2024年高三总复习数学第一章 集合与常用逻辑用语(单元重点综合测试)+答案解析

第1章集合与常用逻辑用语（单元重点综合测试）
一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。

1．已知集合{}3,2,0,1,2,3,7A =--，{},B x x A x A =∈-∉，则B =（）A ．{}0,1,7B ．{}1,7C ．{}
2,0,7-D ．{}
2,1,7-【答案】B
【分析】根据题意，结合{},B x x A x A =∈-∉，逐个元素判定，即可求解.【详解】由集合{}3,2,0,1,2,3,7A =--，因为{},B x x A x A =∈-∉，所以{}1,7B =．故选：B ．
2．设集合{|1}A x x =>，集合13B x x ⎧
⎫
=>
⎨⎬⎩
⎭
，则()R A B ⋂=ð（）
A ．{|1}x x ≤
B ．113x x ⎧⎫≤<⎨⎬
⎩⎭C ．113x x ⎧⎫
<≤⎨⎬
⎩⎭D ．13x x ⎧⎫
>⎨⎬
⎩
⎭【答案】C
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合{|1}A x x =>，集合13B x x ⎧
⎫=>
⎨⎬⎩
⎭
，所以{}R |1A x x =≤ð，则()R A B ⋂=ð113x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
.
故选：C.
3．命题:R p x ∀∈，当1x >时，有21x >，则p ⌝为（）
A ．R x ∀∈，当1x >时，有21
x ≤B ．0R x ∃∈，满足01x >，但2
01
x ≤C ．0R x ∃∈，满足01x ≤，但2
01
x ≤D ．以上均不正确【答案】B
【分析】根据命题的否定的定义即可得到答案.
【详解】根据命题的否定的任意变存在，存在变任意，结论相反，
故p ⌝为0R x ∃∈，满足01x >，但2
01x ≤，
故选：B.
4．已知全集{,,,,}U a b c d e =，() U M ð{}P a ⋂=，() U P ð{}M b ⋂=，() U M ð () U P
ð{}c =，则（）
A ．{}P a =
B ．{,}
M a c =C ．{,,}
P M c d e = D ．{,,,}
P M a b d e = 【答案】D
【分析】由题意画出Venn 图，即可得出答案.【详解】由题意画出Venn 图如下，
可得：{},,P a d e =，{},,M b d e =，{},P M d e ⋂=，{,,,}P M a b d e = .故选：D.
5．已知函数{}{}{}12,2123,34A x x B x a x a C x x =-<<=-<<+=-<<，若A B C ⊆⊆，则a 的取值范围是（
）
A ．102a a ⎧⎫
-<<⎨⎬
⎩⎭B ．102a a ⎧⎫
-<≤⎨⎬
⎩⎭C ．102a a ⎧⎫
-≤<⎨⎬
⎩⎭
D ．102a a ⎧⎫
-≤≤⎨⎬
⎩⎭
【答案】D
【分析】根据A B C ⊆⊆，列出不等式组2321
32112234a a a a +>--≤-≤⎧-≤+≤⎪
⎨⎪⎩
，从而可得出答案.
【详解】解：因为A B C ⊆⊆，所以2321
32112234
a a a a +>--≤-≤⎧-≤+≤⎪
⎨⎪⎩
，解得102a -≤≤.
故选：D.
6．已知集合1,Z 6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 26p P x x p ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
，则M 、N 、P 的
关系满足（）
A ．M N =P
B ．M N P =
C ．M N
P
D ．N
P
M
【答案】B
【分析】先将集合M 、N 、P 化简成统一形式，然后判断即可．
【详解】1
61321
Z Z Z 666m m M x x m m x x m x x m ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+⋅+==+∈
==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭
，，，，
()311131Z Z Z 2366n n k N x x n x x n x x k ⎧⎫-+⎧⎫⎧
⎫+⎪⎪==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭
，，
131
Z Z 266p p P x x p x x p ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，，
所以M
N P =.
故选：B ．
7．
《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，苏大附中语文组为了解我校学生阅读四大名著的阅读情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）
A ．70
B ．60
C ．50
D ．10
【答案】A
【分析】首先可根据题意确定《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有30位，然后确定只阅读过《红楼梦》的学生共有20位，最后确定只阅读过《西游记》的学生共有10位，即可求出结果.【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，
所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有906030-=位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，
所以只阅读过《红楼梦》的学生共有806020-=位，所以只阅读过《西游记》的学生共有302010-=位，故阅读过《西游记》的学生人数为106070+=位，故选：A
8．若集合()220222,10,,2n mn n A m n m n *⎧⎫++⎪⎪==∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
Z N ，则集合A 的元素个数为（
）
A ．4044
B ．4046
C ．22021
D ．2
2022【答案】B
【分析】由已知可得()2023
202221=25n n m ++⨯，对n 是偶数和奇数进行分类讨论，对n 的可能取值进行列举，
即可得出集合A 的元素的个数.【详解】由题意，()2023
202221=25n n m ++⨯，
若n 为偶数，21n m ++为奇数，若2023
2
n =，则202220232022
521
215
2
n m m +-=⇒-=+∈Z ，
以此类推，202325n =⨯，2023225n =⨯，L ，2023202225n =⨯，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z ；同理，若n 为奇数，21n m ++为偶数，此时05n =、15、L 、20225，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z .于是，共有4046个n ，每一个n 对应一个m 满足题意.故选：B.
二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。

9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（
）．
A ．()()A
B B
C ⋂⋃⋂B ．()U B A C ⋂⋂ðC ．()B A C ⋂⋃
D ．()
U B A C ⋂⋃ð【答案】AC
【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案.
【详解】由已知图中阴影部分可知，阴影为集合,A B 的交集和,B C 的交集的并集，故阴影部分可表示为()()A B B C ⋂⋃⋂或()B A C ⋂⋃，所以A,C 正确，B,D 错误，故选：AC
10．在下列所示电路图中，下列说法正确的是（）
A ．如图①所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充分不必要条件
B ．如图②所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件
C ．如图③所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充要条件
D ．如图④所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件【答案】ABC
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】对于选项A ，由图①可得，开关1L 闭合，灯泡M 亮；而灯泡M 亮时，开关1L 不一定闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的充分不必要条件，选项A 正确.
对于选项B ，由图②可得，开关1L 闭合，灯泡M 不一定亮；而灯泡M 亮时，开关1L 必须闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件，选项B 正确.
对于选项C ，由图③可得，开关1L 闭合，灯泡M 亮；而灯泡M 亮时，开关1L 必须闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的充要条件，选项C 正确.
对于选项D ，由图④可得，开关1L 闭合，灯泡M 不一定亮；而灯泡M 亮时，开关1L 不一定闭合，所以开关1L 闭合是灯泡M 亮的既不充分也不必要条件，选项D 错误.
故选：ABC.
11．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆ð，则下列关系一定正确的是（
）
A ．x U ∃∈，x A ∉且x
B ∈B ．x A ∀∈，x B ∉
C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈
D ．x U ∃∈，x A ∈且x B
∈【答案】AB
【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.
【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，
观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确；因A B ⋂=∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确；若A
U B ð，则()()U U A B ⋂≠∅痧，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂痧，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；
因A B ⋂=∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确.故选：AB
12．对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：
①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈∣
②(),,a A a a B
∀∈∈③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（
）
A ．设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合
B 共有3个
B ．设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”
C ．设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个
D ．(){},,,R a b a R b R a b ∈∈'=≤∣
是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD
【分析】利用偏序关系的定义逐项判断.
【详解】A 项，()(){}()()(){}()()(){}1,1,2,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,2,2,1B B B ===共3个，故正确；B 项，不能同时出现()1,2和()2,1，故错误；
C 项，首先必须含有()()()1,1,2,2,3,3，则剩余()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2拿一个即可，共6个，故正确；
D 项，(){},,,R a b a R b R a b ∈∈'=≤∣
满足①，②，(),a b R ∀∈'，则(),,a b b a R ≤∀∈'，则a b ≥，故a b =，满足③，(),a b R ∀∈'，则(),,a b b c R ≤∀∈'，则b c ≤，则a c ≤，故(),a c R ∈'，满足④，故正确；
故选：ACD
三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。

13．已知{}22
1,251,1A a a a a =-+++，且2A -∈，则a 的值为
．
【答案】2
-/ 1.5
-【分析】由2A -∈,有12a -=-或22512a a ++=-，显然212a +≠-，解方程求出实数a 的值，但要注意集合元素的互异性.
【详解】因为2A -∈，所以有12a -=-或22512a a ++=-，显然212a +≠-，
当12a -=-时，1a =-，此时212512a a a -=++=-不符合集合元素的互异性，故舍去；
当22512a a ++=-时，解得32a =-，1a =-由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，3
2a =-满足题意.
所以3
2
a =-.
故答案为：32
-
14．已知集合{}1A x
x a =-≤∣，集合{3B x x =<-∣或1}x >-，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为．
【答案】()
,2-∞【分析】分0a <、0a =、0a >讨论，由A B ⊆可得答案.
【详解】，
=∴⊆ A B B A B ，对于集合A ，当0a <时，A =∅，满足条件；当0a =时，{}1A =，满足条件；当0a >时，{}1110∣
，=-≤≤++> A x a x a a ，112a a ∴->-⇒<.
综上：2a <.
故答案为：()2-∞，
.15．设:5x α≤-或1x ≥，:23x m β≤--或21x m ≥-+，m ∈R ，α是β的充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是
．
【答案】()0,1/01m ≤≤.
【分析】转化为集合问题，利用集合的真包含关系进行求解.
【详解】设集合{5A x =≤-或1}x ≥，{23B x m =≤--或21}x m ≥-+，m ∈R ．因为α是β的充分而不必要条件，所以A B Ü，所以235
211
m m --≥-⎧⎨
-+≤⎩，（等号不同时取到），解得01m ≤≤．
故答案为：[]0,1.
16．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a +b ，a -b ，ab ，a
b
∈P (除数b ≠0)，
则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域.有下列说法：
①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确说法的序号是．
【答案】③④
【分析】根据数域的定义对4个说法进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①因为1
1Z,2Z,Z 2
∈∈∉，所以整数集不是数域，所以①错误；
②令{}2M Q =⋃
，则12M M ∈，但12M +，所以②错误；
③根据数域的定义，如果(),0a b b ≠在数域中，那么(),2,,Z a b a b a kb k +++∈ ，都在数域中，所以数域是无限集，③正确；④{}
|3,,Q A x x a b a b ==∈，
任取12,x x A ∈，且1112223,3x a b x a b ==，1212,,,Q a a b b ∈，则)1212123x x a a b b A +=+++∈，)1212123x x a a b b A -=-+-∈，()()
)121122121212213333x x a b a b a a b b a b a b A ⋅=+=++∈，
20x ≠时，()()
1112222222
333333a b a x a b x a b a b a b +=++-)121221122222333a a b b a b a b A a b --=∈-，所以集合A 是数域.
同理可证得{}{}
|5,,Q ,|6,,Q x x a b a b x x a b a b =+∈=+∈等等是数域，所以数域有无穷多个，④正确.故答案为：③④.
四、综合题：共6题，共计70分。

17．
（本题满分10分）已知集合{13}A x x =-<<∣，{04}B x x =<<∣，{01}C x x a =<<+∣(1)求A B ⋃；()R A B ð；
(2)若B C C = ，求实数a 的取值范围．
【答案】(1){14}A B x
x ⋃=-<<∣，R {10}A B x x ⋂=-<≤∣ð
(2)3
a ≤【分析】（1）根据并集的概念和运算即可求出A B ⋃，根据交集和补集的概念与运算即可求解；（2）由B C C = 得C B ⊆，分类讨论当C =∅、C ≠∅时a 的取值范围，进而求解.【详解】（1）由题意知：{14}A B x
x ⋃=-<<∣；{0U B x x =≤ð或4}x ≥，
所以(){10}U A B x
x ⋂=-<≤∣ð；（2）若B C C = ，则C B ⊆，①当C =∅时，10a +≤，即1a ≤-，②当C ≠∅时，10a +>，即1a >-，
所以1014a a +>⎧⎨+≤⎩
，解得13a -<≤．
综上所述：a 的取值范围为：3a ≤．
18．（本题满分12分）已知集合{}2A x m x m =<<，{5B x x =≤-或}4x >．(1)当3m =时，求()A B ⋃R ð；
(2)在①A B ⊆R ð，②A B ⋂=∅，③()A B A =R ð这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数m 的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)()
{}56A B x x ⋃=-<<R ð(2)条件选择见解析，2
m ≤【分析】（1）当3m =时，利用补集和并集可求得集合()A B ⋃R ð；
（2）若选①，分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，根据A B ⊆R ð可得出关于m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围；
若选②，分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，在A =∅时直接验证A B ⋂=∅即可，在A ≠∅时，根据A B ⋂=∅可得出关于实数m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围；若选③，分析可得A B ⊆R ð，同①.
【详解】（1）解：当3m =时，{}36A x x =<<，{5B x x =≤-或}4x >，所以，{}54B x x =-<≤R ð，因此，()
{}56A B x x ⋃=-<<R ð.
（2）解：若选①，当A =∅时，则2m m ≥时，即当0m ≤时，A B ⊆R ð成立，当A ≠∅时，即当2m m <时，即当0m >时，
由A B ⊆R
ð可得524m m ≥-⎧⎨≤⎩
，解得52m -≤≤，此时02m <≤.综上，2m ≤；
若选②，当A =∅时，则2m m ≥时，即当0m ≤时，A B ⋂=∅成立，当A ≠∅时，即当2m m <时，即当0m >时，
由A B ⋂=∅可得5
24m m ≥-⎧⎨≤⎩
，解得52m -≤≤，此时02m <≤.
综上，2m ≤；
若选③，由()A B A =R ð可得()A B ⊆R ð，
当A =∅时，则2m m ≥时，即当0m ≤时，A B ⊆R ð成立，当A ≠∅时，即当2m m <时，即当0m >时，
由A B ⊆R ð可得5
24m m ≥-⎧⎨≤⎩
，解得52m -≤≤，此时02m <≤.
综上，2m ≤.
19．
（本题满分12分）已知命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,B =+∞；(2)2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.【分析】（1）由条件可得关于x 的方程2420mx x -+=无解，然后分0m =、0m ≠两种情况讨论即可；（2）首先由{}32A x a x a =<<+为非空集合可得1a <，然后由条件可得A B ⊆且A B ≠，然后可建立不等式求解.
【详解】（1）因为命题:R p x ∃∈，使2420mx x -+=为假命题，
所以关于x 的方程2420mx x -+=无解，
当0m =时，2420mx x -+=有解，故0m =时不成立，
当0m ≠时，1680m ∆=-<，解得m>2，
所以()
2,B =+∞（2）因为{}32A x a x a =<<+为非空集合，所以32a a <+，即1a <，
因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A B ⊆且A B ≠，
所以32a ≥，即23
a ≥，综上：实数a 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢.20．（本题满分12分）已知集合A 满足以下条件：①1A ∈；②若a A ∈，则
313a A a +∈-.(1)求证：集合A 至少有3个元素；
(2)若集合R M A =ð，写出属于集合M 的两个元素，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)3333
，理由见解析【分析】（1）由已知条件可得，1A ∈时，有23A -32A ∈，所以集合A 至少有3个元素（2313a -33A ，33A ，故属于集合M 3333
.【详解】（1）证明：由1A ∈(32313A =--∈-，()
)233321323A -+=∈-⨯--，()33
1,1332A =∈-⨯- ，
周而复始，故由题意易得集合A 至少有3个元素.
（2）当33a =313a -33
A ；
3
33
13a a +=-33a =，即当33a =33313a A a
+=-，故33
A .故属于集合M 的两个元素是3333
.21．（本题满分12分）已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则
11A x ∈-．（1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；
（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3）A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【答案】（1）2,1,2A ⎧⎫=-⎨⎩
⎭；（2）不存在这样的A ，理由见解析；（3）是，证明见解析.【分析】（1）根据题意得，1112A =-∈-，()11112A =∈--，故11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
；（2）假设集合A 是单元数集合，则210x x -+=，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明x ，11x
-，11x -是集合A 的元素即可.【详解】解：（1）因为若x A ∈，则
11A x ∈-，2,A ∈，所以1112A =-∈-，()11112A =∈--，12112
A =-∈，所以11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
.（2）假设集合A 是仅含一个元素的单元素集合，则11x x
=-，即：210x x -+=，由于30∆=-<，故该方程无解，所以A 不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为1A ∉，x A ∈，则11A x ∈-，则1111111x A x x x
-==-∈--，所以111x A x x
=∈--，故该集合有三个元素，下证x ，11x -，11x -互不相等即可.假设11x x =-，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x
-不相等，
假设11x x
-
=，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x -不相等，假设1111x x =--，则210x x -+=，该方程无解，故11x -，11x -不相等.所以集合A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个.
【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明x ，11x
-，11x -互不相等且属于集合A 即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.22．（本题满分12分）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a ，b ∈R ，有a b ab ⊕=，()21a b
a b a b -⊗=++．设全集()(){
,21U x x a b a b a b ==⊕+⊗-<≤<且},a b ∈∈Z Z ，()2,12a b A x x a b a b b ⎧⊗==⊕+-<<<⎨⎩且},a Z b Z ∈∈、{}
230B x x x m =-+=．(1)求集合U 和A ；
(2)集合A 、B 是否能满足(
)U A B Ç=Æð若能，求出实数m 的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】(1)答案见解析
(2)能；9
4
m >【分析】（1）根据题中的新定义，讨论a 、b 的取值，即可确定出集合U 与A ；
（2）求出A 的补集，根据(
)U A B Ç=Æð知B =∅或B A =，由此求得m 的取值范围．【详解】（1）全集U 中2()()()1
a b
x a b a b ab a b -=⊕+⊗=+++()()()21a b
x a b a b ab a b -=⊕+⊗=+++，
当1a =-时，0b =或1b =-，此时12
x =-或1x =；当0a =时，0b =，此时0x =，所以1,0,12U ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
，由A 中()()2221a b a b x a b ab b b a b ⊗-=⊕+=+⎡⎤++⎣⎦
，当0a =时，1b =，此时12x =-，即12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
；（2）因为{}0,1
U A =ð，当()U A B Ç=Æð时，B =∅或B A =，
当B =∅时，方程无实根，()2340m ∆=--<，解得94
m >；B A =时，方程有二等实根为12-，()22113022340m m ⎧⎛⎫⎛⎫--⨯-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=⎩
，此时m 的值不存在；综上知，实数m 的取值范围是94m >．。