机械振动运动学2单自由度系统振动2

【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走
的力学模型。路面的波形可以用公式
表示，其中幅
度d=25mm波长l=5m。卡车的质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为
k=294kN/m。忽略阻尼，求卡车以速度v=45kM/h匀速前进时，车
体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多少？
图2.29石油载重卡隔离
隔振分为：主动隔振，被动隔振两类。
（a）主动隔振
（b）被动隔振
图2.39单自由度隔振系统的动力学模型
两种模型比较
①主动隔振
防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。如图2.39(a) 所示为主动隔振的简化模型。
弹簧传到支承上的最大载荷 支承上的最大载荷
最大合力
力
的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
在
阶段
式中：
当常力 去除后，系统自由振动的振幅A随着矩 形脉冲作用时间和振动系统固有周期之比值 的改变 而改变。
当
时，系统自由振动的振幅
在 时是以振幅等于 作简谐运动
当
时，A=0
2.5单自由度系统振动应用专题
2.5.1等效粘性阻尼
实际的石油机械振动系统中存在的阻尼是非常复杂的，只 有在特定情况下，阻尼力才表现为与运动速度成线性关系。工
1cosnt
式中
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统受到
的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表
示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在t=0时受到突加常
【解】因卡车匀速行驶，则行驶位移为x=vt 路面波形方程
k n 9.9rad /s
m
5


1.59
n
9.9
b
1
'
0.65
d
(12 )2
b 'd 0.652516.4mm
2vc

0
l
2.4.2周期激振力引起的受迫振动 (1)非简谐周期激振力引起的受迫振动
心距e＝SG，轴承中心连线则穿过圆盘平面的O点。 取xoy坐标系如图2.41所示，设(x,y)表示圆盘几何中心S的位
置，圆盘中重心的坐标为(x+ecosωt)与(x+esinωt) 在x和y方向的 2运动微分方程为
（2.116）
求解微分方程可得：
（2.117）
求得轴中点的挠度为
（2.118）
λ<1时，ϕ< ;λ=1时,ϕ= ;λ>1时, <ϕ<π
图2.24 相频响应曲线
可以利用上述相位差突然出现的反相现象，作为判断出现机 械振动系统共振的一种标志。
【例2-9】 在刚度k=107N/cm的弹簧上悬挂着一个mg=454N的物
体。在物体上作用着一个简谐激振力
，其力幅 =36.4N，
系统的阻尼系数C=1.176N/cm，试计算该机械振动系统的共振频
（2.119）
图2.42 圆盘重心G和几何中心S间相对位置 （2.120）
临界转速。即
（2.121）
（2.122）
在工程实际上有不少转轴是设计在临界转速以上工作 的，此轴称为超临界轴或柔性轴。
【例2-15】涡轮增压机转子质量10kg,钢制轴长l=32cm直径 d=20cm，两端视为铰支。转子位于转轴中部。钢的弹性模量 E=196GPa,质量密度ρ=7.8g/ ，略去阻尼。试求（1）临界转 速；（2）工作转速为3000r/min,偏心距e=0.15mm时的挠度y以及 轴承附加动反力。
（2.110）
（2.111）
隔振系数η来表示
（2.112） ②被动隔振
将需要防振的设备与振源隔开称为被动隔振。
如图2.39(b)所示为被动隔振的简化模型。 被隔振设备的运动微分方程式为：
③幅频响应曲线 幅频响应曲线
（2.114）
图2.40
曲线
（a）当λ<<1,η=1时。
(b)在λ< 的区域内，η>1
干摩擦阻尼的等效粘性阻尼系数： C e B
②流体阻尼
流体阻尼的等效粘性阻尼系数:
（2.104）
③结构阻尼
结构材料在振动过程中，每一个周期也形成一次滞后回 线，因而也消耗系统能量。
图2.38 结构材料的滞后回线
结构阻尼的等效粘性阻尼系数：
④多阻尼系统
（2.105）
（2.106）
粘性阻尼系统受迫振动微分方程相同的形式： （2.107）
图2.21单自由度有阻尼受迫振动系统动力学模型 若以静平衡位置O—O为坐标原点，取质量块的振动位移 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该 振动系统的运动微分方程式为：
(2.56)
通解由两部分组成
通解 特解 全解 在实际振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振 动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。如图2.22 所示.
图2.33任意激振力
当t=0 当t≠0
dx ht
（2）任意激振力的响应
系统在时刻τ的响应为
【例2-12】 一弹簧质量系统受到一个常力
的突然作用，
这一个力和时间的关系如图2.34（a）所示。试求振动系统的响
应。
图2.34 作用于弹簧-质量系统上的常力和系统的响应 【解】设振动系统无阻尼，则根据（2.95）式即可算出振动 系统的响应为：
程上都假设机械振动系统的阻尼为粘性阻尼（线性阻尼），而 在遇到非粘性阻尼时，则用一个等效粘性阻尼近似计算。
所谓等效粘性阻尼是指和非粘性阻尼在振动的一个周期中 消耗相等能量的粘性阻尼。
简谐激振力
在一个振动周期所作的功是：
粘性阻尼力 的功是：
令 则 系统共振 (
在一个周期内所消耗的能量或所作 (2.100)
率，共振振幅及共振时的振幅放大因子。
【解】 机械振动系统固有频率为：
kg n
mg
107 980
45.4
15.2
共振频率 n 15 .2
共振振幅
振幅放大因子 用机械振动试验来获得单自由度振动系统的一些极有价
值的参数。例如振动系统的质量m、弹簧刚度k，阻尼比ξ以及 固有圆频率 等。具体方法如下：
作用在机械振动系统上的周期激振力，把它们随时间变 化的规律可以归纳为三类：
①简谐激振力；②非简谐周期激振力；③随时间任意 变化的激振力。
对机械振动系统的激振则有两种不同的情况 ①位移干扰；②力干扰
2.4.1简谐激振力引起的受迫振动
(1)系统的动力学模型及运动微分方程 单自由度有阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.21所示。
以及当激振力频率ω等于 时质点的振幅。
图2.26 无重刚杆 【解】设刚杆在振动时摆角为 ，由刚体定轴转动微分方程可建 立系统的振动微分方程为
令
（3）位移干扰引起的受迫振动
图2.27 位移干扰的受迫振动系统的动力学模型 单自由度受迫振动系统的动力学模型如图2.27所示 运动微分方程式：
设 复数法解
图2.30 作用有周期激振力的有阻尼弹簧-质量系统
Ft Ft jT
j 1,2,3,,n
（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动
图2.31 周期性支承运动作用下的有阻尼弹簧-质量系统
2.4.3任意激振力引起的受迫振动 （1）脉冲响应
图2.32 作用有任意 激振力的有阻尼的弹 簧-质量系统
【解】该转轴系模型可简化为图2.41所示的模型，因此可得 刚度k为 临界转速
临界转速 为
施加到轴承的附加动反力F 附加动反力约为转子重量的2.8倍。
皮带轮 轴承
轴承与弹性支撑系统
其次，按 λ=2.5~5 之间值的要求，计算隔振系统的固有频率 然 后，计算隔振装置的刚度(k=m )，确定隔振装置的阻尼。
【例1-14】有一台精密仪器在使用时要避免振动的干扰，选用了8 个弹簧（每边4个并联）作隔振装置。已知地板振动为简谐运动规律， 即 =0.1sinπt（cm），仪器的质量m=800N·s2/m。仪器的容许振幅 [B]=0.01cm。试计算每个弹簧的刚度。
【解】按题目提出的隔振要求，隔振系数应为
2.5.3轴的临界转速 当转轴在某个转速或其附近运转时，振动会显著增大，
会引起剧烈的振动，甚至导致轴承和转轴的破坏。这种现象 就是共振引起的。
这些引起剧烈振动的特定转速称为该转轴的临界转速， 以 来 表示。
图2.41 单盘转子
先分析图2.41所示的单盘转子。 设圆盘的质量为m。圆盘的几何中心在S点, 重心在G点，偏
图2.22 瞬态振动
稳态振动
xBsint
整理得
(2)振动特性的讨论 ①受迫振动的运动规律
②受迫振动的频率 受迫振动的频率与激振力的频率ω相同
③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
3）激振力频率及振动系统固有频率 的影响 图2.23 幅频响应曲线
共振频率下的振幅为： ⑤受迫振动的相位差
（2.101） )
图2.37 振动系统的能量变化情况
由能量消耗等效的办法，可以计算出非粘性阻尼的等效 粘性阻尼系数。
设机械振动系统在以等效粘性阻尼代替原来的非粘性阻 尼作简谐振动。
（2.102） 下面来计算几种典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。
①干摩擦阻尼 在振动一个周期内阻尼力所作的功为： We 4FB 4F
2.4单自由度系统受迫振动
受迫振动即在外界激振力的持续作用下，振动系统被迫 产生的振动。
例如：① 在石油机械加工中切削沿轴向开槽的工件时， 刀在每一转中都要受到沟槽的冲击；周期冲击力就是激振力。 ② 机床冷加工中，冲床周期性的冲击力会通过地基传到机 床上来。③交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系 统的振动等等.
图2.25 幅频响应曲线
计算 计算系统的弹簧刚度k
机械系统的质量m
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有
一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距3l处有一
刚度系数为k的弹簧，并作用一简谐激振力
。刚杆在水平
位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振动系统的固有频率 ，
图2.28 位移干扰时的幅频特性曲线
作出如图2.28所示的幅频特性曲线。
①在 处，机械振动系统的振幅均等于支承运动的振幅。
②当 时，振幅B就小于支承运动振幅a，阻尼大的机械 振动系统比阻尼小的机械振动系统的振幅 反要稍大些。降低
隔振效果。
③当
时，受迫振动的振幅B逐渐趋向于零。这一特性
在研究隔振时是非常有用的。
在λ> 的区域内，这时η<1 1100% （2.115）
当 λ=2.5~5 ,ε=81~90%时，有隔振效果 。所以在实际上 选取 λ=2.5~5之间值隔振效果已经足够了。
④隔振设计步骤
首先，要确定被振装置与设备的原始数据，如设备与装置的质量 重心、转动惯量，以及激振源的大小、方向频率等。