22.2.1二次函数与一元二次方程

（2）请求出球飞行的最大 水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
解得：x1=0,x2=8 ， ∴球飞行的最大水平距离是8m．
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的
最大水平距离为10m.
抛物线的对称轴为 x=5，顶点为 (5, 16 ) 6
设此时对应的抛物线解析式为 y a(x 5)2 16
5
又∵点(0,0)在此抛物线上，
25a 16 0 5
复习.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可 由 b2−4ac 确定。
b2−4ac＞0 b2−4ac=0 b2−4ac＜0
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
2.在式子h=50−20t2中，如果h=15，那么50−20t2= 15 ，
如果h=20，那50−20t2= 20 ，如果h=0，那么 50−20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我们可以
转的喷水头，喷出的水面呈抛积物为线多状少，可呢用？二次函数
y=−0.5x2+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求
水流的落地点D到A的距离是多少？
分析：根据图象可知，水流的
y
落地点D的纵坐标为0，横坐
标即为落地点D到A的距离。
B
即：y=0 。
A0
-1
Dx
解：根据题意得 −0.5x2+2x+2.5 = 0， 解得x1=5，x2=−1(不合题意舍去)
答：水流的落地点D到A的距离是5m。
边观察边思考
1、二次函数y = x2+x−2 , y = x2−6x+9 , y = x2−x+1的图象
如图所示。
y = x2+x−2
y = x2−6x+9
y = x2−x+1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程 x2+x−2=0 , x2−6x+9=0有几个根?
a 16 125
y 16 (x 5)2 16 即: y 16 x2 32 x
125
5
125 25
讨论
●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 桌，然后告诉老师？
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴b是2-K4直≠a线0c≥0x=-1,由图
象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2和x轴有交点，则k的 取值范围（ B ）
A:
k
4 7
B
:
k
4 7
且k
0
C
:
k
4 7
练习
2.如果关于x的一元二次方程 x2−2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿1＿,此时抛物线 y=x2−2x+m与x轴有__1__个交
点.
3.已知抛物线 y=x2−8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿1＿6 .
4.抛物线y=x2−3x+2 与y轴交于点＿(＿0,＿2＿) ,与x轴交于
点_(_1_,_0_)_,(_2_,_0_)__.
4a
o
x
二次函数y=ax2+bx+c的性质
当a<0时：抛物线开口向下。
对称轴是 x b ,顶点坐标是 2a
b 4ac b2
( ,
)
2a 4a
在对称轴的左侧，即当 x b 时，y随x的增大而增大；
2a
在对称轴的右侧，即当 x b 时,y随x的增大而减小。
2a
简记左增右减。
y
抛物线有最高点，
为一个常数 （定值）
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何?
一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程。
练习一：
想一想，这一个旋转喷水
如图设水管AB的高出地头面，2.5水m流，在落B地处有覆一盖自的动最旋 大
(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当
a>0,c<0时,图象与x轴交点情
况是( C )
Y
A.无交点
B.只有一个交点 C.有两个交点
0
D.不能确定
5X
看谁算的又快又准。
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A. y=2x2−3
B. y=−2 x2+3
C. y=−x2−2x
D. y=−2(x+1)2−3
(40)h=球=20从0t飞–5出t2到落地 要用多少时间 ?
h
t
解：（1）解方程15=20t−5t2 即： t2−4t+3=0
h
h 20t 5t2
20
t1=1,t2=3 ∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
10 o 12
那两的你形么间那只间为么个高能指在球么在求2呢0为时度结出两的为一得m？什间为呢合为个高什个高么球零？图什时度么时度 为15m吗？
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况如何？ （b2-4ac如何？）
（1）有两个交点
b2−4ac > 0
（方程有两个不相等的实数根）
（2）有一个交点
b2−4ac= 0
（方程有两个相等的实数根）
（3）没有交点
b2−4ac< 0
（方程没有实数根）
思考：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则 b2−4ac__≥_0__
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1, 0),(x2, 0)
3.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03
3.26 0.09
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的
当 x b 时，
2a
y最大值= 4ac b2
4a
o
x
引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图 象有关的问题。
如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线 形拱桥的跨度、拱高的计算等．
利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具 有很现实的意义。
本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方 法，探寻其中的奥秘。
求 方程 的解。
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度
角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单
位:s)之间具有关系:h=20−5t2。 21052.=052=02t0–t5–t52t22
考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?
22.2 二次函数与一元二次方程
课件说明
学习目标
1.理解二次函数的图像与x轴交点个数的情况； 2.理解二次函数的图像与一元二次方程的根的关 系。 3.会用一元二次方程解决二次函数图像与x轴的 交点的问题。
二次函数
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数 ,a≠0)的函数叫做x的二次函数。
b2−4ac＞0
O
X
二次函数与一元二次方程的关系
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个公共 点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数 值为0，因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的一个根。
（2）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共 点，公共点的横坐标是x1, x2,那么当x=x1或x2时， 函数值为0，因此x=x1或x2就是方程y=ax2+bx+c 的两个根。
验证一下一元二次方程x2−x+1=0有根吗? 2个根；2个相等的根；无实数根。
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点, 则b2−4ac的情况如何？
b2−4ac＜0
Y
b2−4ac=0
１.已知抛物线y＝x2−mx+m−1.
练习
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m__=__1__；
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m__＞__1__；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m__=__0__。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m__=__2_.
２.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
当a>0时：抛物线开口向上。
对称轴是 x b ,顶点坐标是 2a
b 4ac b2
( ,
)
2a 4a
在对称轴的左侧，即当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当 x b 时,y随x的增大而增大。
2a
简记左减右增。
抛物线有最低点，
y
当 x b 时，
2a
y最小值= 4ac b2
当h＜0时，抛物线 y=ax2向右平移|h|个单 位，得y=a(x−h) 2
y=ax2
二次函数y=ax2的图象与y=a(x−h)2+k的图象的关系
二次函数y=a(x−h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向 左(或向右)平移|h|个单位,在向上(或向下)平移|k|个单 位而得到.
二次函数y=ax2+bx+c的性质
B
D：k
4 7
且k
0
1.抛物线y=2x2−3x−5 与y轴交于点＿(＿0,＿−5＿),
与x轴交于点 (5/2,0) (−1,0).
2.一元二次方程 3x2+x−10=0的两个根是x1=−2, x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x−10与x轴的交点 坐标是(＿−2＿,0＿) (＿5/＿3,0.)
当k＜0时，抛物线 y=ax2向下平移|k|个单 位，得y=ax2+k
y=2x2+2
y=2x2 y=2x2−2
二次函数y=ax2的图象与y=a(x−h)2的图象的关系
二次函数y=a(x−h)2的图象可由二次函数 y=ax2的图象向左（或向右）平移得到：
当h＞0时，抛物线 y=ax2向左平移|h|个单 位，得y=a(x−h) 2
范围是( C )
A. 3< x < 3.23
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
例：已知二次函数y=2x2−(m+1)x+m−1
(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点， 并指出当m为何值时，只有一个交点。
(2)当m为何值时，函数y的图像经过原点。
（2）解方程20=20t−5t2 即：t2−4t+4=0 t1=t2=2
3 4 t∴当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程20.5=20t−5t2 即：t2−4t+4.1=0 因为(−4)2−4×4.1＜0，所以方程无解， ∴球的飞行高度达不到20.5m。
（从4）上解面方我程们0=看20出t−5，t2 对即于：二t2−次4t函=0数 h= 20tt1–=05,t2t=24中，已知h的值，求时间t？ 其实∴就球是的飞把行函0数s和值4sh时换，成它常的数高，度求为0一m元。即 二次飞方出程到的落解地。用了4s 。
为___(__12__,_43_)__.
(3)关于x的一元二次方程x2−x−n=0没有实数根，则抛
物线y=x2−x−n的顶点在（ A）
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 x1=0，x2=5 .