DOE(培训教材)

一.概述
1.试验设计所要研究和解决的问题：
如何以尽可能少的试验次数获得足够有效的数据，并分析得出比较可靠的结论。

2.20世纪20年代由英国R.A.Fisher等人最早提出试验设计技术，并首先应用于农业，以
后逐渐被应用于生物学、遗传学等方面。

1935年，R.A.Fisher的专著《试验设计》的出版标志着一门新的学科的诞生。

20世纪30、40年代，该方法在欧美盛行，应用到工业领域。

二次大战后，该方法在日本得到进一步的发展和应用，特别是以田口玄一为首的一批人员，将试验设计方法应用于改进产品和系统的质量，成为战后推动质量管理的重要工具之一。

3.质量管理中，经常会遇到多因素、有误差、周期长的一类试验，希望通过试验解决以下
几个问题：
1）对质量指标的影响，哪些因素重要，哪些因素不重要？
2）每个因素取什么水平为好？
3）各个因素按什么样的水平搭配起来使指标较好？
实践证明，正交试验设计是处理这类试验问题的一种简便易行、行之有效的方法。

4.田口方法介绍。

产品质量的形成贯穿于产品寿命周期的全过程，包括设计、制造和使用
过程。

田口博士提出产品的三次设计思想：系统设计、参数设计和容差设计。

同时，他将正交试验设计方法应用于产品研制阶段对参数的合理选择，为提高产品的设计质量提供了一套理论和方法。

二.正交试验设计的基本方法
正交表是一种规格化的表格，各种各样的正交表都已构造出来了，对于解决实际问题的应用来说，只要掌握正交表的应用方法就达到目的了。

上图是一张正交表，有4列，每列的数字代表水平符号；有9行，每一行的水平组合代表一个试验条件。

这张表简记为L9(34)。

L表示正交表，下标9表示试验次数，34表示应用这个表最多可以安排3水平4因子的试验。

这张表的性质（整齐可比性性质，或称正交性性质）：
1）在任意一列中，各水平出现的次数相同，即水平1、2、3出现的次数相同；
2）对任意列的任一水平，其他列的水平1、2、3与之在同行上相遇的次数相同。

或者说，任意两列同行上水平组合的有序数对11、12、13、21、22、23、31、32、33
出现的系数相同。

正是由于这些性质，才有可能使试验次数减少。

如对于4因子3水平的试验，所有可能的全面搭配试验要做34=81，而使用正交表只需要9次试验即可。

从总体看，只做了部分试验，但由第二条性质可知，对于任意两个因子来说是全面搭配试验，这样仍可能进行比较。

一般来说，凡是正交表都具有上述两个性质。

在一张正交表里，行与行或列与列之间交换，不改变正交表的上述两个性质。

常用的正交表有L4(23)，L8(27)，L16(215)，L9(34)，L27(313)，L16(45)，L18(2×37)等等。

其中如L18(2×37)形式的表称为混合型正交表，这张表可以安排1因子2水平和7因子3水平的试验。

如果所考虑的问题有n个因子，每个因子取2水平，则称此问题为2n因子试验问题；如果所考虑的问题有n个因子，每个因子取3水平，则称此问题为3n因子试验问题；如果所考虑的问题有n+m个因子，其中n个因子取2水平，m个因子取3水平，则称此问题为2n×3n因子试验问题，依此类推。

2.正交表的应用
例子：磁鼓电机是录象机磁鼓组件的关键部件之一。

某厂以国外同类产品的水平为依据，对电机质量进行调查，发现力矩不合格达43%，因此，为了提高电机的输出力矩，需要进行试验。

1）技术分析
影响输出力矩的因素为：充磁量、定位角度、定子线圈匝数。

为讨论方便，把这3个因素分别命名为A、B、C，即A、B、C为因子。

根据经验，可以确定出各因素的变化范围为：
A 充磁量（T）：900×100-4~1300×100-4
B 定位角度（rad）：10×π/180~12×π/180
C 定子线圈匝数（匝）：60~100。

现要进行试验，选择合适的充磁量、定位角度和定子线圈匝数，以获得尽可能高的输出力矩值。

为此，考虑在各因素的变化范围中取3点进行试验。

比如
A： A1=900×100-4，A2=1100×100-4， A3=1300×100-4
B：B1=10×π/180，B2=11×π/180，B3=12×π/180
C：C1=70，C2=80，C3=90
至此，称A1=900×100-4为A因子的第1水平，A2=1100×100-4为A因子的第2水平，A3=1300×100-4为A因子的第3水平。

B和C因子依次类推。

2）作出因子水平表
这样，该问题已归结为33因子试验问题。

把所考察的因子及水平列表如下：
因子水平表
3）选择正交表
因子水平确定后，选择适当的正交表。

对于33因子试验问题，可以选用L9(34)正交表
这个表有4列，表头上有4个位置，可以安排4个因子。

规定A、B、C三个因子分别放在正交表的1、2、3列，这就叫表头设计。

应用正交表设计的试验方案，或称试验计划。

4）试验及结果
5）结果统计
一种办法是直接看试验结果。

选择其中较好的作为一个好试验条件。

这种方法适用于结果已较满意，且试验比较复杂的情况，可以将好的试验条件先用于生产。

另一种是统计分析。

见下图：
计算格式
表头设计
A 1
B 2 C
3 4 试验结果yi 力矩(g*cm)
列号
试验号
1 1 1 1 1 160
2 1 2 2 2 215
3 1 3 3 3 180
4 2 1 2 3 168
5 2 2 3 1 23
6 6 2 3 1 2 190
7 3 1 3 2 157
8 3 2 1 3 205
9 3 3 2 1 140 K1 555 485 555 （536） ∑=1651 K2 594 656 523 （562） K3 502 510 573 （553） k1 185 161.7 185 （178.7） k2 198 218.7 174.3 （187.3） k3 167.3 170 191 （184.3） R 30.7 57.0 16.7 8.6
其中，以A 因子为例：
K1= y1+ y2+ y3=160+215+180=555 A 因子1水平的3个试验结果之和； K2= y4+ y5+ y6=168+236+190=594 A 因子2水平的3个试验结果之和； K3= y7+ y8+ y9=157+205+140=502 A 因子3水平的3个试验结果之和；
k1= K1/3=555/3=185 k2= K2/3=594/3=198 k3= K3/3=502/3=167.3
R= k[max]- k[min]= k2- k3=198-167.3=30.7 称为极差 对于B 、C 因子，依次类推。

6） 结果分析
● 因子的主次关系：
根据极差R 的大小，判断各因素对试验结果影响的大小。

判断的原则是：凡是R 越大，所对应的因子越重要。

由图表可见，第二列的极差最大，为57.0，所以B 因子（定位角度）对试验结果的影响是最主要的。

根据图表可知，影响度依次为B （定位角度）→A （充磁量）→C （定子线圈匝数）。

● 较优水平组合：
根据k1、k2、k3值的大小来确定A 、B 、C 各因子取决于哪个水平好。

确定的原则根据对指标值的要求而定：如果要求指标值越大越好，则取最大的k 所对应的那个水平；如果要求指标值越小越好，则取最小的k 所对应的那个水平。

根据图表可知，我们要求输出力矩越大越好，则应该选择A2B2C3，即得到一个好
条件：A2=1100×100-4T，B2=11×π/180rad，C3=90匝。

这个条件就是第5号试验。

如该例比较简单，光从结果也能判断出第5号试验的结果最好。

另外，由于L9(34)正交表的第4列未使用，但是计算出的极差可以对试验误差进行
粗略的估计。

三.几个问题的补充说明
1.正交试验设计的基本步骤：
①分析问题，明确试验设计的目的；
②确定因子水平数；
③选正交表，进行表头设计；
④制订试验计划表；
⑤进行试验，测定试验结果；
⑥对试验结果进行统计分析，得出因子的主次关系和较优水平组合。

2.在实际应用中可能遇到的情况：
①在例子中，第5号试验的结果最好，这从结果选择和分析中都得到了印证，是一致
的。

但是，有时分析得到的可能的好组合在首批试验中未出现，这时就要作补充试
验，加以验证。

如果验证的结果确有明显的提高，则它往往是所有组合中最好的组
合，可先用于生产；但如果验证的结果与实际有明显的差异，则表明问题比较复杂，可能还有潜力可挖。

一般可能是没有考虑到因素间的交互作用或试验误差较大引起
的。

这时，应该以试验中的最好者、次好者为基本依据，并找出试验误差较大的原
因所在，加以克服，或进一步安排考察交互作用的试验。

②在确定较优水平组合时，对于影响不明显的次要因素，取哪一个水平好，还要结合
生产实际情况综合考虑。

比如，为了有利于提高效率、降低消耗等目的，不一定取
最大（或最小）的k所对应的那个水平，而可以取次大（或次小）的k 所对应的水
平，甚至取最小（或最大）的k所对应的水平。

③通过第一批试验，已得到一个好条件。

有时，还希望继续做试验，以寻找更好的条
件。

这时，应在第一批试验获得的信息的基础上，以第一批试验中得到的好条件为
依据，设计第二批试验。

④当试验结果的有效位数较多时，计算比较麻烦，可以对结果进行简化处理，如各个
试验结果同时减去一个数，并不影响分析的结论。

四.因素之间的交互作用
前面仅考察各个因素的单独作用，未考虑到因素之间的相互关系。

实际上，在很多情况下，不但各个因素单独起作用，而且因素之间会联合起来影响试验结果的变化，这种作用称为因素之间的交互作用。

因素A和B的交互作用记为A×B。

例子：某试验小组希望通过试验来考虑氮肥N和磷肥P对某农作物产量的影响，为此，选
只施4kg氮肥，不施磷肥时，平均亩产增加30kg；
只施3kg磷肥，不施氮肥时，平均亩产增加40kg；
两种肥料同时施放时，平均亩产增加100kg。

这里可以知道，这增加的100kg中，
由氮肥单独作用的30kg和磷肥单独作用的40kg，所以剩下的30kg是它们联合产
生的作用。

正交试验设计中，把这个值的一半称为N和P的交互作用，即N×P=1/2*30=15kg。

不难理解，两个因素的交互作用好象是在这两个因素的单独作用之外的一个“假设的因素”的作用，但它没有“水平”的选择，其作用的大小完全取决于前两个因素及其水平的搭配。

在正交试验设计时，要将“交互作用”当作一个假设因子放在表头上，而且位置不是随意的。

这需要应用正交表的两列间的交互作用表。

2.应用示例：
提高某种药品得率的试验。

所考察的因子及水平如表所示：
这是2水平4因子的试验，根据经验，D因子与A、B、C因子之间无交互作用，希望考察交互作用A×B、A×C、B×C，这是3个“假想”的因子，这样，相当于有7个因子的试验。

可以选用L8(27)表安排这个试验，见下表：
7
在表头设计时，还需要用L8(27)表的两列间交互作用表，见下表：
7
现在进行表头设计。

把因子A、B分别放在8的1、2列。

考察A、B因子的交互作用A×B，在正交交互表上的列号（1）往右看，列号2垂直往下看，交叉处数字是（3），因此第3列不能安排其他因子，应放A×B。

那么将因子C放在第4列。

再考虑交互作用A×C，在交互表上的列号（1）往右看，列号4垂直往下看，交叉处数字是（5），因此第5列不能安排其他因子，应放A×C。

再考虑交互作用B×C，在交互表上的列号（2）往右看，列号4垂直往下看，交叉处数字是（6），因此第6列不能安排其他因子，应放B×C。

最后将因子D放在第7列上。

这样就得到表头设计如下：
然后进行试验，得到结果如下表：
试验结果及计算格式
其中，R=(K[max]-K[min])/4,当然不除4也不影响分析的结论。

根据表中的数据，可以得出两个结论：
①因素的主次关系。

从极差可以看出，第4列的极差最大，所以对应的C因子是最主要的；
其次是A×B；再其次是B、A。

而B×C、B×C和D因子对应的极差相对于其他因子而言都比较小，可以认为主要是误差引起的。

所以因子的主次关系为：C→A×B→B→A。

②较优水平组合。

一般来说，应按因素的主次排列顺序从左往右逐一确定。

●这里，C因子最主要，而指标值要求越大越好，所以C取C2比C1得率高。

●排在第二位的是交互作用A×B，因交互作用无实际水平而言，所以说取哪个水平
好没有实际意义，应该说取哪种搭配水平好，不能按K1、K2值的大小来确定。

对
于2因子2水平的情形，所有可能的搭配有4种，在8次试验中，每种搭配都重复
了2次试验，根据正交表的综合可比性，可以估计出这4种搭配下试验结果的平均
值，其中最大值所对应的水平搭配就是最好的水平搭配。

具体的计算格式与结果，
见下图：
二元分析表
●对于排列第3位的B，由K1、K2的比较知道，取B1好。

●对于排列第4位的A，由K1、K2的比较知道，取A1好。

由此，因素的主次关系是：C→A×B→B→A
较优水平或搭配：C2 A2B1 B1 A1
对与A取何种水平出现了矛盾，从主次关系考虑，应该取A2。

从K1、K2比
较，D不妨取D2。

最终确定：A2B1C2D2
注意：若有些矛盾难以直接看出，可能需要进一步的分析。

3.几个问题的进一步说明
①在考虑交互作用的问题里，表头设计需要遵循一个原则：表头上每一列最多只能安排一
个内容，不允许出现同一列安排两个或两个以上内容的混杂现象。

要避免混杂，要选择适当的正交表，也需要经验。

表选大了，需要的试验就多；表选小了，难以避免混杂。

一般说来，所选正交表的自由度必须大于要考察的因子及交互作用的自由度之和。

关于自由度：正交表的总自由度f总=试验次数-1；正交表每列的自由度f列=该列水平数-1。

因子A的自由度f A=因子A的水平数-1；因子A、B间交互作用的自由度f A×B =因子A 的自由度×因子B的自由度=f A×f B。

例如：A、B、C、D为二水平因子，且要考虑A×B、A×C
可知f A=因子A的水平数-1=1，所以f A= f B= f C= f D=2-1=1，f A×B = f A×C =1，则f总=6，所以试验次数应该≥7，可以选L8(27)。

但是这是必要条件，而非充分条件。

可能还是难以避免混杂，可以再取大的表。

②要解决既避免混杂，又要试验次数尽可能少的矛盾，需要在实际应用中灵活地考虑处理
问题。

在明确了试验要考察的因子及水平后，必须根据经验判断剔除不存在的或可以忽略的交互作用。

明确哪些交互作用要着重考察，哪些是希望在不增加试验次数的情况下能尽量照顾考察。

这样在表头设计时，可以首先安排着重考察的交互作用的那些因子。

③上面讨论的交互作用，是指两个因子之间的交互作用，称为一级交互作用。

在某些情况
下，还存在着3个或3个以上因子间的交互作用，称为高级交互作用，以因子的连乘表示。

如A×B×C就是2级交互作用，它可以用正交表的某一列来计算，这里不再展开。

另外，实践证明，绝大多数高级交互作用是可以忽略的，而大部分的一级交互作用也是可以忽略的。

测验：
给出下列试验的表头设计：
（1）A、B、C、D为二水平因子，且要考虑交互作用A×B、B×C；（2）A、B、C、D为二水平因子，且要考虑交互作用A×B、C×D 第一题使用L8(27)，给出表头设计。

表头设计
第二题也可以使用L8(27)吗？为什么？
素材：
7。