天津高考理科数学试题含答案Word版

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴
考试用条形码。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。

3． 本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：
·如果事件A 、B 互斥，那么 ·如果事件A 、B 相互，那么
P(A ∪B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B) ·棱柱的体积公式V=Sh, 棱锥的体积公式V=13
sh , 其中S 标示棱柱的底面积。

其中S 标示棱锥的底面积。

h 表示棱柱的高。

h 示棱锥的高。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数
1312i
i
-+=+
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2）函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） （3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
（4）阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写 (A)i ＜3? （B ）i ＜4?
（C ）i ＜5? （D ）i ＜6?
(5)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是3x ,它的一个焦点在抛
物线2
24y x =的准线上，则双曲线的方程为
（A ）
22136108x y -= （B ） 221927x y -=
（C ）
22110836x y -= （D ）22
1279
x y -=
（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列
1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5项和为 （A ）
158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158
（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2
2
3a b bc -=，
sin 23sin C B =，则A=
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
120 （D ）0
150
（8）若函数f(x)=21
2
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）
(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足 （A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥
(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2． 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

3． 本卷共12小题，共100分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案天灾题中横线上。

（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数
字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和。

（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
（13）已知圆C的圆心是直线
1,
(
1
x
t
y t
=
⎧
⎨
=+
⎩
为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0
相切，则圆C的方程为
（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若
PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则
BC
AD
的值为 。

（15）如图，在ABC 中，AD AB ⊥,3BC BD =,
1AD =,则AC AD = .
（
16
）
设
函
数
2()1
f x x =-，对任意
2,3x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共76分。

解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知函数2
()23cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。

（18）.（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是
2
3
，且各次射击的结果互不影响。

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。

另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

（19）（本小题满分12分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 证明AF ⊥平面
1A ED
（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0x y a b a b
+=>>）的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面
积为4。

（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点
0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值
（21）（本小题满分14分） 已知函数()()x
f x xc x R -=∈
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >
（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>
（22）（本小题满分14分）
在数列{}n a 中，10a =，且对任意*
k N ∈.21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为
k d 。

（Ⅰ）若k d =2k ，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列（*
k N ∈） （Ⅱ）若对任意*
k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q 。

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B
二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。

（11）24:23 （12）103
（13）22
(1)2x y ++= （146（153 (16)33
,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
三、解答题
（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。

（1）解：由2
()3cos 2cos 1f x x x x =+-，得
2()3(2sin cos )(2cos 1)32cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
所以函数()f x 的最小正周期为π
因为()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间0,
6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，又 (0)1,2,
162f f f ππ⎛⎫
⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
又因为06()5f x =
，所以03sin 265x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
由0,42x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
从而2004cos 21sin 2665x x ππ⎛
⎫
⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
所以
0000343cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
22
2
52240(2)133243
P X C ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则 123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++
=32323
21121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
881
（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6
3
12311(0)()327P P A A A ζ⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++
=2
2
21121122
33333339⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1232124
(2)()33327
P P A A A ζ===⨯⨯=
123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=22
21118333327⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
123(6)()P P A A A ζ===3
28327⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所以ξ的分布列是
（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,
(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
（1） 解：易得10,,12EF ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
,1(0,2,4)A D =-
于是1113cos ,5EF A D
EF A D EF A D
=
=-
所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为
3
5
（2） 证明：已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛⎫=--
⎪⎝
⎭,11,,02ED ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED
(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =，则00u
EF u
ED ⎧=⎪⎨
=⎪⎩,即1
0210
2
y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
不妨令X=1,可得
(1,21u →
=-）。

由（2）可知，AF →
为平面1
A ED 的一个法向量。

于是2cos
,==3
||AF AF |AF|
u u u →
→
→
→
→
→
•，从而5sin ,AF u →
→
所以二面角1A -ED-F 的正弦值为
53
方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA 1=4,CF=1.CE=
12
链接B 1C,BC 1，设B 1C 与BC 1交于点M,易知A 1D ∥B 1C ，由
1CE CF 1
==CB CC 4
,可知EF ∥BC 1.故BMC ∠是异面直线EF 与A 1D 所成的角，易知
BM=CM=
11
B C=52
,所以
2223cos 25BM CM BC BMC BM CM +-∠== ,所以异面直线FE 与A 1D 所成角的余弦值为3
5
（2）证明：连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为
1
2
CD EC BC AB ==，所以Rt DCE Rt CBA ∆∆，从而CDE BCA ∠=∠，又由于90CDE CED ∠+∠=︒,所以
90BCA CED ∠+∠=︒，故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且1CC AC C ⋂=，所以DE ⊥平面
ACF ，从而AF ⊥DE.
连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C,所以AF ⊥A 1D 因为1DE A D D ⋂=，所以AF ⊥平面A 1ED
(3)解：连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,又NF ⊂平面ACF, A 1N ⊂平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N,故1A NF ∠为二面角A 1-ED-F 的平面角
易知Rt CNE Rt CBA ∆∆，所以
CN EC
BC AC
=
，又5AC =所以5CN =，在22130
5
Rt NCF NF CF CN Rt A AN ∆=+=
中，在中22114305NA A A AN =+= 连接A 1C 1,A 1F 在22
11111114Rt AC F A F AC C F ∆=
+=中，222111112
cos 23
A N FN A F Rt A NF A NF A N FN +-∆∠==•在中，。

所以15sin A NF ∠=所以二面角A 1-DE-F 正弦值为
5
3
（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分 （1）解：由3e c a ==，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b = 由题意可知，
1
224,22
a b ab ⨯⨯==即 解方程组22a b
ab =⎧⎨=⎩
得 a=2,b=1
所以椭圆的方程为2
214
x y +=
(2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
由方程组消去Y 并整理，得2
2
2
2
(14)16(164)0k x k x k +++-=
由212
164
2,14k x k --=
+得 21122
284,,1414k k x y k k
-==++从而 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为222
82(,)1414k k
k k -
++ 以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
000(2,y ),(2,=2QA QB y QA QB y →→→→
=--=-±）由4，得=2（2）当K 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2
22
218()1414k k Y x k k k -
=+++ 令x=0，解得02
614k
y k
=
+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →
→
=--=-）
210102222
2(28)6462(()14141414k k k k QA QB x y y y k k k k
→
→
--=---++++++）= 4222
4(16151)
4(14)
k k k +-=+= 整理得2
01421472,=k k y ==±故 综上00214
=22=5
y y ±±
或 （21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查
运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f ’()(1)x
x x e -=-
令f ’(x)=0,解得x=1
当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表 X (,1-∞) 1 (1,+∞) f ’(x) + 0 -
f(x)
极大值
所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
1e
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2
x e
-
令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x
x F x xe x e --=+-
于是22
'()(1)(1)x x F x x e
e --=--
当x>1时，2x-2>0,从而2x-2
e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在
[1,+∞)是增函数。

又F(1)=-1-1
e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设
由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而
)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，
1）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.
(22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

满分14分。

（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121
a a k k N k k -=∈+-。

所以131()()...()21
21212123
a
a a a a a a a k k k k k -=-+-++-++---
=44(1)...41k k +-++⨯ =2k(k+1) 由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122
a
k k a a k k a k k k k k =+=-==++++从而
于是1121222221,,221212a a a a k k k k k k a k a k a a k k k k
++++++===++所以。

所以*
2,,,22122
k d k k N a a a k
k k =∈++时，对任意成等比数列。

（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a
a a k k -+成等差数列，及,,22122
a a a
k k k ++成等比数列，得212112,222121221
k a a
k k a
a a q k k k a a q
k k k -+=+=+=+-+- 当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*
N 从而
111
111,1(2)1111
111
21
1
k q
q q q k k k k q k ==
+-=≥-------
--即
所以11q k ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而14
2,2
q =
=111
q -=1.由（Ⅰ）有
*1111,,1
k k k k q k N q k
k +=+-==∈-得
所以2
*
222211221,,2122a a a k k k k k k N a a k a k k k k
+++++===∈+（）
从而
因此，
2222*2222
(1)222214...........22..
2(1),2212(1)(2)122242
k a a a k k k
k k a a k a a k k k N k k a a a k k k k k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*
m N ∈)
若m=1,则2
222n
k k
k n a =-=∑.
若m ≥2，则
2222
122111221(2)(21)42n
m m m k k k k k k k k k k k a a a k
-====++=+=∑∑∑∑+ 221
11
1114414411112222(1)2(1)2(1)211131
22(1)(1)222.
m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n m n ---===⎡⎤+++⎡⎤
⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+-+-=--
∑∑∑
所以22
223132,22,4,6,8...22n
n
k k k k
k k n n n a n a ==-=+<-<=∑∑从而
(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*
m N ∈）
2
222
22221
(21)31(21)4222(1)n
m k k k k m k k m m m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ 1131
4222(1)21
m n m n =+-=--++
所以22312,21n
k k k n a n =-=++∑从而2
2322,3,5,72n
k k
k n n a =<-<=∑···
综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *
∈,有2
23222n
k k
k n a =<-≤∑
证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-
212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k k d q d +=
232211122222221
111k k k k k k k k k k k k k k
a a d d d q q a a q a q a q ++++++++-=
==+=+=+ 由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。

可得
11
11
11111k k k k k q q q q q +-
=-=----，
所以11k q ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列，公差为1。

（ii ）证明：因为120,2,a a ==所以1212d a a =-=。

所以3214a a d =+=，从而3122a q a =
=，11
11q =-。

于是，由（i ）可知所以11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是公差为1的等差数列。

由等差数列的通项公式可得
1
1
k q -= ()11k k +-=，故1
k k q k
+=。

从而
11
k k k d k q d k
++==。

所以
12112112 (121)
k k k k k d d d d k k k d d d d k k ----===--，由12d =，可得 2k d k =。

于是，由（i ）可知()2
21221,2,*k k a k k a k k N +=+=∈
以下同证法一。