高中数学 第三章 不等式同步测试卷(含解析)新人教A版必修5(1)(2021年最新整理)

高中数学第三章不等式同步测试卷（含解析）新人教A版必修5(1) 编辑整理：
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不等式
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·高考山东卷)已知集合A＝{x｜x2－4x＋3＜0｝，B＝{x｜2＜x＜4｝，则A∩B＝（)
A．(1，3） B．(1，4） C．(2，3) D．（2,4)
2．（2015·高考北京卷)若集合A＝{x|－5＜x＜2｝，B＝｛x|－3＜x＜3｝，则A∩B＝（）A．｛x｜－3＜x＜2} B．｛x|－5＜x＜2｝ C．{x｜－3＜x＜3} D．｛x｜－5＜x＜3｝3．（2014·高考课标全国卷Ⅱ）设x,y满足约束条件错误!则z＝2x－y的最大值为（) A．10 B．8 C．3 D．2
4．(2015·高考天津卷）设变量x,y满足约束条件错误!则目标函数z＝x＋6y的最大值为( ）
A．3 B．4 C．18 D．40
5．(2015·高考湖南卷）若实数a，b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为( ）
A.错误! B．2 C．2错误! D．4
6。

在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园（阴影部分)，则其边长x(单位:m）的取值范围是（)
A．[15，20］B．［12,25］
C．[10，30] D．［20,30]
7．(2014·高考重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2ab,则a＋b的最小值是（)
A．6＋2错误! B．7＋2错误! C．6＋4错误! D．7＋4错误!
8．(2015·高考重庆卷)若不等式组错误!表示的平面区域为三角形,且其面积等于错误!，则m的值为( ）
A．－3 B．1 C。

错误! D．3
9．(2014·高考山东卷）已知x,y满足约束条件｛x－y－1≤0
2x－y－3≥0，
当目标函数z＝ax ＋by（a>0，b〉0)在该约束条件下取到最小值2错误!时，a2＋b2的最小值为（）A．5 B．4 C.错误! D．2
10．（2015·高考山东卷)若函数f（x)＝错误!是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围为( ）
A．（－∞,－1) B．(－1,0） C．(0，1) D．（1，＋∞)
11.
(2015·高考北京卷）如图,函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f(x）≥log2(x＋1）的解集是( ）
A．{x|－1＜x≤0｝B．｛x｜－1≤x≤1}
C．｛x｜－1＜x≤1｝D．{x|－1＜x≤2}
12．设正实数x，y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xy
z
取得最大值时,错误!＋错误!－错误!的
最大值为( ）
A．0 B．1 C.错误! D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2015·高考广东卷)不等式－x2－3x＋4〉0的解集为________．(用区间表示）
14．（2015·高考江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．
15．若x，y满足约束条件错误!则x－y的取值范围是________．
16．（2014·高考辽宁卷)对于c〉0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使｜2a ＋b|最大时，错误!＋错误!＋错误!的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时，f(x)＝x2－4x，求不等式f(x＋2)〈5的解集．
18．(本小题满分12分)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最少为多少元．
19.（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下,大桥上的车流速度v（单位：千米/小时)是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v（x)的表达式；
(2）当车流密度x为多大时，车流量（单元时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x）＝x·v(x）可以达到最大,并求出最大值．(精确到1辆/小时）
20．（本小题满分12分）（2014·高考江苏卷节选）已知函数f（x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f（x)是R上的偶函数．
(2)若关于x的不等式mf（x）≤e－x＋m－1在（0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
21.（本小题满分12分）如图，
建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－错误!（1＋k2)x2（k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1)求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物(忽略其大小）,其飞行高度为3。

2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由．
22．(本小题满分12分）(2015·高考浙江卷)已知数列{a n｝满足a1＝错误!且a n＋1＝a n－a错误!（n∈N*）．
（1)证明：1<错误!≤2(n∈N＊）;
(2)设数列{a2n｝的前n项和为S n，证明：错误!<错误!≤错误!（n∈N＊）．
参考答案与解析
1．【解析】选C.由已知可得集合A＝｛x|1〈x〈3｝，又因为B＝{x｜2<x<4}，所以A∩B＝（2，3），故选C。

2。

【解析】选A。

如图所示，易知A∩B＝｛x｜－3〈x〈2｝．
3．【解析】选B.画出可行域如图所示．
由z＝2x－y,得y＝2x－z，欲求z的最大值，可将直线y＝2x向下平移，当经过区域内的点,且满足在y轴上的截距－z最小时,即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，
由错误!得错误!
即A(5,2)，则z max＝2×5－2＝8.
4．【解析】选C.由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A（0，3）时z＝x＋6y取得最大值，最
大值为18.
5．【解析】选C。

由错误!＋错误!＝错误!知a〉0,b〉0，所以错误!＝错误!＋错误!≥2错误!，即ab≥22，
当且仅当错误!即a＝错误!，b＝2错误!时取“＝",所以ab的最小值为2错误!.
6．【解析】选C。

设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相似知，错误!＝错误!，
所以y＝40－x。

因为xy≥300，所以x（40－x）≥300,
所以x2－40x＋300≤0，
所以10≤x≤30。

7．【解析】选D.由题意得错误!所以错误!
又log4（3a＋4b）＝log2错误!,
所以log4（3a＋4b)＝log4(ab），
所以3a＋4b＝ab，故错误!＋错误!＝1。

所以a＋b＝（a＋b）错误!＝7＋错误!＋错误!≥7＋2 错误!＝7＋4错误!，当且仅当错误!＝错误!
时取等号．故选D.
8．【解析】选B。

作出可行域,如图中阴影部分所示，易求A，B,C,D的坐标分别为A(2,0），B(1－m，1＋m),C错误!，D（－2m，0)．
S
＝S△ADB－S△ADC＝错误!|AD|·|y B－y C|＝错误!(2＋2m)错误!＝(1＋m）·错误!＝错误!，解△ABC
得m＝1或m＝－3(舍去)．
9．【解析】选B。

法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由错误!
解得错误!所以z＝ax＋by在A（2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2错误!，
a2＋b2＝a2＋(2错误!－2a）2＝(错误!a－4）2＋4≥4.
法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点（2，1）时取得最小值，所以有2a＋b＝2错误!。

又因为a2＋b2是原点（0，0)到点(a，b）的距离的平方，故当错误!为原点到直线2a＋b－2错误!＝0的距离时最小，所以错误!的最小值是错误!＝2，所以a2＋b2的最小值是4.故选B.
10．【解析】选C.因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f（－x)＝－f（x），即错误!＝－错误!。

化简可得a＝1,则错误!＞3，即错误!－3＞0,即错误!＞0,
故不等式可化为错误!＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.
11．【解析】选C。

令g（x）＝y＝log2（x＋1），作出函数g(x）图象如图．
由错误!得错误!
所以结合图象知不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1＜x≤1｝．
12．【解析】选B.错误!＝错误!＝错误!≤1，当且仅当错误!＝错误!，即x＝2y时等号成立,此时z＝2y2，则错误!＋错误!－错误!＝错误!－错误!＝－错误!错误!＋1≤1。

13．【解析】由－x2－3x＋4>0，得x2＋3x－4〈0，解得－4<x<1。

【答案】（－4，1）
14．【解析】因为 2x2－x＜4，
所以2x2－x＜22，
所以x2－x＜2，即x2－x－2＜0，
所以－1＜x＜2.
【答案】{x｜－1＜x＜2}(或（－1，2))
15．【解析】
如图，作出可行域，设z＝x－y，则y＝x－z，平移直线x－y＝0，则当其经过点(0，3）时，z min＝－3。

当其经过直线2x＋y＝3和x＋2y＝3的交点时,z取得最大值．
由错误!解得错误!
所以z max＝0.
所以x－y的取值范围为[－3，0］．
【答案】［－3，0]
16．【解析】由题意知，c＝4a2－2ab＋b2＝（2a＋b)2－6ab,
所以（2a＋b）2＝c＋6ab。

若｜2a＋b|最大，
则ab>0.
当a〉0，b〉0时，
(2a＋b）2＝c＋6ab＝c＋3×2a·b≤c＋3错误!错误!，
所以(2a＋b）2≤c＋错误!(2a＋b）2，所以（2a＋b）2≤4c，|2a＋b|≤2错误!,当且仅当b ＝2a,
即错误!时取等号．
此时错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!〉0.
当a〈0，b<0时，
（2a＋b)2＝c＋6ab
＝c＋3(－2a）·(－b）≤c＋3错误!错误!,
所以(2a＋b)2≤4c，|2a＋b|≤2错误!，
即－2a－b≤2错误!.
当且仅当b＝2a，即错误!时取等号．
此时错误!＋错误!＋错误!＝－错误!－错误!＋错误!＝错误!－错误!＝4错误!错误!－1≥－1，当错误!＝错误!，即c＝4时等号成立．
综上可知，当c＝4，a＝－1，b＝－2时，错误!错误!＝－1.
【答案】－1
17．【解】由错误!⇒0≤x＜5,又由偶函数知,f(x)＜5的解集为｛x|－5＜x＜5｝，
所以不等式f（x＋2)＜5的解满足－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3，所以原不等式的解集为{x｜－7＜x＜3}．
18．
【解】
设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
错误!
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min＝36 800(元）．
19．【解】(1)由题意:当0≤x≤20时，v(x）＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得错误!,
解得错误!.
故函数v(x)的表达式为
v（x）＝错误!，
（2)依题意并由（1)可得,
f(x)＝错误!.
当0≤x≤20时，f（x)为增函数,
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，
f（x）＝错误!x（200－x)≤错误!错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x）在区间[20，200]上取得最大值10 000
3。

综上，当x＝100时,f(x）在区间［0,200]上取得最大值错误!≈3 333。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．20．【解】（1）证明:因为对任意x∈R,都有f（－x)＝e－x＋e－(－x）＝e－x＋e x＝f（x），所以f（x)是R上的偶函数．
（2）由条件知m(e x＋e－x－1）≤e－x－1在(0，＋∞）上恒成立．
令t＝e x（x〉0)，则t>1，
所以m≤－错误!＝－错误!对任意t>1成立．
因为t－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3，
所以－错误!≥－错误!，
当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立．
因此实数m的取值范围是错误!。

21．【解】(1）令y＝0，得kx－错误!（1＋k2）x2＝0,由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝错误!＝错误!≤错误!＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－错误!（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝（－20a)2－4a2(a2＋64）≥0⇔a≤6。

所以当a不超过6千米时，可击中目标．
22．【证明】（1)由题意得a n＋1－a n＝－a错误!〈0，即a n＋1<a n，
故a n≤错误!.
由a n＝(1－a n－1)a n－1得
a n＝(1－a n
－1
)(1－a n－2)…(1－a1）a1>0。

由0<a n≤错误!得错误!＝错误!＝错误!∈[1，2］，
即1<错误!≤2(n∈N＊)．
(2)由题意得a2，n＝a n－a n＋1，
所以S n＝a1－a n＋1.①
由错误!－错误!＝错误!和1〈错误!≤2得1〈错误!－错误!≤2，所以n〈错误!－错误!≤2n，因此错误!≤a n＋1〈错误!(n∈N*）．②
由①②得错误!〈错误!≤错误!（n∈N＊）．。