2021秋九上第24章圆24、1圆的有关性质目标四圆内接四边形新人教版
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第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质 第4课时 圆周角
目标四 圆内接四边形
提示：点击 进入习题
1C 2C 3A 4B
5D 6C 7D 8 见习题
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9 见习题
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1．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内 接四边形，已知ຫໍສະໝຸດ BaiduBCD为120°，则∠BOD的度 数为( C ) A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】 D
6．【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 延长AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E， 连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( C ) A．50° B．60° C．80° D．85°
【点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠ADC＝∠GBC＝50°. 又∵AO⊥CD，∴∠DAE＝40°，延长 AE 交⊙O 于点 F，由
2．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上， CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ， 垂 足 分 别 为 D ， E ， 若 ∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( C ) A．140° B．70° C．110° D．80°
︵ 3．如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC＝
5．【2019·十堰】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13， 则 AE＝( )
A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
【点拨】如图，连接AC. ∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA. ∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°. ∴AE＝ AC2－CE2＝ 52－（ 13）2＝2 3.
证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B. ∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD. ∴BD∥CF. 又∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF. 解：如图，连接AE. ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B. ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF＋∠EAF＝180°. ∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°. ∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.∴AF＝EF.
︵︵ 垂径定理，得DF＝CF，∴∠DBC＝2∠DAF＝80°.
7．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如
果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164° D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦 AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处 在于画图时考虑不全而漏解．
【答案】 D
8．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD. ︵
(1)P 是CAD上一点(不与点 C，D 重合)， 求证：∠CPD＝∠COB.
证明：连接 OD.∵AB 是直径，AB⊥CD， ∴B︵C＝B︵D.∴∠COB＝∠BOD＝12∠COD. 又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠COB.
︵ CB，若∠C＝110°，则∠ABC 的度数为( A ) A．55° B．60° C．65° D．70°
4．【2020·牡丹江】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 BD. ︵︵
若AC＝BC，∠BDC＝50°，则∠ADC 的度数是( B ) A．125° B．130° C．135° D．140°
︵ (2)当点 P′在CD上(不与点 C，D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什
么数量关系？请证明你的结论．
解：∠CP′D＋∠COB＝180°. 证明：∵四边形PCP′D是圆内接四边形， ∴∠CPD＋∠CP′D＝180°. ∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
9．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB 上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D 作DF∥BC，交⊙O于点F. 求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；
24．1 圆的有关性质 第4课时 圆周角
目标四 圆内接四边形
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1．【2020·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内 接四边形，已知ຫໍສະໝຸດ BaiduBCD为120°，则∠BOD的度 数为( C ) A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】 D
6．【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 延长AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E， 连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( C ) A．50° B．60° C．80° D．85°
【点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠ADC＝∠GBC＝50°. 又∵AO⊥CD，∴∠DAE＝40°，延长 AE 交⊙O 于点 F，由
2．【2020·黄石】如图，点A，B，C在⊙O上， CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ， 垂 足 分 别 为 D ， E ， 若 ∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为( C ) A．140° B．70° C．110° D．80°
︵ 3．如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC＝
5．【2019·十堰】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13， 则 AE＝( )
A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
【点拨】如图，连接AC. ∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA. ∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°. ∴AE＝ AC2－CE2＝ 52－（ 13）2＝2 3.
证明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B. ∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B. ∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD. ∴BD∥CF. 又∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)AF＝EF. 解：如图，连接AE. ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B. ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF＋∠EAF＝180°. ∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°. ∴∠EAF＝∠B.∴∠AEF＝∠EAF.∴AF＝EF.
︵︵ 垂径定理，得DF＝CF，∴∠DBC＝2∠DAF＝80°.
7．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如
果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164° D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦 AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处 在于画图时考虑不全而漏解．
【答案】 D
8．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD. ︵
(1)P 是CAD上一点(不与点 C，D 重合)， 求证：∠CPD＝∠COB.
证明：连接 OD.∵AB 是直径，AB⊥CD， ∴B︵C＝B︵D.∴∠COB＝∠BOD＝12∠COD. 又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠COB.
︵ CB，若∠C＝110°，则∠ABC 的度数为( A ) A．55° B．60° C．65° D．70°
4．【2020·牡丹江】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 BD. ︵︵
若AC＝BC，∠BDC＝50°，则∠ADC 的度数是( B ) A．125° B．130° C．135° D．140°
︵ (2)当点 P′在CD上(不与点 C，D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什
么数量关系？请证明你的结论．
解：∠CP′D＋∠COB＝180°. 证明：∵四边形PCP′D是圆内接四边形， ∴∠CPD＋∠CP′D＝180°. ∴∠CP′D＋∠COB＝180°.
9．【2020·南京】如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB 上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D 作DF∥BC，交⊙O于点F. 求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；