高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
1.两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)
sin(α＋β)＝
sin_αcos _β＋cos_αsin _β
α,β∈R
两角差 的正弦
S (α－β) sin(α－β)＝
sin_αcos _β－cos_αsin _β
α,β∈R
状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．
C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12
C.
3
2
D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D
3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )
A.75
B.1
5 C ．－75 D ．－15
解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.
答案：B
4．计算sin 7π
12
＝________.
解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋2
4
类型一 给角求值
例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°
sin 29°
.
【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64
. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°
＝
cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°
sin 29°
又因为π2<β<π,所以β＝2π3
.
对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．
3.1.2
[基础巩固](25分钟,60分)
一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.
6－24 D.2＋6
4
解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×3
2
＝2＋6
4. 答案：D
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－
32 B.32
C ．－12 D.12
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.
答案：D
3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.72
10
C ．－
210 D.210
解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4。