质数和合数,分解质因数

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质数合数分解质因数

质数合数分解质因数在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的推断方法是，当一个数比拟小时，用定义直接推断，但这个数比拟大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数．例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；推断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；推断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何推断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采纳观察、计算调整的方法是比拟麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，依据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23&215;5 44=22&215;1145=32&215;5 63=32&215;765=5&215;13 78=2&215;3&215;1399=32&215;11 105=3&215;5&215;7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的全部约数，再数出它们的个数，显然比拟麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23&215;32&215;5，360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成，我们将360的全部约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2&215;3 22&215;3 23&215;332 2&215;32 22&215;32 23&215;325 2&215;5 22&215;5 23&215;53&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;532&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4&215;6=24个，而24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕，这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为以下形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24&215;32&215;5=720解：因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24&215;32&215;5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述方法找出后，再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果．首先简单得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内其它五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。

质数、合数和分解质因数

第一讲质数和合数例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?练习：1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?第二讲分解质因数例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。

例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。

”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。

求这个算式。

例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。

例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。

例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。

例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。

如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。

共买了多少支钢笔?例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。

例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少?例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少?练习：1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少?2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和，3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数?4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。

质数合数分解质因数

质数合数分解质因数1.质数和合数（1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。

如7和11都是质数。

（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。

举例：注意：①1既不是质数，也不是合数。

②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。

③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。

○42是最小的质数，也是质数中唯一的一个偶数。

（3）判断一个数是合数还是质数的方法。

先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。

判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。

2.分解质因数（1）质因数的意义。

每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

比如:60=2X2X5X3中的2、2、5、3都叫做60的质因数（2）分解质因数的意义。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

如：6=2×3，24=2×2×2×3。

（3）分解质因数的方法。

①分解质因数时，通常用短除法。

短除法是除法的简化。

如：②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。

如：用短除法把180分解质因数：名师点拨【典型范例剖析】例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。

解：把1225分解质因数：1225＝5×5×7×7变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35因此，这个正方形的边长为：35厘米。

答：这个正方形的边长为35厘米。

例2 在10—150中找出两个自然数，使它们的积等于77与195的积。

3.3：质数、合数、分解质因数教学案及巩固练习

3.3：质数、合数及分解质因数【学习目标】:1、理解质因数和分解质因数的意义。

2、会把一个合数分解质因数。

3、在探索发现的过程中体验成功的乐趣，增强自己学好数学的信心学习重点:理解质因数和分解质因数的意义。

【学习重难】:会用短除法分解质因数。

【学习方法】:学习方法:独立思考与小组交流相结合【知识点1】质数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，也叫做这个合数的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。

【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______，最小的合数是分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。

而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。

4是最小的合数（背会）2、39、47、57、83中为质数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。

3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数（C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。

4、两个质数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。

质数和合数分解质因数

质数和合数分解质因数
范围和要求
1.知识点范围 A 质数、合数的概念 B 判断一个数是质数还是合数的方法 C 掌握分解质因数的方法
范围和要求
2.要求 A 理解质数、合数的意义 B 熟练地掌握判断一些常见数是质数，还是合数的方法 C 熟悉20以内的质数，会查质数表 D 初步掌握用短除法分解质因数的方法 E 知道因数、质因数与分解质因数间的联系与区别
例题：把下面各数分解质因数，并分别写出它们所有的约数。
分解质因数 15 18 20 约数
15=3 5
1、3、5、15
18=2 3 3 1、2、3、6、9、18 20=2 2 5 1、2、4、5、10、20
小结
质数、因数、质因数、分解质因数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因为它只有1和17两个约数。
知识点精讲
一、质数和合数
1 的约数： 1
5 的约数： 1、5 12 的约数： 1、2、3、4、6、12 16 的约数： 1、2、4、8、16 17 的约数： 1、17 21 的约数： 1、3、7、21 25 的约数： 1、5、25 29 的约数： 1、29 32 的约数： 1、2、4、8、16、32 36 的约数： 1、2、3、4、6、9、12、18、36 37 的约数： 1、37
× （×
（
（
所有的合数都是偶数吗？
所有的偶数都是合数吗？
×
×
）
）
知识点精讲
二、分解质因数
6 2 3 28 4 7 2 2 6= 2 3 7
28= 2 2 7
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

第3讲：质数、合数及分解质因数讲解及习题

第3讲：质数、合数及分解质因数(数学：老师)【知识点1】质数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。

而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。

2、39、47、57、83中为质数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。

所以得数肯定不能为质数。

5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，（1）是奇数又是质数的数是（）；（2）是奇数不是质数的数是（）；（3）是质数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）；（5）是合数而不是奇数的数是（）．6 、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。

五年级数论_质数、合数

质数与合数知识点精讲(一)概念: 只能被两个不同的自然数整除的自然数叫质数。

因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。

(二)100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

(三)质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.小超写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.(四)乘积与和(将乘积分解成符合要求的形式)1.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.2.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.(五)两个数的乘积一定的时候，这两个数越接近，他们的和越小；两个数的和一定的时候，这两个数越接近，他们的积越大。

1. 9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.2. 30可以写成两个数的和，这两个数的积最大可以达到_____.(六)(七)完全平方数完全平方数分解质因数之后，每个不同质因数的个数都是偶数。

2400与另一个数的乘积是一个完全平方数，这个数最小是______。

(八)判断是质数还是合数.先找出一个大于N的最小的完全平方数2k，再写出k以内的所有质数；若这些质数都不能整除N，则N是质数；若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.（请想想这其中的道理）判断103、437为质数还是合数？(九)乘积末尾连续0的个数在乘积1000×999×998×…×3×2×1 中，末尾连续有多少个零？课堂例题1.两个质数的和是39，那么这两个质数的积是多少？AB⨯⨯2.把232323的全部质因数的和表示为,那么A B AB=_____.3.有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.4.边长为自然数，面积为105的长方形的形状不同的长方形共有多少种？5.11112222个棋子排成长方形棋阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方形每一横行各有多少个棋子？6.5个相邻自然数的乘积是55440，求这5个自然数分别是多少？7.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小是多少以及此时b是多少？8.在乘积1000×999×998×995×……×500的结果中，末尾连续有多少个零？9.分别判断351、143是质数还是合数.练习题：1.有四个不同约数的最小自然数是_________。

第二节质数、合数和分解

第二节质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

判断一个数是质数还是合数的常用方法：对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。

30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。

如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。

例题讲解例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。

例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

例7：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？练习1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少6、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。

通用版本五年级数学：质数、合数、分解质因数趣味数学(无答案)

质数、合数、分解质因数１、下列数中，哪些数是质数？哪些数是合数？把合数分解质因数？12 13 91 71 72150 171 29 84 91２、用1、2、3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？１、把24和56分别分解质因数，并找出24和56有哪些相同的质因数？２、一个长方形的面积是46平方厘米，且这个长方形的长和宽为互质数，求长方形的长和宽分别是多少厘米？３、有4个小朋友，他们一个比一个大一岁，4人年龄的乘积是360，他们四人各是几岁？４、有a、b、c三个自然数，已知a×b＝6，b×c＝15，a×c＝10，那么a×b×c的积是多少？５、把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

通过本次学习，我的收获有第一部分必做题１、(☆)判断。

⑴自然数按约数的个数分可以分为质数和合数两大类。

（）⑵质数都是奇数，合数都是偶数。

（）⑶2和3是质因数。

（）⑷20以内不是质数，又不是偶数的数只有9和15。

（）⑸任意两个自然数的积一定是合数。

（）⑹84=3×4×7，所以3、4和7都是84的质因数。

（）⑺两个质数的和一定是偶数。

（）２、(☆)⑴把24和66分解质因数，再找出它们相同的质因数。

⑵(☆)把36和75分别分解质因数，再找出它们的所有约数。

３、(☆)在（）里填上合适的质数。

24＝（）＋（）＝（）＋（）＝（）＋（）＝（）×（）×（）×（）20＝（）×（）×（）＝（）＋（）＝（）＋（）36＝（）×（）×（）×（）＝（）＋（）＝（）＋（）＝（）＋（）＝（）＋（）４、(☆)试着把26写成几个质数（可以相同）相加的形式，写得越多越好。

５、(☆)两个连续偶数的积是168，这两个偶数分别是多少？６、(☆☆)王老师捧来123本练习本，恰好能平均分给全班同学。

五年级数学下册质数和合数

五年级数学下册质数和合数一、质数与合数的定义。

1. 质数（素数）- 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。

例如，2的因数只有1和2，3的因数只有1和3，5的因数只有1和5，7的因数只有1和7等，所以2、3、5、7都是质数。

- 最小的质数是2，并且2是唯一的偶质数。

2. 合数。

- 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

例如，4的因数有1、2、4；6的因数有1、2、3、6；8的因数有1、2、4、8等，所以4、6、8都是合数。

- 1既不是质数也不是合数。

因为1只有1这一个因数，不符合质数的定义（需要有两个因数），也不符合合数的定义（需要有三个或更多因数）。

- 最小的合数是4。

二、100以内的质数。

1. 100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

2. 可以通过简单的方法来记忆，例如：先记住2、3、5、7这几个较小的质数，然后对于两位数的质数，其个位数字一般是1、3、7、9（除了个位是5的数，因为个位是5的数除了1和它本身还有5这个因数，是合数）。

三、质数与合数的判断方法。

1. 分解因数法。

- 对于一个数，将其分解因数。

如果分解后只有1和它本身两个因数，就是质数；如果有其他因数，就是合数。

例如，判断17，因为17 = 1×17，只有1和17两个因数，所以17是质数；判断18，18=1×18 = 2×9=3×6，除了1和18还有其他因数，所以18是合数。

2. 试除法。

- 用比这个数小的质数依次去除这个数，如果都不能整除，这个数就是质数；如果能被其中一个质数整除，这个数就是合数。

例如，判断29，用2、3、5、7、11、13、17、19、23去试除29，都不能整除，所以29是质数。

四、质数与合数在数学中的应用。

1. 分解质因数。

第二讲质数、合数和质因数

第二讲质数、合数和质因数一、概念1、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

特别记住：1不是质数，也不是合数。

100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。

2、质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：把30分解质因数。

解：30=2×3×5其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12=2×2×3=22×3，其中2、3叫做12的质因数。

分解质因数的方法：短除法。

分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。

塔形分解法。

二、练习1、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？3、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？三、提高。

提高一：甲、乙、丙三个数的乘积是26250.甲数比乙数大5，乙数比丙数大5.求甲、乙、丙各是多少。

练一练：1、甲数比乙数大11，乙数比丙数大11.甲、乙、丙三个数的成绩是7986.求甲、乙、丙各是多少。

2、有四个连续奇数的乘积是326025，这四个数的和是多少？提高二：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

练一练：1、把14、30、33、35、39、75、143、169这八个数平均分成两组，使每组里四个数的乘积相等，求这两组数。

2、把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数中几个数的乘积相等，应该怎么分？提高三：有3个自然数a、b、c。

第十二讲质数、合数、分解质因数

-159-第十二讲质数、合数、分解质因数知识导航：自然数可以根据它们的因数个数分为质数和合数。

1.质数：一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。

例：2=1×2，5=1×5,13=1×13…像这些数都是质数。

2．合数:一个数如果除了1和它本身外，还有别的因数，这个数叫做合数。

例：12=1×12=2×6=3×4，36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6…像这些数都是合数。

特别注意1既不是质数也不是合数。

注意：质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。

3．分解质因数：指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3…这就是分解质因数。

注意1：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；注意2：100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

4．唯一分解定理：N=a 1p1×a 2p2×…×a n pn(a 1、a 2…a n 均为N 的不同质因数)那么N 的因数个数n=（1+p1）×(1+p2)×…(1+pn)5．互质数的概念和特征互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

互质数的特征：（1）1和任何数都是互质数。

（2）两个不相等的质数一定是互质数。

（3）相邻的两个自然数一定是互质数。

第一关：必须会例1.两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。

两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。

解：99=2+9797×2=194答：这两个质数的乘积是194。

我试试：1、两个质数的和是39，求这两个质数的积。

小学五年奥数-质数合数分解质因数

质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。

另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。

显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。

【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。

【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。

这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。

因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。

【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。

若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。

答：这个班共有学生51人，每人种6棵。

【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。

质数、合数、分解质因数

学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，即，0和1，质数，合数。

2. 最小的质数是2，最小的合数是4。

3. 常用的100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为 1，3，7，94. 部分特殊数的分解：=⨯111337=⨯1000173137=⨯⨯1111141271=⨯100171113=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯=⨯⨯⨯1998233337199535719+==⨯⨯10101371337=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯2007200840155117320082222515. 质数的判定方法判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。

例如：判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。

251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6， (251)17=14…13，此时除数17＞商14，由此说明251是质数。

小学数学精讲(5)约数倍数、质数合数、分解质因数

小学数学精讲(5)约数倍数、质数合数、分解质因数一、知识地图二、基础知识（一）1．质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

显然，在自然数范围内，最小的质数是2，2也是惟一的偶质数。

最小的合数是4。

我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0和1，质数和合数。

因此，除0和1以外的自然数，不是质数就是合数。

自然数的个数是无限的。

早在2000多年前古希腊数学家欧几里德就证明了质数有无限多个。

2. 质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如，12=2×2×3。

常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。

同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。

部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。

注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。

小学数学理解数字的质数与合数概念

小学数学理解数字的质数与合数概念在小学数学中，我们常常会遇到数字的质数与合数概念。

了解数字的质数与合数对我们理解数学的基本概念以及解题有着重要的意义。

本文将详细介绍质数与合数的概念、特点及其在数学中的应用。

一、质数的概念质数是指大于1的自然数，除了1和自身外，没有其他因数的数。

简单来说，一个大于1的数，如果只能被1和自己整除，那么这个数就是质数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

二、合数的概念合数是指除了能被1和自身整除外，还有其他因数的数。

也就是说，一个大于1的数，能够被除了1和自身以外的数整除，那么这个数就是合数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

三、质数与合数的特点1. 质数只有两个因数，即1和自身，而合数除了1和自身，还有其他因数。

2. 任何一个大于1的数，都必然是质数或合数。

这意味着所有的自然数，都可以归类为质数和合数两种。

四、质数与合数在数学中的应用1. 分解质因数：将一个合数分解为质因数的乘积，是数学中常见的问题。

通过分解质因数，可以简化计算、求解最大公因数、最小公倍数等问题。

2. 判断数字的性质：在数学中，我们常常需要判断一个数字的性质，即质数还是合数。

这个判断对于解题特别重要，能够帮助我们更好地理解问题，并找到解题的思路和方法。

3. 探究数的规律：通过观察质数与合数的规律，可以深入研究数学的基本原理和问题。

例如，质数分布的规律、合数的特性等等。

五、质数与合数的例题解析1. 例题一：判断数字是否是质数还是合数。

解析：如判断数字13是质数还是合数，只需找出比13小且能整除13的数，发现只有1和13本身，没有其他数可以整除13，因此13是质数。

2. 例题二：分解合数为质因数的乘积。

解析：如将24分解为质因数的乘积，可以先找出24的一个质数因子，如2，然后继续分解2的倍数，即12，6，3。

最终得到24=2×2×2×3。

六、总结质数与合数是我们在小学数学中常常接触到的概念。

分解质因数的技巧

分解质因数的技巧分解质因数是数学中常见的一个基本操作，通过分解质因数可以帮助我们更好地理解一个数的因数结构，进而进行约分、化简、求最大公因数等运算。

在学习数学的过程中，掌握好分解质因数的技巧对于提高计算能力和解题效率都有着重要的意义。

下面将介绍一些常用的分解质因数的技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这一数学技能。

一、质数与合数的概念在分解质因数的过程中，首先需要了解质数和合数的概念。

质数是指除了1和本身外没有其他因数的自然数，例如2、3、5、7等；而合数是指除了1和本身外还有其他因数的自然数，例如4、6、8、9等。

在分解质因数时，我们通常将一个合数分解为若干个质数的乘积的形式，这就是分解质因数的基本思想。

二、分解质因数的基本步骤1. 从最小的质数开始除：将给定的数用最小的质数（2、3、5、7、11、13……）依次除，直到商为1为止。

2. 依次找出能整除给定数的质因数：将给定的数反复除以质数，直到无法整除为止，找出所有的质因数。

3. 将所有的质因数乘积表示原数：将找出的所有质因数相乘，即可得到原数的分解质因数形式。

三、分解质因数的技巧1. 从小到大依次尝试质数：在分解质因数时，可以从最小的质数开始尝试，依次除以2、3、5、7等质数，这样可以更快地找到所有的质因数。

2. 注意重复因数：在分解质因数时，有时候会出现重复的质因数，这时需要将重复的质因数合并在一起，以简化表达式。

3. 利用质数的性质：质数的性质是任何一个合数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积，因此在分解质因数时可以利用这一性质来简化计算过程。

4. 注意特殊情况：有些数的质因数分解并不是那么显而易见，需要通过观察和尝试来找到正确的分解方式，这时需要耐心和细心。

四、实例分解质因数1. 分解质因数：48解：48=2×2×2×2×3=2^4×32. 分解质因数：90解：90=2×3×3×5=2×3^2×53. 分解质因数：126解：126=2×3×3×7=2×3^2×7通过以上实例可以看出，分解质因数的过程并不复杂，掌握好基本的技巧和方法，就能够轻松应对各种数的质因数分解问题。

分解质因数顺口溜

分解质因数顺口溜分解质因数是小学数学中的重要知识点之一，通过对数字的质因数分解可以计算它的最大公约数、最小公倍数等问题。

为了帮助同学们更好地掌握分解质因数，以下是一篇关于分解质因数顺口溜的文章。

一、什么是质数和合数？在分解质因数之前，我们需要先知道什么是质数和合数。

1. 质数：只能被1和它本身整除的数，例如2、3、5、7、11、13等。

2. 合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数，例如4、6、8、9、10、12等。

二、分解质因数的基本步骤分解质因数的基本步骤是：先将数字分解成质数的乘积，再将这些质数按从小到大的顺序排列。

以12为例，它可以分解为2*2*3。

这里我们先找到它的质因数2，由于12可以被2整除，因此我们将12除以2得到6。

接着，我们再将6继续除以2，得到3。

此时，3是一个质数，同时也是12的因数。

因此，12可以表示为2*2*3。

三、分解质因数的顺口溜接下来，我们来说说分解质因数的顺口溜：质数是生成数，合数可分解。

先看能否被2，再看能否被3，再看5或7，或11或13，到最后若不能分，则那就是个质啦！意思是说，分解质因数时，先判断所分解的数字是否是质数或合数。

如果是质数，则它就是一个质因数。

如果是合数，则尝试把它分解成两个因数，再对这两个因数分别进行质因数分解。

首先，我们尝试用2除以这个数，看是否能够整除。

如果可以，就把这个数除以2，保留商作为新的数，并继续尝试用2除以这个数。

如果这个数不能被2整除，就尝试用3除以这个数，以此类推。

当最后得到的数已经是一个质数时，就把这个质数加入到分解结果中即可。

四、总结分解质因数是小学数学的重要知识点之一，通过掌握这一技巧，我们可以更好地解决一些数论问题。

希望本篇文章中提供的顺口溜可以帮助同学们更好地记忆分解质因数的方法，从而更好地掌握这一知识点。

第3讲质数合数分解质因数

867=3×17×17 有17条船，每条船坐17人。
补充题：把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组里四个数的乘积相等。解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根据这些质因数进行分组。 9=3×3 15=3×5 28=2×2×7 30=2×3×5 34=2×17 55=5×11 77=7×11 85=5×17 从上面18个质因数中可以看出，每组四个数的乘积中，都必须含有两个2，两个3，两个5，一个7，一个 11和一个17。因此，这两组数分别是（9，28，55， 85）和（15，30，34，77）
第Байду номын сангаас3 讲
质数合数和分解质因数
研究目标：质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类： ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等 ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8 等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数。注意： 1不能质数也不是合数 2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。
2、质因数：一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数. 3、分解质因数：把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘的形式表示出来。 4、互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。 5、自然数按约数的个数可分为：质数、合数还有1.

质数和合数,分解质因数

质数 合数 分解质因数

质数、合数和分解质因数

质数合数分解质因数

3.3：质数、合数、分解质因数教学案及巩固练习

质数和合数分解质因数

第3讲：质数、合数及分解质因数讲解及习题

五年级数论_质数、合数

第二节 质数、合数和分解

通用版本五年级数学：质数、合数、分解质因数 趣味数学(无答案)

五年级数学下册质数和合数

第二讲质数、合数和质因数

第十二讲 质数、合数、分解质因数

小学五年奥数-质数合数分解质因数

质数、合数、分解质因数

小学数学精讲(5)约数倍数、质数合数、分解质因数

小学数学理解数字的质数与合数概念

分解质因数的技巧

分解质因数顺口溜

第3讲质数合数分解质因数

质数合数分解质因数

第二节质数、合数和分解

通用版本五年级数学：质数、合数、分解质因数趣味数学(无答案)

第十二讲质数、合数、分解质因数