分子物理学及热力学习题课

利用C→A的绝热过程方程，有：
TAVA 1TCVC 1
得
TC
VA VC
1
TA
（2）
再由泊松方程 PAVA PBVC
和等温过程方程
PB
VA VB
PA
两式联立
1
得
VC
VB VA
VA
代入〔2〕式
1
得：
TC
VA VB
TA
利用等温过程
TB
TA，及
PAVA
M
RTA，将其
与 （2）式一起代入（1）式，且 7 ，则有
p A (P1,V1)
等温线
(1) 由热一定律 A→B:
经等温 ΔE=0
绝热线
经绝热 ΔE=－AAB≠ 0
o
矛盾，所以不能有两个交点，证毕。
(P2,V2)
B
V
(2) 由热二定律 正循环A→B→A :
Q净=QT 从单一热源吸热， A净=S循环＞0， 违反热力学第二定律。 得证。
[题3] 试证在 p-V 图上两条绝热线不能相交。
方程，即
p1V1
V2
m1
1
RT,
由此得
p1
1 V1＋V2
m1
1
RT
，
p2V1
V2
m2
2
RT
p2
V1＋ 1V2
m2
2
RT
两者相加即得混合气体的压强
1 pV1＋V2
m 11＋m 22
RT
[题8] M克刚性双原子分子理想气体，经等温压缩 A→B，再经等压膨胀B→C,最后经绝热膨胀C→A,已 知PA ,VA , VB ,求（1）P-V 图；（2）每一过程所吸
[证明] 假设两条绝热线I与II
在p-V图上相交于一点A，如下
图。 现在，在图上画一等温线 p Ш ，使它与两条绝热线组成一
个循环。
这个循环只有一个热源，它 把吸收的热量全部转变为功，即
＝100％，并使周围没有变化。
Ш A ⅠⅡ
V
显然，这是违反热力学第二定律
的，因此两条绝热线不能相交。
[题4] 两可逆机分别用不同热源作卡诺循环，在 P-V图上，它们的循环曲线所包围的面积相等，但形 状不同，如图示，（1）对外所作的净功是否相同？ （2）它们吸、放热的差值是否相同？ （3）效率是 否相同？
此时，每分钟向温度为20℃的物体放出热量
Q 1 Q 2 A 8 . 7 1 9 6 J 0
[题10] 试计算理想气体在等温膨胀过程中的熵变。
[解] 在这个过程中，对于一指定分子，在体积为V 的容器内找到它的概率W1与这个容器的体积成正比, 即
W1 cV
式中c是比例系数，对于N个分子，它们同时在V中出 现的概率W，等于各单分子出现概率的乘积，而这个 乘积也是在V中由N个分子所组成的宏观状态的概率， 即
m2
2
Cv2
1 pV1＋V2
m 11＋m 22
RT
式中 Cv1、Cv2分别是氮气和氩气的摩尔定容热容,m1、 m2和 μ1、μ2分别是氮气和氩气的质量和摩尔质量。
[证明] 翻开活塞后，原在第一个容器中的氮气向第 二个容器中扩散，氩气那么向第一个容器中扩散，直 到两种气体都在两容器中均匀分布为止。到达平衡后， 氮气的压强变为p1'，氩气的压强变为p2'，混合气体 的压强为p = p1'+ p2' ,温度均为T。在这个过程中， 两种气体相互有能量交换，但由于容器是绝热的，总 体积未变，两种气体组成的系统与外界无能量交换， 总内能不变，所以
[解] T1=293K, T2=263K, 那么
从
w
低
温
热
源
吸
收 T2
的 热 26量 3 ,
外 界 对 系 统 所 T1作 T2的 功 30
每分钟做功为 A ＝ 1 1 5 3 0 6 9 0 1 5 J 0 ,
所以每分钟作功从冷藏室中吸取的热量为
Q 2 ＝ 2 36 0 9 3 150 7 .8 9 160 J
那么
m
m
QC1dTC1dT0
又循环过程ΔE=0，由热力学第一定律得A=0；
而由图A= S环面积≠0，矛盾。证毕。
[题6] 设有氧气8g,体积为0.4110-3m3,温度为300K。 如氧气作绝热膨胀,膨胀后的体积为4.110-3m3，问气 体作功多少？如氧气作等温膨胀，膨胀后的体积也是 4.110-3m3，问这时气体做功多少？
E 1 ＋ E 2 ＝ E 1 ＋ E 2 0 (1)
E1
m1
1
Cv1TT1,
E2
m2
2
Cv2TT2,
代入式(1) 得
m μ1 1C v1 TT 1＋ m μ2 2C v2 TT 2＝ 0
T
m1
1
Cv1
T1＋
m2
2
Cv2 T2
m1
1
Cv1＋
m2
2
Cv2
又因混合后的氮气与氩气仍分别满足理想气体状态
P
P
S1
S2
O
V
O
V
解：
〔1〕 S1=S2，净功一样。
〔2〕内能不变，且S1=S2，它们吸、放热的差值一
样。
〔3〕
1 T2
T1
第二个循环过程的效率大于第一个循环过程的效 率。
[题5] 某气体系统在 p-V 图上 p 的一条循环过程线如图示。试证
该系统在此循环中摩尔热容不能
为恒量。
o
V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[证明] 反证法：假设其摩尔热容是恒量 C1，
说速率在 vvd间v隔内的分子数占总分子数的百
分比 。
( 2 ) nfvdv ； nfvdvndN NdN dN
N VN V
已知 fvdv是在速率 vvdv间隔内的分子数占
总分子数的百分比，再乘以分子数密度n，其含义为
单位体积内速率在 vvdv间隔内的分子数。
( 3 ) v2vf vdv ； v1
7R 5R1.40代入上式，得
22
T2
30011.401 10
11K 9
因i=5，所以Cv=iR/2=20.8J/(molK)，可得
A m C V T 1 T 24 1 2.8 0 18 J 194 J1
如果氧气作等温膨胀，气体所做的功为
A
V2 V1
Pd
V V V 12m RT 1 dVVm RT 1lnV V2 1
5
Q 1M 7 2RAT V V B A117 2PA VAV V B A7 21
VA VB Q1 0
C→A 绝热
Q0
吸热
〔3〕求功
经过一个循环系统恢复原位， E0
2
A总 Q1 Q2
PAVA72
VVBA
7
1
lnVB VA
2
PAVA72
VVBA
7
1
lnVA VB
〔4〕求效率
气体动理论及热力学习题课
根本要求
1. 理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能 的计算。
2. 理解麦克斯韦速率分布律，能用速率分布图来定 性分析分子的分布情况。
3. 理解气体分子平均碰撞次数和平均自由程。 4. 理解准静态过程，掌握功、热量和内能的概念及 热力学第一定律，能分析、计算理想气体等值过程 和绝热过程。 5. 理解热力学第二定律及其统计意义，掌握可逆过 程和不可逆过程，以及熵的概念。
[解] 因能量守恒要求一物体丧失的热量等于另一 物体获得的热量；设最后温度为T′，那么有
由此得
Q1 Q2
C 1 T T 1 C 2 T T 2
T C1T1 C2T2 C1 C2
〔2〕对于无限小的变化来说，dQ=CdT。设固体的 升温过程是可逆的，设想液体的降温过程也是可逆的
ΔS1
v
0
vdN N
0 vf
vdv
v1 vf vdv v2vf vdv vfvdv
0
v1
v2
表示在 v1 v2速率间隔内的分子具有的速率对整个
速率算术平均值的贡献。
(4) vp f vdv ； 0
d N fv d v vp f vdv fv d v 1
0N0
0
v p
表示某分子的速率小于最概然速率的概率，或速率不 大于最概然速率的分子数占总分子数的百分比。
[解] 在这个过程中，温度保持不变，T=273K，设冰 从0℃ 的恒温热源中吸热，过程是可逆的，那么
S水－
状
S冰
态δ2 Q Q
TT
状态1
13.35105 J/K1.22103J/K 273
在实际溶解过程中，冰须从高于0℃的环境中吸热。 冰增加的熵超过环境损失的熵，所以，假设将系统和 环境作为一个整体来看，在这过程中熵也是增加的。 如让这个过程反向进展，使水结成冰，将要向低于 0℃的环境放热。对于这样的系统，同样导致熵的增 加。
2
1
Q2
P
A
V
A
7 2
V V
A B
7
1
ln
VA VB
Q1
2
7 2
P
AV
A
V V
A B
7
1
2 ln V A
1
VB
2
7
V V
A B
7
1
[题9] 有一卡诺制冷机，从温度为－10℃的冷藏室吸 取热量，而向温度为20℃的物体放出热量。设该制冷 机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取热量以 及向物体放出的热量各为多少？
[解] 氧气的质量为m=0.008kg，摩尔质量µ=0.032kg。
原来温度T1=300K。令T2为氧气绝热膨胀后的温度，
那么有
AEm CVT1T2
根据绝热方程中T与V的关系式 V 11T1V21T2
得
T2
T1
V1 V2
1
以T1=300K，V1＝ 0.4110-3m3, V2＝ 4.110-3m3 及
18.31 30l0n10 J1.4410 3J
4
[题7] 两个绝热容器，体积分别是V1和V2，用一带 有活塞的管子连起来。翻开活塞前，第一个容器盛有 氮气，温度为T1；第二个容器盛有氩气，温度为T2， 试证翻开活塞后混合气体的温度和压强分别是
T
m1
1
Cv1
T1＋
m2
2
Cv2 T2
,
m1
1
Cv1＋
(5) v2 f vdv ； vp
v2
v2dN
0
v2 f vdv
N
0
vp v2 f vdv v2 f vdv
0
vp
表示速率在 vp 间隔内的分子具有的速率对方均 速率的贡献。
[题2] 用热力学定律证明 P-V 图 上一条等温线与一条绝热线不能 有两个交点。
[证明] 假设有两个交点，
W W 1N cV N
得系统的熵为 S k lW n klN n cV
经等温膨胀熵的增量为
ΔSk
NlncV2k
Nlnc
V1k
NlnV2 V1
R NMlnV2 MRlnV2
N V1
V1
[题11] 有一热容为C1、温度为T1的固体与热容为C2、 温度为T2的液体共置于一绝热容器内。〔1〕试求平 衡建立后，系统最后的温度；〔2〕试确定系统总的 熵变。
δQ1 , T
得总的熵变为
ΔS2
δQ2 T
ΔS
δQ1 T
δQ2 T
C1
TdT T T1
C2
T dT T T2
C1
l
nT T1
C2
l
nT T2
C1
l
nC1T1 C1T1
C2T2 C2T1
C2
l n C1T1 C1T2
C2T2 C2T2
[题12] 今有0℃的1kg冰融化成0℃的水，求其熵变 〔设冰的溶解热为3.35 105J/kg)。
[题1] 解释以下各式的物理意义：
( 1 ) f vdv ；
(2) nfvdv n为分子数密度；
( 3 ) v2vf vdv ； v1
(4)vp 0
fvdv其
中 vp为
最
概
然；速
率
(5) v2 f vdv 。 vp
解：
( 1 ) f vdv ；
f vdv dN
N
即表示某分子的速率在 vvd间v隔内的概率，或
收的热量；（3）循环过程所作的功；（4）效率 。
解： 〔1〕
P
B
Q1 C
PA
Q2
O VB
A
VA V
（2）求 Q
AB QEA T0 E0
那么有： Q2 A
PdV MRT VBdV
VA V
M
RTlnVB VA
PAVA
lnVB VA
VA VB Q 2 0 放热
BC 由等压条件 Q M CpTC TB （1）