高中物理竞赛专题之机械振动(共33张PPT)

为
。
提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。
振子受稳态受迫振动时， 在平衡位置处的速率为：


A
在平振衡子位自置由处振的动速时率，为： A
A 2
A
理学院物理系
张晚云
2. 一摆在空中振动，某时刻振幅为A0= 0.03m，经过 t1=10s后，振幅变为 A1=0.01m，问:由振幅为A0时起 经多长时间，其振幅减为A2=0.003m ？
1、振幅
A
x02

υ0 2 ω2
注意弹簧的串、并联 及弹簧自身质量的影响
2、角频率
ω弹
k m
ω单
g l
ω复
mgl c I
3、初相位 tan φ υ0 ω x0
同一振动中位相差 与时间差的关系：
或由旋转矢量法确定
Δt Δφ ω
三、简谐振动的三种表示方法
1、 解析表达法
2、 振动曲线法
2g
g T 2g
T
标准钟的秒摆周期T=1s,移地后的周期：T 86400 1s
86400 10
T T T T 1 86400 1 10
T TT
86400 10 86390
g T 2g 2 9.800 10 0.0023m / s2
d
2 (q
dt 2
)

[ 2(1 2cos2 q0 )
g R
cosq
0
]q
cosq0
=
g
Rω
2
d 2(q )
dt 2

R2 4 g 2 R2 2
q

0
ω=
ω R2 4 g 2 Rω2 2
例5. 一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端 系一质量为m的小球，另一端系一质量为M的重物。
A A12 A22 2A1 A2 cos
(1)若Δφ φ2 φ1 2kπ, 则A Amax A1 A2;
(2)若Δφ φ2 φ1 2k 1π, 则A Amin A1 A2 .
2、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值 的简谐振动的合成
高中物理竞赛专题 之
机械振动
机械振动知识小结
一、简谐振动的定义（判据）
1、弹性回复力
2、动力学方程


பைடு நூலகம்2
T
3、运动学方程
其速度、加速度也有简谐振动的特征


AAcossi(n(t t


)
)
2
a AAco2 sc(ost(t) )
二、简谐振动的三个特征量
绕滑块无摩擦地自由转动。在t=0时刻，细杆与铅垂 线夹角 由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角 度下滑块的运动方程。
m1
θ0 l
m2
4.质量为m 的小球在光滑水平桌面以角速度ω 作匀速
圆周运动，所需的向心力由与其相连的弹簧提供。弹 簧的倔强系数为k，另一端固定。现沿径向轻击小球。 试求：小球的径向振动周期。
k
平衡位置
x0
θ
例2. 如图所示，在倾角为 θ 的斜面上有一倔强系数
为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心
圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略 轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。
自然位置
k
平衡位置
fk R mgsinθ
x0 x
fr
mg θ
例3. 弹簧振子中的小球质量为M，弹簧的一倔强系 数为k，弹簧的质量为m，且该质量是均匀分布的。试 求无阻尼振动的周期。
(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动； (2)物体由地球表面落至地心的时间为
式中G是引力常量。
(提示:物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀 带电球体内受力的计算类似)
2.一质量为m，半径为r 的均匀实心小球在半径为R
的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。
θ
R
r
3.质量为m1可在光滑水平直导轨上滑动，滑块经长为l 的刚性轻杆与一质量为m2的重锤相连。重锤与滑块可
例4. 一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω 绕其竖 直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω 2>g的
情形下：(1) 小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心
的连线同竖直直径之间的夹角q0表示); (2) 小珠在平
衡位置附近作小振动的角频率。
解：(1)在平衡位置时
Ncosq0 = mg
Nsinq0 = mRsinq0ω 2
m M
)

01
o
x0

mg k
0

(m
m M
) 01

k mM
自然 位置
A
x02

02 2
mg k
1

(m
k
2 01
M)g2
x
tan 0 01
k
x0
g mM
x0
(2) 最高点的相位： t 2
t 2 tan1(01
x xt 图
A
o
Tt
T
A
2
3、 旋转矢量法
三、简谐振动的三种表示方法
1、 解析表达法
2、 振动曲线法
x xt 图
A
o
Tt
T
A
2
3、 旋转矢量法
注意：熟练掌握旋转矢量法！ a、确定初相位 b、确定相位差或时间差
同一振动： t

同频率不同振动：
t
A t

t =0
0 x x0
底A所需时间之比为
。
小球1作自由下落： t1
2R g
A
小球2作简谐振动：
T t2 4

2
R g
t1 2 2
t2
例2. 一摆钟在g=9.800(SI)处走时准确，如移至另一 地点后，每天慢10s，求该地的重力加速度值。
解：由单摆的周期公式 T 2 l 两边同时微分，得：
g
T T g
x1(t) A0 cos t x2(t) A0 cos(t ) x3(t) A0 cos(t 2 )

xN (t) A0 cos[t ( N 1) ]
x x1 x2 xN
Acos(t )
A

A0
sinN sin
2 2
解：
A =A0 e βt
lnA = lnA0 βt
β = 1t1ln
A0 A1
=
1 10
ln
0.03 0.01
=0.110
t2
=
1
β
ln
A0 A2
=
1 0.11
ln
0.03 0.003
=20.9(s)
五、补充练习题
1. 设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度
ρ =5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:
dt 2
)


2
sin(q0

q
) cos (q 0

q
)

g R
sin(q0

q
)
sin(q0 q ) sinq0 (cosq0 )q
cos(q0 q ) cosq0 (sinq0 )q
d
2 (q
dt 2
)

[ 2(1
2 cos2
q0
)

g R
cosq 0 ]q
END
k)
g mM
t m M tan1(01
k)
k
g mM
x
M
01
o
三、阻尼振动与受迫振动问题举例
1. 固有频率为 0的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下，
受到频率为 2 0 的余弦策动力作用，作受迫振动并达到
稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策
动力，此后作振幅A′的自由振动，则A′与A的关系
x
2 1
x Acos(t )
c、解决振动合成问题
理学院物理系
张晚云
四、简谐振动的能量
Ek

1 2
m 2
EP

1 2
kx2
E

EP

EK

1 2
kA2

1 2
m 2 A2
1、 由能量求振幅 2、 由能量求角频率
A 2E0 k
E( x, υ) 常数 两边求导
2
合振动的振幅：A合
2 Acos( ω2 ω1 t ) 2
T拍

2 2 1
拍 2 1
4、相互垂直的同频率的简谐振动的合成 2 1
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
x2 A12

y2 A22

2 xy cos
留在物块中。试求：
自然
(1)振子以后的振动振幅与周期；
位置
x
(2)物块从初始位置到最高点所需的时间。
解：建立如图所示坐标，在平衡位置
Mg kx (m M )g k(x x0 )
mg x0 k
(1) 由动量守恒 m01 (m M )0
x
M
01 x0
得：
0

(m
ω2 k m
m
d2 dt
x
2

kx

0
五、 简谐振动的合成
1、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) tg A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos(t 2 )
A1 cos 1 A2 cos 2
x x1 x2 Acos(t )
运动状况 振动曲线
三个特征量
2.简谐振动的动力学问题
运动学方程
受力分析
牛顿定律
动力学方程
3.简谐振动的合成
初始条件
（通常与波的相干叠加相结合）
1.简谐振动的运动学问题举例
例1. 有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心处，小球
2在碗壁离碗底部中心A很近的地方，如图所示，现同
时释放两球，所有阻力均不计，则小球1与小球2到达碗
小球在桌面上以 ω0作匀速率圆周运动，此时重物静止 不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后， 它将在竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。
例6.如图,一弹簧振子由劲度系数为k 的弹簧和质量为M
的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，
一颗质量为m、速度为v01的子弹由下而上射入物块，并
③列出各物体的动力学方程，与上述微分方程比较。
能量法的步骤： ①确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒；
②以平衡位置为原点建立坐标,写出任意位置机械能；
③把上述结果对时间求一阶导数，并将所得结果与简谐振动 的动力学判据进行比较。
类型Ⅱ
物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动
例1. 某液体的密度随深度的增加而线性增大，且已 知其表面处及深度为D处的密度分别为ρ0 、2 ρ0。现有
T
86390
g g g 9.800 0.0023 9.7977m / s2
2.简谐振动的动力学问题举例（两种类型）
类型Ⅰ
证明或判断振动物体是否作简谐运动
判断简谐运动的依据： 动力学方法的步骤：
动力学方法 能量法
①确定振动系统，以平衡位置处为原点建立坐标；
②分析处于任意位置处系统各物体的受力情况；
cosq0
=
g
Rω
2
q0 = cos
1
g
Rω
2
N q0
mg
(2)当小球偏离平衡位置时
小球除了受正压力N，重力作用mg 外，
还受到一惯性力:
切向:
FI cosq mg sinq ma mR
d 2q
dt 2

2 sinq
cosq

g sinq
R
d 2q
dt 2
N
q
FI
mg
d
2 (q
一密度为 2 ρ0 的小球于深度为D/2处由静止开始下落。 若忽略液体阻力，试求该物体的运动方程。
例2. 如图所示，在倾角为 θ 的斜面上有一倔强系数
为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心
圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略 轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。
自然位置
A1 A2

sin2

特别地
当振幅相 等时，椭 圆轨道就 成为圆。
六、阻尼振动
七、受迫振动
1、稳态解 x=Acos( t+)
2、共振
驱动力频率
1）速度共振：
2）位移共振：
若 << 0 则 r 0 ，称尖锐共振
机械振动典型问题及示例
一、简谐振动三类问题
1.简谐振动的运动学问题
N 1
2
３、同方向不同频率的简谐振动的合成
x1(t) Acos(1t ) x2 (t) Acos(2t )
2- 1 2+ 1
x x1 x2
随ｔ缓变 形成“拍”
2Acos( 2 1 t) cos( 1 2 t )
2