2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试题(解析版)

2021-2022学年北京市第二中学高二下学期数学期末练习试
题
一、单选题
1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22
184
x y +=有公共焦点，
则双曲线的方程为（ ） A ．22
1412x y -=
B ．22
1124x y -=
C ．2
2
13
y x -=
D ．2
213
x y -=
【答案】C
【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的2c =，双曲线离心率2c
e a
==，得1a =，3b =，即可求出双曲线的方程.
【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22
184
x y +=有公共焦点
由椭圆
2
2
18
4
x y +
=可得284=4c =-
2c ∴=
双曲线离心率2c
e a
=
=， 2221413a b c a ∴==-=-=，
∴双曲线的方程为：2
2
13
y x -=
故选：C
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题. 2．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：
①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④
【答案】C
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故③正确；
则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确； 在()3,1-上单调递增，
∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故②不正确；
函数()y f x =在0x =处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故④不正确．
故选：C ．
3．已知x y ≠，数列x ，1a ，2a ，y 与x ，1b ，2b ，3b ，y 都是等差数列，则21
21
a a
b b --的值是（ ） A ．4
3
B ．34
C ．54
D ．45
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出()213y x a a =+-，()214y x b b =+-，整理即可得答案.
【详解】数列x ，1a ，2a ，y 和x ，1b ，2b ，3b ，y 各自都成等差数列，
()213y x a a ∴=+-，()214y x b b =+-，
()()212134a a b b ∴-=-，
21214
3
a a
b b -∴
=-． 故选:A ．
4．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是
A ．2
B ．3
C ．
115
D ．
3716
【答案】A
【详解】直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝
4065
-+＝2．
5．若直线2y x b =+是曲线2lnx y a =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是 A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
【答案】D
【分析】求出函数y ＝2alnx 的导数，设切点为（m ，n ），由条件得到
22a
m
=，2m+b ＝2alnm ，即有b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），再对b 求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数b 的最小值．
【详解】y ＝2alnx 的导数为2a
y x
'=
，由于直线y ＝2x+b 是曲线y ＝2alnx 的切线，设切点为（m ，n ），则
22a
m
=， ∴m ＝a ，又2m+b ＝2alnm ，∴b ＝2alna ﹣2a （a ＞0），b '＝2（lna+1）﹣2＝2lna ， 当a ＞1时，b '＞0，函数b 递增，当0＜a ＜1时，b '＜0，函数b 递减， ∴a ＝1为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln1﹣2＝﹣2． 故选D ．
【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．
6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【分析】求出焦点F 的坐标，过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由OF PN ∥可得
||||1
||||4
OF FQ PN QP ==，求出||PN ，结合抛物线的定义，即可得解． 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以
||||1
||||4
OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，
所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．
7．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A ．141种 B ．140种 C ．51种 D ．50种
【答案】A
【详解】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．
详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，
所以共有0112233
6656463C C C C C C C +++=141种．
故选A ．
点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．
8．若曲线()e x m
f x x
=+在(,0)-∞上存在垂直y 轴的切线，则实数m 取值范围为 A ．24,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(,4]-∞
D ．(0,4]
【答案】B
【详解】试题分析：()2'e 0x
m
f x x
=-
= 在(,0)-∞上有解2e x m x ⇒=在(,0)-∞上有解，设()()()22e '2e (0)x x
g x x g x x x x =⇒=+< ，令'()02g x x =⇒=- ，当2x <- 时，
'()0g x > ，当20x -<< 时，()()()24'002e g x g x g m <⇒<≤-=
⇒∈240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，故选B.
【解析】函数的导数及其应用.
【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为2e x m x =在(,0)-∞上有解，再设()2e x g x x =，然后利用导数工具求得
()()2402e g x g m <≤-=
⇒∈240,e ⎛⎤
⎥⎝⎦
，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想.
9．已知1F ､2F 分别是双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点，双曲线C 的右支
上一点Q 满足1||OQ OF =，直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点，且P 恰好为线段1F Q 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．12
y x =±
B ．2y x =±
C ．y =±
D ．y =±
【答案】C
【分析】根据给定条件导出12QF QF ⊥，再利用双曲线定义结合勾股定理计算作答. 【详解】依题意，令12||||||OQ OF OF c ===，则有12QF QF ⊥，
令2||2QF t =，由双曲线定义得1||22QF a t =+，而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上，则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+，
在2Rt PQF 中，222
22||||||PQ QF PF +=，即222()(2)(3)a t t a t ++=+，解得2t a =，则
2||4QF a =，1||6QF a =，
在12Rt FQF 中，2221212||||||QF QF F F +=，即222
36164a a c +=，2213c a =，于是得
2212b a =，
b
a
=
所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C
10．设{}2
n a n +为等比数列，且11a =，20a =，现有如下四个命题：
①123,,a a a 成等差数列； ②5a 不是质数；
③{}2
n a n +的前n 项和为122n +-；
④数列{}n a 存在相同的项. 其中所有真命题的序号是 A ．①④ B ．①②③ C ．①③ D ．①③④
【答案】D
【分析】首先根据{}2n a n +为等比数列，且11a =，20a =，得到2
2n n a n =-，再依次判
断即可得到答案.
【详解】设等比数列{}2
n a n +的公比为q ，则2
2
02211
q +==+，所以22n
n a n +=， 对①，因为2
2n n a n =-，所以31a =-，则1322a a a +=，
所以123,,a a a 成等差数列，故①为真命题.
对②，52
5257a =-=，而7为质数，所以5a 是质数，故②为假命题.
对③，{}2
n a n +的前n 项和为()2
12121222
222n
n n +--==
++
+-，故③为真命题.
对④，因为20a =，42
4240a =-=，故④为真命题.
故选：D 二、填空题
11．数列{}n a 中，13.n n a a +=前99项的和9952S =，则36999a a a a ++++=___________.
【答案】36
【分析】易得数列{}n a 是等比数列，数列36999,,,
,a a a a 是等比数列，根据等比数列的
前n 项和公式求得1a ，再根据等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】解：因为13n n a a +=，9952S =，
所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列， 所以数列36999,,,
,a a a a 是以3a 为首项，3
3为公比的等比数列
又()99199135213
a S -=
=-，所以()99
113
104a -=-，
是以()()()333993136999313913910436132626
a a a a a a ⎡⎤--⨯-⎢⎥⎣
⎦+++
+====---. 故答案为：36. 三、双空题
12．已知()7
27012712x a a x a x a x -=++++，则0a =_________，
127a a a ++
+=______________.
【答案】 1 2-
【分析】令0x =即可求0a 的值，令1x =结合0a 的值，即可求127a a a +++的值.
【详解】令0x =可得：()7
0120a -⨯=，所以01a =， 令1x =可得：()077
12121a a a a -⨯=++++，
即27111a a a ++++=-，
所以1272a a a ++
+=-，
故答案为：1；2-.
13．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】 4 42
【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可求得38a =，从而可求得数列的公差，得到数列的通项公式和前n 项和公式，可求得所需求的值. 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴
()
153
552402
2
a a a ⨯+⨯=
=，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-， 514254a ∴=-⨯=，
()122(12142)(262)13169
(13)13()2
2224
n n n a a n n n n S n n n n n ++--=
=
==-=-+=--+
, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42.
故答案为：（1）4；（2）42.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，和根据二次函数的求得前n 项和的最大值，运用是需注意数列的项数应是自然数，属于基础题.
14．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.
【答案】
3
3
31-
【解析】根据直角三角形的性质求得12PF F ∠，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.
【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ⊥. 在12Rt PF F 中，212PF OF OF c ===， 所以21212PF F F =，所以126PF F π∠=，所以直线l 的斜率63
tan 3
πk ==.
2
2
1122
3PF F P F F c =
-=，
根据椭圆的定义可知1212222
312331
F F c c c e a a PF PF c c =
=====-+++. 故答案为：
3
3
；31-
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.
15．已知函数()()1
ln 0f x ax x a x
=+
>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______. 【答案】 1 20,e ⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，判断导函数的正负，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可； （2）问题转化为2
1
(1ln )a x x -≤在(0,)+∞恒成立，e x ≥时显然成立，0e x <<时，问题转化为min 2
1
[
](1ln )
a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，求出函数()g x 的最大值，
从而求出a 的范围即可．
【详解】（1）1a =时，1
()ln f x x x x
=+，(0)x >，
21()ln 1f x x x '=+-
，令23112
()ln 1,()0g x x g x x x x
'=+-=+>， 故()'f x 在(0,)+∞递增，而()01f '=，
故(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增， 故()f x 极小值(1)1f ==；
（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立， 即2
1
(1ln )a x x -≤
在(0,)+∞恒成立， ①1ln 0x -≤即e x ≥时，0a >，(1ln )0x -≤，2
1
0x >， 故2
1
(1ln )a x x -≤
在(0,)+∞恒成立， ②1ln 0x ->即0e x <<时，问题转化为2
1
(1ln )
a x x ≤
-在(0,)+∞恒成立， 即min 21
[](1ln )a x x ≤-，只需求出2()(1ln )g x x x =-的最大值即可，(0e)x <<，
()(12ln )g x x x '=-，令()0g x '>，解得：0x <<
()0g x '<e x <<，
故()g x 在递增，在e)递减，
故max e ()2
g x g ==，
故
12
e e 2
a ≤
=
， 综上，(0a ∈，2]e
, 故答案为：1， 2(0,]e
．
四、解答题
16．在①212log log 1n n a a +=+，②12n n n a a +=+，③22
112n n n n a a a a ++-=（0n
a >）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答，
已知{}n n b a -为等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且12a =，
12b =，314b =，__________，是否存在正整数k ，使得2021k S >？若存在，求k 的最小值：若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；存在；k 的最小值为10．
【分析】选①：得212log log 1n n a a +-=，所以2{log }n a 等差数列，即可求得n a 通项公式，再求得{}n b ，然后求和n S ，最后由不等式估算k 的最小值；选②：用累加法求得n a 通项
公式，下同选①；选③：由22
112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，即可求得
n a 通项公式，下同选①．
【详解】选①：
由21log log 1n n a a +=+得212log log 1n n a a +-=，
所以2{log }n a 是首项为21log 1a =，公差为1的等差数列， 所以()2log 111n a n n =+-⨯=，故2n n a =． 又12b =，314b =，12a =，38a =， 所以110b a -=，336b a -=， 所以等差数列{}n n b a -的公差3311()()
331
b a b a d ---=
=-
所以()()11131n n b a b a n d n -=-+-=-，
所以()231n
n b n =+-，
2123
1
33(2222)3(123)32
22
n
n n n n S n n +-=+++
+++++
+-=-+．
由2021n S >得10n ≥，即存在正整数k ，使得2021k S >．且k 的最小值为10． 选②：
由12n
n n a a +=+得1212a a -=，3222a a -=， 343
2a a ，…，()1122n n n a a n ---=≥，
相加得1123
1
12(12)2222
2212
n n n n a a ----=+++
+==--，
又12a =，所以()22n
n a n =≥，
显然12a =也满足()22n
n a n =≥，故2n n a =．
下同选①． 选③：
由22
112n n n n a a a a ++-=整理得()()1120n n n n a a a a ++-+=，
又0n a >，所以12n n a a +=，即
1
2n n
a a +=， 所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =． 下同选①．
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
17．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，
35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考
生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、
[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：
2211
Y Y T T
Y Y T T --=-- 其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低
分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、
2T
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：
847585756971
T
T --=--，
所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）12
35
P =
（2）见解析 【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；
（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．
【详解】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：
951008586x y x y --=--，即：()148514330861010
x x y --=+=， 所以
14330
9610
x -≥，得：92.1x ≥， 显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122
1512
35
C C P C ==. （2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，
053125
1524(0)91
C C P C ξ===，14
31251545
(1)91C C P C ξ=== 2331251520
(2)91C C P C ξ===，32
3125
152(3)91
C C P C ξ=== 则分布列为
ξ 0
1 2 3 P
2491 4591 2091
2
91
则期望为：45202231919191
E ξ=
+⋅+⋅= 【点睛】本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布，考查数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．
18．如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()2,1P 、()11,A x y 、()22,B x y 均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若APB ∠的平分线垂直于y 轴，证明直线AB 的斜率为定值. 【答案】(1)24x y = (2)证明见解析
【分析】（1）根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线的方程，求出a 的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知直线AP 的斜率存在且不为零，利用斜率公式求出AP k 、BP k 的值，由已知可得0AP BP k k +=，求出12x x +的值，再利用斜率公式可求得AB k 的值.
【详解】(1)解：根据题意设抛物线的方程为2x ay =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得4a =，
所以，抛物线的方程为24x y =.
(2)证明：由题意可知直线AP 、BP 的倾斜角互补，
若AP x ⊥轴，此时直线AP 与抛物线24x y =只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线AP 的斜率存在，若直线AP y ⊥轴，则A 、B 重合，不合乎题意， 所以，直线AP 的斜率不为零，2
111111
124224
AP
x y x k x x --+===--，同理224BP x k +=， 由已知124
04
AP BP x x k k +++=
=，可得124x x +=-， 因此，22
12
12121212414
AB
x x y y x x k
x x x x --+====---. 故直线AB 的斜率为定值1-.
19．已知函数()(1)ln 1.f x x x x =---
(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 【答案】(1)10x y ++= (2)见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，再根据导数得符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得
证，注意可先假设α是函数的一个零点，再证明10f α⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
【详解】(1)解：由函数()(1)ln 1f x x x x =---， 得()0,x ∈+∞，12f ，
()11
ln 1ln x f x x x x x
-'=+
-=-， 则()11f '=-，
所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x +=--， 即10x y ++=；
(2)解：()1
ln f x x x '=-，()0,x ∈+∞，
因为函数1
ln ,y x y x ==-在()0,x ∈+∞上递增，
所以函数1
ln y x x
=-在()0,x ∈+∞上递增，
又()()1ln 41110,2ln 2022
f f -''=-<=-
=>， 所以存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 故()()0120f x f <=-<，
又()
22
e e 30
f =->，
所以函数()f x 在()0,x +∞上存在唯一的零点α， 则()(1)ln 10f αααα=---=， 由01x α<<，得
01
1x α
<<，
又()1ln 11111
()(1)ln 10f αααααααα
---=---=
=， 所以函数()f x 在()00,x 上存在唯一的零点1
α
，
即函数()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且12 1.x x = 20．已知函数()(1)e 1x
f x x =-+，2
()(R).2
ax g x a =∈
(1)若1a =，求函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程； (2)当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)6290x y --= (2)[)2,+∞
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；
（2）令()()()()(]2
1e 1,,12x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，要使当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立，只要当(,1]x ∈-∞时，()0f x '≥恒成立即可，从a 的角度分类讨论
求出函数的单调区间及最值，从而可得出答案.
【详解】(1)解：若1a =，2
()2
x g x =，则()932g =，
则()g x x '=，故(3)3g '=，
所以函数()g x 在点(3,(3))g 处的切线方程为()9
332
y x -=-， 即6290x y --=；
(2)解：令()()()()(]2
1e 1,,12
x ax h x g x f x x x =-=---∈-∞，
则()()()
e e 1e x x x
h x ax x x a '⎡⎤=-+-=-⎣⎦
， 当0a ≤时，有e 0x a -<，
当0x <时，()0h x '>，当01x <≤时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),0∞-上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00h x h ==， 所以当0a ≤时，()0h x ≤恒成立， 所以0a ≤不符合题意；
当0a >时，令()0h x '=，则0x =或ln a ， ①若e a ≥，则ln 1a ≥，
当0x <时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-上递减，在()0,1上递增， 所以()()00h x h ≥=，
所以当(,1]x ∈-∞时，()()f x g x ≤恒成立， 所以e a ≥符合题意；
②若1e a <<时，则0ln 1a <<，
当0x <或ln 1a x <<时，()0h x '<，当0ln x a <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),0∞-和()ln ,1a 上递减，在()0,ln a 上递增， 因为()0h x ≥恒成立，
所以()()00011021e
h a h a ⎧=≥⎪
⎪
=-≥⎨⎪
<<⎪⎩，解得2e a ≤<；
③若1a =，则ln 0a =， 则()0h x '≤，
所以函数()h x 在(],1-∞上递减， 又()00h =，
所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以1a =不符合题意； ④若01a <<时，则ln 0a <，
当ln x a <或01x <<时，()0h x '<，当ln 0a x <<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),ln a -∞和()0,1上递减，在()ln ,0a 上递增， 又()00h =，
所以当10x ≥>时，()0h x <， 所以01a <<不符题意，
综上所述，a 的取值范围是[)2,+∞.
【点睛】本题考查了导数的几何意义和利用导数求含参函数的单调区间及最值，考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力.
21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>
1F ，2F ，A
为C 的上顶点，且12AF F △
的周长为4+ (1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l ：()0y kx m m =+≠与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，当k 为何值，2
2
OM ON +恒为定值，并求此时MON △面积的最大值．
【答案】(1)2
214
x y +=
(2)1
2
k =±，MON △面积的最大值为1
【分析】（1）由椭圆的定义可知12AF F △
的周长为224a c +=+求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得
(
)()
()
22222
2
2
641641
241m k k OM ON k -+++=+
+，若22
OM ON +恒为定值，则与2m 无关，
即可求得k 值；将k
代回可得MN ，设点O 到直线l 的距离d ，则
1
2
MON S d MN =⨯⨯△，利用均值不等式即可求解.
【详解】(1)设椭圆C 的半焦距为c ．因为12AF F △
的周长为4+
所以224a c +=+① 因为椭圆C
c a =②
由①②解得2a =
，c =
则1b ．
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，
联立22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()222
418440k x kmx m +++-=， 当()()2222
Δ64164110k m k m =-+->，即22410k m -+>时，
则122841km x x k -+=+，2122
44
41
m x x k -⋅=+， 则22
2
2
2
2
121
21144
x x OM ON x x +=+-++-
()()222222
1222324624622441k m m k x x k -++=++=++(
)(
)
()
22222641641241m k k k -++=++， 当2
2
OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得1
2
k =±， 此时
MN =
=
又点O 到直线l
的距离d =
所以2212122
MON
m m S d MN m +-=⨯⨯==△，
当且仅当m =1m =±时，等号成立， 经检验，此时Δ0>成立， 所以MON △面积的最大值为1．。