甘肃省兰州市第一中学2022高一数学下学期期末考试试题

甘肃省兰州市第一中学2022高一数学下学期期末考试试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答
题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．
.） 1．已知平面向量(4,2)a =，(,3)b x =，//a b ，则实数x 的值等于（ ）
A ．6
B ．1
C ．
3
2
D ．32
-
2．已知向量(1,2)a =--，向量(3,4)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）
A ． 1
B ．-1
C ．5
D ．5-
3．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（C ）
A ．32
-
B ．12
-
C ．
12
D ．
32
4．在ABC △中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，则AD =( )
A ．
3144AB AC + B ．1344
AB AC + C ．1344AB AC - D ．31
44
AB AC -
5． 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(21)P -，
，则cos2=α（ ） A ．22
3
B ．13
C ．13
-
D ．223
-
6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，22b =，45A =︒，则B 的大小为（ ）． A ．60︒
B ． 60︒或120︒
C ．30或150︒
D ．30
7．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）
A ．53
B ． 83
C ．82
D ． 63
8．设点A ，B ，C 不共线，则“()
AB AC BC +⊥”是“AB AC =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
9．函数sin 31cos x
y x
=
+，(,)x ππ∈-图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，且函数()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）
A ．
512π B ．2
π
C ．
712
π D ．23π
11．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）的图象关于4
x π
=
对称，则函数
34y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是（ ）
A ．奇函数且它的图象关于点
(),0π对称 B ．偶函数且它的图象关于点(),0π对称
C ．奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称
D ．偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称12．已知向量a 、b 、c
满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）
A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ． b c ⋅
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin ,A B C B C --=则A = . 14． 若tan 3α=,则2
cos23sin
αα+=______.
15．已知θ是第四象限角，且tan(θ－π4)＝－4
3，则sin(θ＋π4
)＝______．
16 .已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数
()cos )3
(2f x x π
=+ . (1) 求函数()y f x =的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值.
19．（本小题满分12分）
已知函数()2
2sin
2
x
f x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.
20．（本小题满分12分）
已知函数()2,f x a b x R =
⋅∈，其中()
2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =. （1）求()f x 的单调减区间；
（2）在ABC ∆中，()2f A =-，3AB AC ⋅=，求ABC ∆的面积.
21．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(cos(A -B )，sin(A -B )),向量n =(cos B ，-sin B )，且3
5
m n ⋅=-
. (1)求sin A
的值；
(2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影.
22．（本小题满分12分）
已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23
π
，且最小值为－ 1.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若[
,]6x m π
∈，()f x 的值域是3
[1,]2
--，求m 的取值范围．
兰州一中2022-2学期期末考试试题 高一数学
命题人:陈兆玲 审题人：孙建国
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答
题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．
.） 1．已知平面向量(4,2)a =，(,3)b x =，//a b ，则实数x 的值等于（ A ）
A ．6
B ．1
C ．3
2
D ．32
-
2．已知向量(1,2)a =--，向量(3,4)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为（ B ）
A ．1
B ．-1
C ．5
D ．5-
3．sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（C ）
A ．32
-
B ．12
-
C ．
12
D ．
32
4．在ABC 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =，则AD =( B )
A ．
3144AB AC + B ．13
44AB AC + C ．
1344AB AC - D ．31
44
AB AC - 5． 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(21)P -，
，则cos2=α（ B ） A ．
22
3
B ．
13
C ．13
-
D ．22
3
-
6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，22b =，45A =︒，则B 的大小为（ D ）． A ．60︒
B ． 60︒或120︒
C ．30或150︒
D ．30
7．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（B ）
A ．53
B ． 83
C ．82
D ． 63
8．设点A ，B ，C 不共线，则“()
AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
9．函数sin 31cos x
y x
=
+，(,)x ππ∈-图象大致为（D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，且函数()g x 在区间[]0,a 上单调
递增，则a 的最大值为（ A ）
A ．
512π B ．2
π C ．
712
π D ．23π
11．已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）的图象关于4
x π
=
对称，则函数
34y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是（ A ）
A ．奇函数且它的图象关于点
(),0π对称 B ．偶函数且它的图象关于点(),0π对称
C ．奇函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 D ．偶函数且它的图象关于点3,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 12．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ C ）
A ．a b ⋅
B ．a c ⋅
C ． b c ⋅
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 13．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin ,A B C B C A --==则
3
2π
. 14． 若tan 3α=,则2
cos23sin αα
+=____
1910
__. 15．已知θ是第四象限角，且tan(θ－
π4)＝－4
3，则sin(θ＋π4
)＝___35
___．
16 .已知两点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ⋅=，则实数a
满足的取值范
围是
_____⎡⎣_____．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数
()cos )3
(2f x x π
=+ . (1) 求函数()y f x =的对称轴方程；
（2）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的最大值和最小值．
解：（1）由2x 3
π
+
=kπ得x 26k ππ=
-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ， （2）当12
2
x π
π
-
≤≤
时，6
π
-
≤2x ≤π，
6
π
≤2x 43
3
π
π
+
≤
， 所以当2x 3
π
+
=π,即3
x π
=
时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，
当2x 3
6
π
π
+
=
,即12
x π
=-
时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝
cos
6
π
=
． 18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).
(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值. 解 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →
＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →
＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.
(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →
＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →
＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，
从而5t ＝－11，所以t ＝－
115
.
19．（本小题满分12分）
已知函数(
)2
2sin
2
x
f x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.
解：（1）(
)()2
2sin 1cos 2sin 126x f x x x x x π⎛
⎫=-=--=+- ⎪⎝
⎭. 221
T π
π∴=
=， （2）令2sin 106x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 62x π⎛
⎫+= ⎪
⎝
⎭. ∴2,66x k k Z πππ+=+∈或52,66
x k k Z ππ
π+=+
∈. 可得：函数()f x 在[]0,2π内的所有零点为：0，23π
，2π.
20．（本小题满分12分）
已知函数()2,f x a b x R =⋅∈
，其中()
2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =， （1）求f （x ）的单调减区间；
（2）在△ABC 中，()2f A =-，3AB AC ⋅=，求△ABC 中的面积. 解：（1
）因为()
2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =，
所以()2f x a b =
⋅24cos 2x x =
-2cos 222x x =-+
4cos 223x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由2223
k x k π
πππ≤+
≤+，解得：,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
故f （x ）的单调减区间为：,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦； （2）因为在△ABC 中，()2f A =-，所以cos 213A π⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
，
所以23
A π
π+
=，即3
A π
=
，
3AB AC ⋅=，所以
1
32
AB AC ⋅⋅=，即6AB AC ⋅=，
所以1sin 23ABC S AB AC π∆
=
⋅⋅⋅=
ABC 21．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m =(cos(A —B)，sin(A —B)),向量
n =(cosB ，—sinB),且m n ⋅
=3
.5
-
(1)求sinA 的值；
(2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影.
解：（1）由3·
5m n =-，得3
cos()cos sin()sin 5
A B B A B B ---=-，
得3cos 5
A =-
；又0A π<<，所以4sin 5A ==
.
（2）由正弦定理得
sin sin a b A B =，得sin 2B =，所以4
B π=；
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即222
3
525()5
c c =+-⨯⨯⨯-， 解得1c =或7c =-（舍去）；
BA 在BC 方向上的投影值为
·cos BA BC c B BC
==
． 22．（本小题满分12分）
已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23
π
，且最小值为－1.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若[
,]6x m π
∈，()f x 的值域是[1,2
--，求m 的取值范围． 解：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，
因为最小正周期为
23
π
，所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+， 又因为函数的图象过点（0，
12），所以1cos 2
ϕ=， 而02
π
ϕ<<
，所以3
π
ϕ=
，故()cos(3)3
f x x π
=+
.
（2）由[
,]6
x m π
∈，可知
533633
x m πππ≤+≤+，
因为5()cos
6
6f π
π==，且cos π=－1，7cos 6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918
m ππ
∈.。