8x
例2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m
例4、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

例5、已知二次三项式2)6(92
-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.
例6、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.
3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .
★★4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,
22y x y kx y
（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.
★ ★★5、当k 取何值时，方程0423442
2=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？
例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根，则m 为 ,
⑵只有一个根，则m 为 。

例2、 不解方程，判断关于x 的方程()322
2-=+--k k x x 根的情况。

例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022
=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．
A ．100（1+x ）2=250
B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250
C ．100（1-x ）2=250
D ．100（1+x ）2
2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A ．（1+25%）（1+70%）a 元
B ．70%（1+25%）a 元
C ．（1+25%）（1-70%）a 元
D ．（1+25%+70%）a 元
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投
入资金600万元，第二年比第一年减少
31，第三年比第二年减少2
1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313≈）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A 、B 两地间的路程为36千米.甲从A 地，乙从B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B 地，乙再走1小时36分到达A 地，求两人的速度.
02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

a
c x x a b x x =-=+2121,
例1. 已知x x 21,是方程01322=-+x x
的两个根，不解方程，求下列代数式的值. x x 2122)1(+
x x 211
1)2(+ )3)(321)(3(--x x ))(4(212x x -
人教版九上数学一元二次方程知识点和考点精析
11 / 11 x x x x 212122)5(⋅+⋅ x x x x 2
1
12)6(+
例2、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A.3
B.3
C.6
D.6
例3、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例5、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则a
b b a +的值为 。

例6、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
1.已知方程0132=++x x 的两个根为x x 21,，求)1)(1(21x x
++的值.
2.若m ，n 是方程0120042=-+x x 的两个实数根,求代数式mn mn n m -+22的值.
3.已知关于x 的方程0)12(22=+++k
x k x 的两个实数根的平方和是11，求k 的值. .
4.m 为何值时,（1）方程01342=++-m x x 有两个不相等的正数根？（2）方程01222=+-+m x x 的两根异号？。