立体几何2

第七讲 立体几何二

——立体几何之空间几何体与空间坐标系 知识要点一：

棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ⑴多面体的结构特征：多面体是由若干个平面多变形所围成的几何体，各个多边形叫做多面体的面，相邻面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。 ⑵棱柱：（棱柱有两个互相平行的面，夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都相互平行）

①棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；棱柱的两底面之间的距离叫做棱柱的高。 ②棱柱的分类： 棱柱的分类有两种

一是：底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 二是：分为斜棱柱和直棱柱。

进一步说：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 特别地，有一些特别的四棱柱我们这里也和大家强调一下：底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长相等的长方体是正方体。

③面积与体积：()

S ch c h =直棱柱侧面积底面多边形周长，直棱柱的高 全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。

()V Sh S h =柱底面积，高

⑶棱锥：

①定义：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共点的三角形。

②棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 ③棱锥的分类：

底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥各个侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高。特别地，当三棱锥各个棱长均相等时我们叫它正四面体。 ④面积与体积：()'

'12

S ch c h =

正棱锥侧面积底面多边形周长，斜高 全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。

()1

3

V Sh S h =锥底面积，高 ⑷棱台：

①定义：棱锥被平行与底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台。

②原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面，上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高。 ③由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。 ④面积与体积：

()()''''1

,2

S c c h c c h =

+正棱台侧面积分别为梯形上下底面的周长，为斜高 全面积或表面积的等于侧面积与底面积的和。

()()

'

'

1

,3

V h S S S S h =+柱为上下底底面积，是台体的高

圆柱、圆锥、圆台和球

⑴通过我们对几何体的观察，我们可以将圆柱、圆锥、圆台看作是以矩形的一边，直角三角形的直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。 其中旋转轴叫做所围成几何体的轴；在轴上的这边叫几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的底面；不垂直轴的边旋转而成的曲面叫做几何体的侧面，这条边叫几何体的母线。至于这三种几何体的体积我们可以参考棱柱、棱锥、棱台。 ⑵球：

①球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所围成的曲面，球面围成的几何体，叫做球。

②球面被经过球心的平面截得的圆叫球大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球小圆。 ③球面距离：

(AB d R R AB θθ==过球面上两点球大圆所对的劣弧长为球半径，劣弧所对的球心角）

④面积与体积：2

34

4,3

S R V R ππ== 空间直角坐标系

⑴空间直角坐标系的规定：从z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿逆时针方向转90︒能与y 轴的正半轴重合。这时我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，O 叫做坐标原点。 ⑵空间两点距离公式：

()()()111222,,,,,,,A x y z B x y z d A B =

这样，有的情况下我们就可以将立体图形放在空间直角坐标系中，在求某两点的距离时，找到它们的坐标带入公求解。

考试要求：掌握各个几何体的特征及相关的面积与体积的计算公式，会求解几何体中

的证明、计算等问题，求解中注意与几何体性质相结合，一定要培养自己的空间想象力。

命题趋向：在这部分知识多以综合大题出现，综合大题中往往出现一题多问，由浅到

深的知识渗透，要注意把握题目的特征。

例题讲解

夯实基础

1）.棱长为a 的正四面体的高为（ ） A.

a 21 B.a 33 C.a 36 D.a 2

2 2）直角ABC ∆的两直角边⊥==PC AC BC ,4,3平面ABC 且5

9

=

PC ，则P 到AB 的距离（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

3）正方形ABCD 的边长为12，⊥PA 面ABCD ，12=PA ，那么P 到BD 的距离是（ ）

A.312

B.212

C.36

D.66

4）在北纬︒45圈上，有甲乙两地，他们的经度分别是东经︒50和西经︒40，则甲乙两地的

球面距离（ ）

A.R π21

B.R π31

C.R π41

D.R π2

2 5）一个球的外切正方体全面积等于2

6cm ，则此球的体积（ ） A.

36

cm π

B.

34

cm π

C.

38

cm π

D.

33

cm π

6）圆O 的半径是4，PO 垂直于圆O 所在的平面，且P PO ,3=到圆O 上各点的距离为____________________. 7）用两个平行平面去截表面积为

22500cm π的球，截面面积分别为2

2225,49cm cm ππ则两个平行截面距离是_______________.

8）有一个正四棱台形状的容器，最多装190升溶液，已知它两底面边长分别是60cm 和40cm ，则这个容器的深度为______________。 能力提升

1.一个棱柱是正四棱柱的条件是 （D ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

2.若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是

（ C ）

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．五棱锥

D ．六棱锥