离散数学第六章(第1讲)

在整数集合 I 上定义 如下： a,b I , a ob a b a b
其中的+，· 分别表示数的加法和乘法。
在集合 I 上是封闭的，<I， >是一个代数系统。
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者说 在S上满足交换律）。
例：设A是一个非空集合， ★是A上的二元运算，对 于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。 证：∵ 对于任意的a，b ，c A，
（a ★b）★c= b ★c= c 而a★（b★c）=a★ c= c， ∴（a★b）★c= a★（b★c） ∴ ★是满足结合律的
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算,对任一 x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z） （y z） x=（y x） （z x）
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
设??和??是集合ss上的二个二元运算对任一xyz??ss有x??y??zzx??yy??x??zzy??zz??xy??xx??z??xx则称运算??对??是可分配的或称??对??满足分配律
代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构,故又叫代数结构, 它将用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多 分支中,它对程序理论,数据结构,编码理论的研究和 逻辑电路的设计具有理论和实践的指导意义。
例： （1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e×=1 （2）在(Z)中,对∩而言, e ∩ =Z ；对∪而言,e ∪ =
（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式） 对∧而言，e ∧ =T（永真式）
《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,则 el= er = e，且e Z是唯一的。 证明：
一个代数系统需要满足以下条件： ① 有一个非空集合S； ② 有一些建立在集合S上的运算；
§2来自百度文库运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。 在f：Z2Z二元运算的定义中,定义本身要求满足运算 是封闭的条件。
§2运算及其性质
例：（1）在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，求 任意元素的倒数运算； （2）在前例中,R,I集合中+,-,×运算； (Z)的元素中 ∩,∪,~,运算等均为封闭的； （3）在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的,在正整 奇数的集合中,对×运算是封闭的,而对+运算不是封闭的。
例： （1）在实数集合R中，对×而言,θL = θr =0 （2）在(Z)中，对∩而言，θ ∩ =
对∪而言，θ ∪ = Z （3）{命题逻辑}中，对∨而言，θ ∨ =T
对∧而言，θ ∧ = F
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零 元，则θl = θr =θ，且θ Z是唯一的。
证明： ∵ θl和θr分别是对*的左,右零元， 则有θl * θr = θr = θl ∴有θl = θr = θ成立。 再证明零元θ是唯一的。 用反证法：假设有二个不同的零元θ 1和θ 2,则有 θ 1* θ 2= θ 2= θ 1,这和假设相矛盾。 ∴若存在零元，则零元一定是唯一的。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
《定义》:一个非空集合S连同若干个定义在该集合上的 运算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统， 记作<S, f1,f2,… ,fk>。
《定理》：设Z是集合，并含有幺元e 。*是定义在Z上的一个 二元运算，并且是可结合的。若x Z是可逆的，则它的左逆 元等于右逆元，且逆元是唯一的。
证明：（1）先证左逆元=右逆元： 设 xl和 xr分别是x Z的左逆元和右逆元， ∵ x是可逆的和*是可结合的
∴ xl *x=x* xr = e ∵ xl *x* xr =（ xl*x）* xr = e * xr= xr ；
本篇讨论一些典型的代数系统及其性质。
第六章 代 数 结 构
§1 代数系统的概念 §2 运算及其性质 §3 半群和含幺半群 §4 群与子群 §5 交换群和循环群
§7* 陪集与拉格朗日定理 §8 同态与同构 §9 环与域
§1 代数系统的概念
举例：
① 将实数集合 R 上的每一数 a0 映射成它的倒数 1/a，就可以将该映射称为集合R 上的一元运算；
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
下面介绍左逆元，右逆元，逆元
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e，令x Z， （1）若存在一xlZ，能使xl *x= e，则称xl是x的左
逆元,并且称x是左可逆的；
（2）若存在一xr Z，能使x* xr = e，则称xr是x 的右逆元，并且称x是右可逆的；
（3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
例： 在整合集合 I 上定义运算 ： 对任何a,b ∈I,a b=a·b-(a+b) 其中的 +，·分别表示数的加法和乘法。 是否满足交换律？
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有（x y） z=x （y z）,则称运算在S上 是可结合的（或者说*在S上满足结合律）。
解：对任何a ∈N,a*1=a1=a，因此 1 是右幺元。 但 1 不是左幺元，因为 1*2=12=1 ≠2。 所以 <N，*>没有左幺元，当然也就没有幺元。
下面介绍左零元，右零元，零元
《定义》：设*是对集合Z中的二元运算， (1)若存在元素θl Z，且对任意x Z有 θl *x= θl ，则称θl 为Z中对于*的左零元； (2)若存在元素θr Z，且对任意x Z有 x* θr= θr ，则称θr为Z中对于*的右零元。 (3)如果Z中存在元素θ,它既是左零元,又是右零元, 则称θ为Z中关于运算*的零元。对于任意x∈Z,有 θ*x=x*θ=θ
讨论逆元定义：
(1)只有当幺元存在时，才考虑逆元。
(2)逆元是“局部”的，逆元是针对具体元素而定的， 有些元素可能有逆元，有些元素可能没有逆元。如 果 a 和 b 都有逆元且 a b，则 a-1 和 b-1 也不 相同。
(3)设 e 为幺元，只有当 a º b = e 和 b º a = e 同时成立时，a,b才能互为逆元，即a-1 =b, b-1 =a。
xl *x* xr = xl*(x* xr) = xl* e = xl
∴ xl = xr
（2）证明逆元是唯一的： 假设x1-1和x2-1均是x的二个不同的逆元，则 x1-1= x1-1*e= x1-1 *（x* x2-1 ）=（ x1-1 *x）* x2-1 = e * x2-1 = x2-1， 这和假设相矛盾。
∵ el和er分别是对*的左,右幺元， 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 再证明幺元e是唯一的。 用反证法：假设有二个不同的幺元e1和e2,则有 e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。 ∴若存在幺元，则幺元一定是唯一的。
例： 设代数系统（N，*），* 的定义为： 对 a,b N , a *b ab 那么，（N，*）有没有幺元？左幺元？右幺元？
② 在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘 法，都是集合R上的二元运算。
③ 对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的 三元运算。
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
（3） (Z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴ ∩,∪ 满足等幂律；
（4）在(Z)中,对称差是可交换,可结合的。
∵ = ,而除以外的元素A (Z)，有A A≠A。
∴ 在集合(Z)中，是等幂元素，其它不是。 不满足等幂 律。
下面介绍左幺元，右幺元，幺元
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, (1) 若存在元素el Z,对任意x Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元； (2) 若存在元素er Z,对任意x Z有x* er=x；则称er为 Z中对于*的右幺元。 (3) 如果Z中存在元素 e,它既是左幺元,又是右幺元,则称 e为Z中关于运算*的幺元。即对于任意x∈Z,有e*x=x*e.
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
定理：设<A,*>是一个代数系统,且集合A中的元素个 数大于1,如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则 θ≠ e。
若<A,*>是一个代数系统,且|A|>1,如果该代数系 统 有零元，∵θ*x=x*θ=θ ≠ e
则零元一定不存在逆元。