华师大版初中数学八年级下册《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期
《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷
一．选择题（共23小题）
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）
A．8B．C．2D．4
2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）
①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DB
A．1B．2C．3D．4
4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；
②EF=CF；③S
△BEC ＜2S
△CEF
；④∠DFE=4∠AEF．
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）
A．4B．6C．7D．8
6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）
A．2B．3C．4D．6
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）
A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8
C．AF=DE D．∠BGC=90°
8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则
图中阴影部分的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD
=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S
△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）
A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：
①∠ACD=30°
②S▱ABCD=AC•BC
③OE：AC=1：4
④S
=2S△OEF
△OCF
其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，
连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S
△ABF ≤S
△AEF
．中一
定成立的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）
①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S
△ABE
=S△CEF其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）
A．10B．8C．4D．4
16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）
A．3B．5C．2D．6.5
17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：
①OE∥AB；
=BD•CD；
②S
平行四边形ABCD
③AO=2BO；
④S
=2S△EOF．
△DOF
其中成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
19．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积
是（）
A．3B．4C．5D．6
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=（）
A．50°B．40°C．80°D．100°
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是5+；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的是（）
A．①②B．②④C．①②③D．①③④22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
23．如图，F是▱ABCD的边AD上一点，连接BD，BF，BF的延长线与CD的延长线交于点E．若∠E=∠A，∠BDC=90°，则下列结论中不正确的是（）
A．2DF=BC B．BE=BC
C．∠ADE=∠CBE D．D是CE的中点
二．填空题（共4小题）
24．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF 与CE交于点Q，若S
=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为
△APD
cm2．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交边AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为20，则△ABE的周长等于．
26．已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，AF⊥DC于F，则DF的长是．
27．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，如果AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于．
三．解答题（共23小题）
28．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？
29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线
于点E，连结BF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若点F是CD的中点．
①求证BF⊥AE；
②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
30．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．
31．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．
（1）求证△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
32．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF；
（2）若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG=CG；AG⊥CG．
33．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．
（1）若EF=2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
34．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；
（2）求证：AF=GE．
35．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，BE=2，求AB的长．
36．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．
（1）求证：△ABF≌△DEF；
（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的长．
37．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC 于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．
（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；
（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．
38．如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连结CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）猜想：四边形CDMN是什么特殊四边形？并证明你的猜想；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．
39．已知如图，▱ABCD，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．
（1）求证：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．
40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）求证：CG=CD；
（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
41．如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．
（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；
（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．
42．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE=AB，连接DE交BC于F，交AC于G．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．
43．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长．
44．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：CF=CD；
（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
45．如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF．
求证：AE=AF．
46．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．
（1）求证：CF=FD；
（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．
47．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图 中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．
（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．
（3）如图 ，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．
48．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．
49．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG 的度数．
50．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．（1）求线段CF的长度；
（2）求证：AB=DG+CE．
华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》
同步练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）
A．8B．C．2D．4
【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．
【解答】解：∵在▱ABCD中，
∴AB=DC，
∵α=60°．AB=OD=2，
∴△DOC是等边三角形，
∴△DOC的面积=，
∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=3，同理可证FD=3，继而可求得EF=AE+DE﹣AD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
则∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3cm，
同理可证：DF=DC=AB=3cm，
则EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）
①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DB
A．1B．2C．3D．4
【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OD=DB，
∴∠DCA=∠CEB，
∵∠DCA=∠BCE，
∴∠BCE=∠CEB，
∴BC=EC，
∵EB=EA=EC，
∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，故①正确，
∵OD=DB，AE=EB，
∴OE∥AD，故②正确，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∴AD⊥AC，
∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，
假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；
②EF=CF；③S
△BEC ＜2S
△CEF
；④∠DFE=4∠AEF．
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=EF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S
=S△CFM，
△EFC
∵MC＞BE，
∴S
△BEC ＜2S
△EFC
故③正确；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）
A．4B．6C．7D．8
【分析】作EN⊥AB，延长DC交EN与M，由S
阴影=S
四边形FEBA
﹣S
△EFC
﹣S
△ABC
可求
阴影部分面积．
【解答】解：如图作EN⊥AB，延长DC交EN与M
∵AB∥CD，AN⊥EN
∴CM⊥EN
∵AB∥CD∴且EC=AD=BC ∴EM=MN
∵S
阴影=S
四边形FEBA
﹣S
△EFC
﹣S
△ABC
=﹣EF×EM﹣AB×MN
∴S
阴影=（EF+AB）×EM﹣﹣EF×EM﹣AB×MN=EF×EM+AB×MN=S
四边
形EFGC +S
四边形ABCD
且S
四边形EFGC
=4，S四边形ABCD=10
∴S
阴影
=7
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是作出平行四边形的高，用已知面积表示阴影部分面积．
6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）
A．2B．3C．4D．6
【分析】想办法证明S
阴=S
△ADE
+S
△DEC
=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决
问题；
【解答】解：连接AF、EC．∵BC=4CF，S
△ABC
=12，
∴S
△ACF
=×12=3，
∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S
△DEB
=S△DEC，
∴S
阴=S
△ADE
+S
△DEC
=S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S
△AEC
=S△ACF=3，
∴S
阴
=3．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）
A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8
C．AF=DE D．∠BGC=90°
【分析】求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF可知选项C正确，由∠A=∠BCD=2∠FDC，可知选项A正确，由∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，推出∠GBC+∠GCB=90°，可知D正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠A=∠BCD，
∴∠AEB=∠EBC，∠BCF=∠DFC，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，
∴∠ABE=∠AEB，∴∠BAD=2∠DFC，故A正确
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE﹣EF=DF﹣EF，
∴AF=DE．故C正确
∵∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，
又∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠GBC+∠GCB=90°，
∴∠BGC=90°，故D正确，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推
=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，由此即可解决问题；
出===，可得S
△DEM
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AM=BM，
∴===，
=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，
∴S
△DEM
=1，
∵S
△BEM
=S△EBC=2，
∴S
△DEM
=2+2=4，
∴S
阴
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD
=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S
△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）
A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF=FC，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAB，
∴2∠BAF=∠BAD，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=2∠C故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE=MF，∠CEF=∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠BAE=90°，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S
△AEF
=S△AFM，
∴S
△ABF ＜S
△AEF
，故③错误；
④设∠FEA=x，则∠FAE=x，
∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，
∴∠EFA=180°﹣2x，
∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠CEF=90°﹣x，
∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
=S△CFG，
∵S
△DFE
=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∴S
四边形DEBC
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：
①∠ACD=30°
②S▱ABCD=AC•BC
③OE：AC=1：4
=2S△OEF
④S
△OCF
其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③错误；根据相似三角形的性
=2S△OEF；故④正确．
质得到=2，求得S
△OCF
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=BC，
∴OE：AC=，
∴OE：AC=：6；故③错误；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴=2：1，
∴S
△OCF ：S
△OEF
==2，
∴S
△OCF
=2S△OEF；故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．
12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，
连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S
△ABF ≤S
△AEF
．中一
定成立的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BC=2BF，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴BC=2AB，
∴BF=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAB，
∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE=MF，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠BAE=90°，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S
△AFE
=S△AFM，
∴S
△ABF ≤S
△AEF
，故③正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．
13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）
①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；
②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性
质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；
③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AF=DF，AD=2AB，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，
∴CF平分∠BCD，故①正确，
延长EF和CD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠FDM，
在△EAF和△MDF中，
，
∴△EAF≌△MDF（ASA），
∴EF=MF，
∵EF=CF，
∴CF=MF，
∴∠FCD=∠M，
∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，
∴∠M=∠FCD=∠CFD，
∵∠EFC=∠M +∠FCD=2∠CFD ；故②正确，
∵EF=FM=CF ，
∴∠ECM=90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEC=∠ECM=90°，
∴CE ⊥AB ，故③④正确，
故选：D ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CEF 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ．④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），=S△ABC，
∴S
△FCD
又∵△AEC与△DEC同底等高，
=S△DEC，
∴S
△AEC
∴S
=S△CEF；④正确．
△ABE
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC
即EC=CD=BE
即BC=2CD，
题中未限定这一条件
∴③不一定正确；
∴①②④正确，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，
与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）
A．10B．8C．4D．4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF=∠E，
∵点F恰好为边AD的中点，
∴AF=DF，
在△ABF与△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF，
∴BF=EF，BE=2BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∵∠AFB=∠FBC，
∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF，
∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．
∴BG==，
∴BF=2，
∴BE=2BF=4．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．
16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）
A．3B．5C．2D．6.5
【分析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．
【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD=BC=5，
∴∠DEA=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∴CE=DC﹣DE=8﹣5=3；
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．
17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：
①OE∥AB；
=BD•CD；
②S
平行四边形ABCD
③AO=2BO；
=2S△EOF．
④S
△DOF
其中成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①证明BE=CE，OA=OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；
②证明BD⊥CD，可得结论正确；
③设AB=x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；
④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF=2EF，由同高三角形面积的比等于对
应底边的比可作判断．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=60°=∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD，
∵BC=2CD，
∴BE=CE，
∴OE∥AB；
故①正确；
②∵△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，
∵BE=EC=DE，
∴∠DBC=∠BDE=30°，
∴∠BDC=30°+60°=90°，
∴BD⊥CD，
∴S
=BD•CD；
平行四边形ABCD
故②正确；
③设AB=x，则AD=2x，则BD=x，
∴OB=，
由勾股定理得：AO==x，
故③不正确；
④∵AD∥EC，
∴=，
∴DF=2EF，
=2S△EOF．
∴S
△DOF
故④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．
18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，
∵ABh1+CDh3=AB•h AB，BCh2+ADh4=C•h BC，
又∵S
=AB•h AB=BC•h BC
平行四边形ABCD
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；∵S1﹣S2=S3﹣S4，
∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线
上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．
19．如图，E 是平行四边形内任一点，若S 平行四边形ABCD =8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影=S 四边形ABCD ．
【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD ，CB ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2为平行四边形的高，
∴S △EAD +S △ECB
=AD•h 1+CB•h 2=AD （h 1+h 2）
=S 四边形ABCD
=4．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF=50°，则∠B=（ ）
A ．50°
B ．40°
C ．80°
D ．100°
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠ADC 的大小，进而可求解∠B 的度数．
【解答】解：在Rt △ADF 中，∵∠DAF=50°，
∴∠ADE=40°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=80°，
∴∠B=∠ADC=80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题．
21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．
①四边形ACED是平行四边形；
②△BCE是等腰三角形；
③四边形ACEB的周长是5+；
④四边形ACEB的面积是16．
则以上结论正确的是（）
A．①②B．②④C．①②③D．①③④
【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．
【解答】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；
②∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EC=EB，
∴△BCE是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4，CD=2，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=2，
∴CB=4，
∴AB==2，
∴四边形ACEB的周长是10+2故③错误；
④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．
22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=BE，所以①正确；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中
，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，所以③正确；
∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，
所以④错误；
故选：C．。