数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分）
1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4
2. 已知求积公式
()()2
1
121
1()(2)636f x dx f Af f ≈
++⎰
,则A ＝（ ）
A ． 16
B ．13
C ．12
D ．2
3
3. 通过点()()
0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）
A ．()00l x ＝0,()110l x =
B ．
()
00l x ＝0,()111
l x =
C ．
()
00l x ＝1,
()111
l x = D ．
()
00l x ＝1,
()111
l x =
4. 设求方程
()0
f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.
A ．超线性
B ．平方
C ．线性
D ．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组1231231
220223332
x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程
（ ）.
A ．232x x -+=
B ．232 1.5 3.5x x -+=
C ．2323x x -+=
D ．230.5 1.5x x -=-
二、填空题（每小题3分,共15分）
1. 设T
X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .
2. 一阶均差
()01,f x x =
3. 已知3n =时,科茨系数
()()()
33301213,88C C C ===,那么()
33C = 4. 因为方程()420
x f x x =-+=在区间[]1,2
上满足 ,
所以
()0
f x =在区间内有根.
5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y y
x y ⎧'=+⎪⎨
⎪=⎩
(de)计算公
式 .
0,1,2
分 人
三、计算题（每题15分,共60分）
1. 已知函数21
1y x =
+(de)一
组数据：
求分
段线性插值函数,并计算
()
1.5f (de)近似值.
1. 解 []0,1x ∈,
()10
10.510.50110x x L x x --=
⨯+⨯=---
[]
1,2x ∈,
()210.50.20.30.81221x x L x x --=
⨯+⨯=-+--
所以分段线性插值函数为
()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨
-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=
2. 已知线性方程组123123123
1027.2
1028.35 4.2
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩
（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2） 对于初始值()()
00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－
塞德尔迭代公式分别计算()
1X （保留小数点后五位数字）.
1.解 原方程组同解变形为
1232133
120.10.20.720.10.20.830.20.20.84
x x x x x x x x x =++⎧⎪
=-+⎨⎪=++⎩
雅可比迭代公式为
()()()()()()
()()()1123121313
120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =
高斯－塞德尔迭代法公式
()()()()()()
()()()11231121
31113120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =
用雅可比迭代公式得
()()
10.72000,0.83000,0.84000X =
用高斯－塞德尔迭代公式得
()()
10.72000,0.90200,1.16440X =
3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2
之间(de)近似根
（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解
()331f x x x =--,
()130
f =-<,()210f =>
()233
f x x '=-,()12f x x ''
=,()2240f =>,故取2x =作初始值
4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分
1
1
1
dx
x
+
⎰
.
四、证明题（本题10分）
确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度
()()()()
1010h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++⎰
证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求
一、 填空（共20分,每题2分）
1. 设
2.3149541...x *
=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .
2.设一阶差商
()()()21122114
,321f x f x f x x x x --=
=
=---,
()()()322332
615
,422f x f x f x x x x --=
=
=--
则二阶差商 ()123,,______
f x x x =
3. 设(2,3,1)T
X =--, 则2||||X = ,=∞||||X .
4．求方程 2
1.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始
值 01x =, 那么 1______x =。

5．解初始值问题 00
'(,)
()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩近似解(de)梯形公式是 1______k y +≈。

6、
1151A ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭,则A(de)谱半径 ＝ . 7、设 2()35, , 0,1,2,... ,
k f x x x kh k =+== ,则
[]12,,n n n f x x x ++=
和
[]123,,,n n n n f x x x x +++=
.
8、若线性代数方程组AX=b (de)系数矩阵A 为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 .
9、解常微分方程初值问题(de)欧拉（Euler ）方法(de)局部截断误差为 .
10、为了使计算
23123
101(1)(1)y x x x =+
+-
---(de)乘除法运算次数尽量
(de)少,应将表达式改写成 .
二、计算题 （共75 分,每题15分）
1．设
3
2
01219(), , 1, 44f x x x x x ====
（1）试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上(de)三次Hermite 插值多项式()x H 使满足 ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===
()
x H 以升幂形式给出.
（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-(de)表达式
1、（1）
()32142632331
22545045025x x x x H =-
++-
（2）
()522191919
()(1)(),()(,)
4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈ 2．已知
(de)
满足 ,试问如何利用
构造一
个收敛(de)简单迭代函数 ,使
0,1…收敛
2、由 ()x x ϕ=,可得 3()3x x x x ϕ-=-,1
(()3)()
2x x x x ϕψ=--= 1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11
()1
22x x ψϕ=<<’’（）-3
[]11
()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==--故收敛。

3． 试确定常数A,B,C 和 a,使得数值积分公式
有尽可能高(de)代数精度.试问所得(de)数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss 型(de)
3、
101612
,,995A C B a ==
==±,该数值
求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss 型(de)
4． 推导常微分方程(de)初值问题 00
'(,)
()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩(de)数值解公式：
'''
1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++
（提示： 利用Simpson 求积公式.）
4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 ()y f x =’
在区间 []11,n n x x -+上
积分,
得
11
11()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx
+-+-=+
⎰
,记步长为h,
对积分 1
1
(,())n n x x
f x y x dx
+-⎰
用Simpson 求积公式得
[]1
1
11112(,())()4()()(4)63
n n x n n n n n n x h h f x y x dx f x f x f x y y y +--++-≈
++≈++⎰
’’’
所以得数值解公式： 1111(4)
3n n n n n h y y y y y +-+-=+++’’’
5． 利用矩阵(de)LU 分解法解方程 组 123123123
2314
252183520
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
5、解：
1123211435124A LU ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (14,10,72), (1,2,3) .T T Ly b y Ux y x ==--==令得得
三、证明题 （5分）
1．设 ,证明解
(de)Newton 迭代公式是线性收敛(de).
一、填空题（20分）
(1).设* 2.40315x =是真值 2.40194x =(de)近似值,则*
x 有
位有效数字.
(2). 对1)(3
++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( ).
(3). 设(2,3,7)T
X =-, 则||||X ∞= .
(4).牛顿—柯特斯求积公式(de)系数和
()0
n
n k
k C
==
∑ .
（1）3 （2）1 （3）7 （4）1
二、计算题
1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin 0.34L x 计算(de)值. 插值节点和相应(de)函数值是（0,0）,（,）,（,）.
1）020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()
=0.333336
x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
2).（15分）用二分法求方程3
()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内(de)一个根,误差限2
10ε-=.
2) 12345661.25 1.375 1.31251.34375 1.328125 1.3203125N x x x x x x =======
3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++22
5218241124321321321x x x x x x x x x ,取
T )0,0,0()0(=x ,迭代三次(要求按五位有效数字计算)..
3）迭代公式
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)
218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
4).（15分）求系数123,,A A A 和使求积公式
1
1231
11
()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤⎰对于次数的一切多项式都精确成立.
5). (10分)对方程组⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
-
-
=
+
+
8
4
10
2
5
4
10
15
10
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
试建立一种收敛(de)Seidel迭代公式,说明理由
三、简答题
1)（5分）在你学过(de)线性方程组(de)解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么
2)（5分）先叙述Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它.
一、填空题（20分）
1. 若a =是(de)近似值,则a 有( )位有效数字.
2. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点(de)Lagrange 插值基函数,则
=
∑=n
i i x il 0
)(( ).
3. 设f (x )可微,则求方程)(x f x =(de)牛顿迭代格式是( ).
4. 迭代公式
f BX X k k +=+)()1(收敛(de)充要条件是 . 5. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异,b 不为0) (de)迭代格式
f x x +=+)()1(k k B 中(de)B 称为( ). 给定方程组
⎩⎨
⎧-=-=-458
92121x x x x ,解此方程组(de)雅可比迭代格式为
(
).
二、判断题（共10分）
1. 若0)()(<b f a f ,则0)(=x f 在),(b a 内一定有根. ( )
2. 区间[a,b ]上(de)三次样条函数是一个次数不超过三次(de)多项式. ( )
3. 若方阵A (de)谱半径1)(<A ρ,则解方程组A x =b (de)Jacobi 迭代法收敛. ( )
4. 若f (x )与g (x ) 都是n 次多项式,且在n +1个互异点
n
i i x 0}{=上)()(i i x g x f =,则 )()(x g x f ≡. ( )
5. 用2
211x
x +
+近似表示x e 产生舍入误差.
( )
1.×
2.×
3.×
4.√
5.×
三、计算题（70分）
1. （10分）已知f (0)＝1,f (3)＝,f (4)＝,求过这三点(de) 二次插值基函数
l 1(x )=( ),]4,3,0[f =( ), 插值多项式P 2(x )=( ), 用三点式求得=')4(f ( ).
2. （15分） 已知一元方程02.133
=--x x .
1）求方程(de)一个含正根(de)区间；
2）给出在有根区间收敛(de)简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间(de)Newton 迭代法公式.
3. （15分）确定求积公式 )
5.0()()5.0()(11
1
Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰- (de)
待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.
4. （15分）设初值问题 1
01
)0(23<<⎩⎨
⎧=+='x y y
x y .
(1) 写出用Euler 方法、步长h =解上述初值问题数值解(de)公式； (2) 写出用改进(de)Euler 法（梯形法）、步长h =解上述初值问
题数值解(de)公式,并求解21,y y ,保留两位小数.
5. （15分）取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
e y -=在区间]1,0[上(de)
二次插值多项式)(2x P ,并估计误差.
一、填空题( 每题4分,共20分)
1、数值计算中主要研究(de)误差有 和 .
2、设()(0,1,2
)
j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式(de)插值基函数,则
()j i l x =
(,0,1,2
)i j n =；
()n
j j l x ==
∑ .
3、设
()(0,1,2
)
j l x j n =是区间[,]a b 上(de)一组n 次插值基函数.则插值型
求积公式(de)代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数
j A =
；且0
n
j
j A
==
∑ .
4、辛普生求积公式具有 次代数精度,其余项表达式为 .
5、
2
()1,f x x =+则[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==.
1.相对误差 绝对误差
2.1,,0,i j i j =⎧⎨
≠⎩ 1
3. 至少是n ()b
k
a l x dx
⎰
b-a
4. 3 4(4)
()(),(,)
1802b a b a f a b ζζ---
∈
5. 1 0
二、计算题
1、已知函数()y f x =(de)相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ,并计算
1
3()2P =(de)近似值.
解：差商表
由牛顿插值公式：
323332348
()()21,33141181
3()()2()()12
232232p x N x x x x p ==
-++≈=-++=
2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题,其中步长
0.1h =,1,(0,0.6)
(0) 1.
y y x x y '=-++⎧∈⎨
=⎩.
解：010(,)1,1,0.1,0.1(1),(0,1,2,3,)1,
1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
1.056100;1.090490;1.131441.n n n n k f x y y x y h y y x y n y y η+=-++====++-===
3、（15分）确定求积公式
012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰
.
中待定参数i A (de)值(0,1,2)i =,使求积公式(de)代数精度尽量高；并指出此时求积公式(de)代数精度.
解：分别将2
()1,,f x x x =,代入求积公式,可得
02114
,33A A h A h
===. 令3()f x x =时求积公式成立,而4
()f x x =时公式不成立,从而精度为3.
4、（15分）已知一组试验数据如下 ：
求它(de)拟合曲线（直线）.
解：设y a bx =+则可得
51531
1555105.5
a b a b +=⎧⎨
+=⎩
于是 2.45, 1.25a b ==,即 2.45 1.25y x =+.
5、（15分）用二分法求方程
3()1f x x x =--在区间[1,1.5]内(de)根时,若要求精确到小数点后二位,(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求(de)近似根.
解：6次；* 1.32x ≈.
6、（15分）用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,
433032.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解：234643303243303235253
525352543303223462346433032433032011/441/2
19011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭
即123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩。