人教版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语 1.1_1.2命题与充要条件

命题与充要条件
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１理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。

２理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容。

３会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。

４理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。

５能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。

1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
四种命题表述形式
原命题：若p，则ｑ
逆命题：若q，则p
否命题：若非p，则非q
逆否命题：若非q，则非p
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示
形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“x∈M，p(x)”．
3．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部
分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．
(3)存在性命题的符号表示
形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词
常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．
5．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断
6
7
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
8．命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
【特别提醒】等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假；
(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
类型一命题的四种形式及其关系
例1：已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
【解析】命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．【答案】 D
练习1：给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（）
A.0个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 在四种命题中原命题和逆否命题同真假,故只需判断原命题和逆命题的真假即可．原命题为真．所以逆否命题为真．逆命题为“已知a 、b 、c 、d 是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d ”,显然错误．所以否命题也错误．故真命题个数为2．
【答案】 B
练习2：命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数
【解析】 若命题为“若p 则q ”，命题的逆否命题为“若非q ，则非p ”，所以原命题的逆否命题是“若x+y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”。

【答案】 C
类型二 含有逻辑联结词命题真假的判断
例2：设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π
2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x
＝π
2
对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真
B ．非q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
【解析】 由于函数y=sin2x 的最小正周期为π，故命题P 是假命题；函数y=cosx 的图象关于直线x=k π对称，k ∈Z ，故q 是假命题
由此结合复合命题的判断规则知：￢q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为是假命题 考查四个选项，C 选项正确， 【答案】 C
练习１：设命题：，则为( )
A. B. C. D.
【解析】 全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.:，故选C.
【答案】 C
练习2：已知命题p 1：函数y ＝2x
－2－x
在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x
在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(非p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(非p 2)中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
【解析】 选C.p 1为真命题，p 2为假命题，∴非p 1为假命题，非p 2为真命题．故选C.
【答案】 C
例3：判断下列命题的真假．
(1)x ∈R ，x 2
－x ＋1>12
；
(2)α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)x ，y ∈N ，x －y ∈N ； (4)x 0，y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.
【解析】 (1)真命题，x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12.
(2)真命题，如α＝π4，β＝π
2符合题意．
(3)假命题，如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4N. (4)真命题，如x 0＝0，y 0＝3符合题意． 【答案】 真命题，真命题，假命题，真命题。

练习3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p ：x ∈R ，x 2
－x ＋14
≥0；
(2)s ：至少存在一个实数x ，使x 3
＋1＝0.
【解析】 (1)非p ：x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题，因为x ∈R ，x 2
－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．
(2)非s ：x ∈R ，x 3
＋1≠0，是假命题，因为当x ＝－1时，x 3
＋1＝0.
【答案】 非p ：x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题。

非s ：x ∈R ，x 3
＋1≠0，是假命题。

类型三 充要条件的判断
例4：设集合m ＝{x |x >2}，p ＝{x |x <3}，那么“x ∈m 或x ∈p ”是x ∈p ∩m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】“x ∈m 或x ∈p ”即x ∈R ，而x ∈p ∩m 即x ∈(2,3)．∴x ∈p ∩mx ∈m 或x ∈p ，但x ∈m 或x ∈p 推不出x ∈p ∩m .
【答案】B
练习1：给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．
其中真．
命题的序号是________． 【解析】 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝，当B ＝60°时，有sin A ＝，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．
【答案】 ①④
练习2：设，.若p ：成等比数列；
q ：，则（）
A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【解析】 充分性：若命题ｐ成立，不妨设数列的公比为，则根据柯西不等式，当，时，命题ｑ成立，因此充分性成立；
必要性：当时，命题ｑ成立，而不为等比数列，即命题ｐ不成立，故必要性不成立。

综上，ｐ是ｑ的充分条件，但不是ｑ的必要条件。

故本题正确答案为A 【答案】 A
类型三 求参数的取值范围
例5：已知p ：x 2
－8x －20≤0，q ：x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)．若非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【解析】方法1：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2
≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．
∴非p ：A ＝{x |x >10或x <－2}，非q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m }． ∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴AB .
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2.
解得0<m ≤3.
方法2：由x 2
－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
∵非p 是非q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴BA .
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2.
解得0<m ≤3.
【答案】0<m ≤3
练习1：已知命题p ：函数log 0．5(x 2+2x+a)的值域为R ，命题q ：函数y=-(5-2a)x
是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是()
A ．a ≤1
B ．a<2
C ．1<a<2
D ．a ≤1或a ≥2
【解析】 分别求命题P 为真命题的a 的范围，命题q 为真命题的a 的范围；根据p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，得到命题p ，q 中有一个真命题，一个假命题，分命题p 为真命题且命题q 为假命题和命题q 为真命题且命题p 为假命题两类求出a 的范围．本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况．解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x 2
+2x+a 的判别式△=4-4a ≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，5-2a ＞1⇒a ＜2．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题．若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1＜a ＜2。

【答案】 C ．
练习2：已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x
在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2
－2cx －1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c 的取值范围为________．
【解析】 若p 为真，∵函数y=c x 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1，若q 为真，∵函数f （x ）=x 2-2cx+1在（1/2，+∞）上为增函数f （x ）对称轴为x=c ，∴0＜c ≤1/2
（1）p 为真，q 为假，∴实数c 的取值范围是1/2<c<1 （2）p 假q 真，无解。

∴实数c 的取值范围是1/2<c<1 【答案】 1/2<c<1 类型四 充要条件的应用
例6：已知集合M={x||x+1|+|x-3|>8},P={x|x 2
+(a-8)x-8a ≤0}，若M ∩P={x|5＜x ≤8}求a 取值范围。

【解析】 解M ：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。

当-1<x ≤3时，x+1+3-x>8,无解。

当x ≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。

即M=｛x|x>5或x<-3},M ∩P={x|5＜x ≤8}，则 记f(x)=x 2
+(a-8)x-8a=0两根x 1<x 2,则P={x|x 1≤x ≤x 2}需：x 2=8,-3≤x ≤5由f(x 2)=f(8)=64+8(a-8)-8a=0，知8为其根：f(-3)=9-3(a-8)-8a=33-11a ≥0,a ≤3f(5)=25+5(a-8)-8a=-3a-15≤0,又a ≥-5综合：-5≤a ≤3
【答案】 解M ：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。

当-1<x ≤3时，x+1+3-x>8,无解。

当x ≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。

即M=｛x|x>5 or x<-3},M ∩P={x|5＜x ≤8}，则 记f(x)=x 2+(a-8)x-8a=0两根x 1<x 2, 则P={x|x 1≤x ≤x 2}需：x2=8,-3≤x ≤5由f(x 2)=f(8)=64+8(a-8)-8a=0知8为其根：f(-3)=9-3(a-8)-8a=33-11a ≥0,：a ≤3f(5)=25+5(a-8)-8a=-3a-15≤0, ：a ≥-5综合：-5≤a ≤3
练习1：已知p ：x 2
－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值
范围．
【解析】 设A ＝{x |x 2
－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的
充分不必要条件，从而有AB .故⎩
⎪⎨
⎪⎧ －a ＋3<－1，
a ＋3>5， 解得a >4。

【答案】 设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的
充分不必要条件，从而有AB .故⎩
⎪⎨
⎪⎧
－a ＋3<－1，
a ＋3>5， 解得a >4。

1.已知命题p :函数f (x )＝－在区间⎝⎛⎭
⎫0，1
3内存在零点，命题q :存在负数x 使得 >给出下列四个命题：①p 或q ；②p 且q ；③p 的否定；④q 的否定．其中真命题的个数是() A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】命题p 为假命题，命题q 也为假命题．利用真值表判断． 【答案】B
2.命题“若α＝π
4，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A ．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π
4，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α≠π4
D ．若tan α≠1，则α＝π
4
【答案】 C
3.设，则“”是“”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】 A
4．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2
>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2
>0，则x >1”的逆否命题 【答案】 A
5．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 【答案】 [3,8)
6.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若非p 是非q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴非p ：x <1或x >5.
q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴非q ：x <m －1或x >m ＋1.
又∵非p 是非q 的充分而不必要条件， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
m －1>1，m ＋1≤5
或⎩⎪⎨
⎪⎧
m －1≥1m ＋1<5
，
解得2<m ≤4或2≤m <4，∴2≤m ≤4.
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基础巩固（1）
1.设命题：，则为() A.B. C.D. 【答案】 C
2.命题“且的否定形式是（） A.且 B.或 C.且 D.或
【答案】 D.
3.判断命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 【答案】 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：
∵x 2
＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，
∴“若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题． 4.下列命题：
①若ac 2
>bc 2，则a >b ；
②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 【答案】 ①③④
5.设n ∈N ＋，一元二次方程x 2
－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 【答案】 3或4
能力提升（2）
6.若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 【答案】 [1,2)
7.“m <14”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．
【答案】 充分不必要
8.设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2
＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x
在R 上为减函．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 9.求证：一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根都大于3是⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0x 1＋x 2>6
x 1x 2>9的一个充分不必
要条件．
【答案】证明：先证充分性：由于方程的两根都大于3，即x 1>3，x 2>3，可得⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0x 1＋x 2>6
x 1x 2>9成
立；再证不必要性：
若⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0x 1＋x 2>6x 1x 2>9
成立，不一定推出两根都大于3.如：x 1＝1，x 2＝10时x 1＋x 2>6，x 1x 2>9，但x 1>3
不成立，从而原命题得证．。