天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

天津市红桥区2021届新高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是
3
4
，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．5?i >
B ．5?i <
C ．4?i >
D ．4?i <
【答案】D 【解析】 【分析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：11
0112122S i =+
==+=⨯，； 第二次循环：112
2132233S i =+
==+=⨯，； 第三次循环：213
3143344
S i =+
==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
2．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为
（ ） A ．
5
4
B ．5
C ．5
D ．
5 【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【详解】
由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，
可得102m m -=，解得2m =，此时双曲线22
1:128
x y C -=，
则曲线1C 的离心率为28
52
c e a +===，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．直线
经过椭圆
的左焦点，交椭圆于
两点，交轴于点，
若，则该椭圆的离心率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为
，且
，
再由
，求得
，代入椭圆的方程，求得
，进而利用椭圆的离心率的计算公式，
即可求解. 【详解】 由题意，直线
经过椭圆的左焦点，令
，解得
，
所以，即椭圆的左焦点为
，且 ① 直线交轴于，所以，，
因为
，所以
，所以
，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A. 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出
，代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，转化为
的齐次式，然后转
化为关于的方程，即可得的值(范围)． 4．设i 为虚数单位，则复数2
1z i
=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】
()()()
2121111i z i i i i +=
==+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 5．将函数()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，
再将图像向左平移3π
个单位长度，
得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．
(),0π
D ．4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】
解：()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1
sin 2
6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭
再将图像向左平移
3π
个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象 ()1
sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403
g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
6．函数y =
A ，集合(){}
2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）
A ．{}
12x x <≤ B ．{}
22x x -≤≤
C ．{}
23x x -<<
D ．{}
13x x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】
解：由函数y =
得2
40x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；
又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}
1B x x =>， 则{}
12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.
7．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的
表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．642+
D ．83
π
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体
对角线就是外接球直径，则2222
(2)4228R R ==+=，那么2
48S R ππ==外接球.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.
8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
【答案】A 【解析】 【分析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以
PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为104
1314
k -==-
-，故选A ． 【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
9．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，
(
2
log 3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2
314c f ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a b c << B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞内单调递增，再由2
log 3sin 5π⎛⎫>- ⎪⎝⎭2
3
14⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即
可判定大小 【详解】
因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，
2
log
31>，1sin ,152π⎛⎫⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
3110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴c b a <<.
故选：D 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题. 10．已知
||
23
z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-
，得2i=(2)i=3
z a b --+，利用复数相等建立方程组
即可. 【详解】
设i,(,)z a b a b R =+∈
，则2i=(z a b --+
，所以20
a b ⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，
解得22
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
，故2i 2z =
-，复数z
在复平面内对应的点为(2)2-，在第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】
Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
12．若函数()()
2
(2 2.71828 (x)
f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实
数m 的取值范围是( ) A ．510,
23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．510,
23⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．102,
3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．102,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
求得()f x 的导函数()'
f
x ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，
上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】
()()2
'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，
设()()2
22g x x m x m =+-+-，
要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，
即()g x 在(1
2)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2
221x x m x ++=+，
令()12,3t x =+∈，则问题即1
m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t
+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________． 【答案】36
只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A ∆中，利用2
2
2
11O A O O OA +=即可得到关于x 的方程，解方程即可解决. 【详解】
由已知，2428R ππ=，解得7R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，
直三棱柱的棱长为x ，则13
O A x =
，1
12O O x =，故2222117O A O O OA R +===， 即22
734
x x +=，解得23x =2336x =.
故答案为：36. 【点睛】
本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题. 14．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b ，3
A π
=则cos2B =_________．
【答案】
7
16
【解析】 【分析】
利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】
63=
32
sin 8
B ∴=
187cos 2126416B =-⨯
=．
故答案为：716
. 【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题. 15．4(1)(1)x x -+展开式中，含2x 项的系数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】
变换得到444
(1)(1)(1)(1)x x x x x =--+++，展开式的通项为414r r r T C x -+=，计算得到答案.
【详解】
444(1)(1)(1)(1)x x x x x =--+++，4(1)x +的展开式的通项为：414r r r T C x -+=. 含2x 项的系数为：23
442C C -=.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．
【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得
1
2
b a =，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得
c ==，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】
根据题意，双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y 1
2
=x ， 则有
1
2
b a =，即a ＝2b ，
则c =，
则该双曲线的离心率e c a =
==
；
故答案为：2
． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 之间的关系，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()21f x x =+，()3g x x =-. （1）解()()f x g x ≥；
（2）若21a b -≤，证明：()()4f a g b +≥. 【答案】（1）(]1
,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在不等式213x x +≥-两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果； （2）利用绝对值三角不等式可证得()()4f a g b +≥成立. 【详解】
（1）()21f x x =+Q ，()3g x x =-，由()()f x g x ≥得213x x +≥-， 不等式两边平方得()()2
2
223x x +≥-，即()()3150x x -+≥，解得5x ≤-或13
x ≥
. 因此，不等式()()f x g x ≥的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ； （2）21a b -≤Q ，121a b ∴-≤-≤， 由绝对值三角不等式可得
()()()()223223f a g b a b a b +=++-≥+--2525154a b a b =-+≥-+≥-+=.
因此，()()4f a g b +≥. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()24sin 2
C
A B +=.
（1）求cosC ；
（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为sin ∠ADB.
【答案】（1）17；（2
）
13
【解析】 【分析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角2
C
关系式，求出tan 2C ，再由二倍角余弦公式，即
可求解；
（2）在ACD V 中，根据面积公式求出CD 长，根据余弦定理求出AD ，由正弦定理求出
sin ADC ∠，即可求出结论.
【详解】
（1
(
)224sin cos 4sin 2222C C C
C A B +==，
0,sin 0,tan 2222C C C π<
<∴>∴=
Q 2
22
22222cos sin 1tan 1222cos cos sin 227
cos sin 1tan 222
C C C
C C C C C C --=-===++； （2）在AC
D V 中，由（1
）得sin C =
1732ACD S CD CD =⨯⨯=∴=V ，
由余弦定理得
2221
2cos 499273527
AD b CD b CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，
AD ∴=ACD V 中，
7,sin sin sin 13AD AC ADC C ADC =∴∠==∠，
sin sin 13
ADB ADC ∴∠=∠=
. 【点睛】
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 19
．已知函数21
()cos ,()22
x f x x x R =
+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；
（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =，()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.
【答案】（1）1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.（2）32
【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论. （2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值. 【详解】
解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+⎛⎫=
+-=+-=+ ⎪⎝
⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦.
（2）ABC V 中，c =
，()1sin 6f C C π⎛
⎫
==+
⎪⎝
⎭
∴3
c π
=
.
由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-…，当且仅当a b =时，取等号， 即ab 的最大值为3.
再根据11sin 223
ABC S h ab π==⋅V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为3
2.
【点睛】
本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题． 20．已知函数()ln 1g x x mx =--. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）若函数()()f x xg x =在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明12ln ln 2x x +>. 【答案】（1）若0m ≤，则()g x 在定义域内递增；若0m >，则()g x 在10,m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）1()mx
g x x
-'=
，分0m ≤，0m >讨论即可；
（2）由题可得到121212121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+-，故只需证121212ln ln 2
x x x x x x ->-+，
()12x x <，即1
121
22
1
ln 21x x x
x x x -<⋅+，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.
【详解】 由已知，'
1()mx
g x x
-=
， 若0m ≤，则()g x 在定义域内递增； 若0m >，则()g x 在10,
m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（2）由题意2
()ln f x x x mx x =--，0x >
对()f x 求导可得'
()ln 2,0f x x mx x =->
从而1x ，2x 是()f x '
的两个变号零点，因此
121212
121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+- 下证：
121212
ln ln 2
x x x x x x ->-+，()12x x <
即证1
1212
2
1
ln
21x x x x x x -<⋅+ 令1
2
x t x =
，即证：()(1)ln 22h t t t t =+-+，(0,1)t ∈ 对()h t 求导可得'
1()ln 1h t t t =+-，(0,1)t ∈，2
1
()t h t t -''=
，因为01t << 故''
()0h t <，所以'
()h t 在(0,1)上单调递减，而'
(1)0h =，从而'
()0h t > 所以()h t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0h t h <=，即()0h t < 于是12ln ln 2x x +> 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道
有一定难度的压轴题.
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，2AB =，()0PD t t =>.
（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为4
3
，求二面角B DM C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）23
【解析】 【分析】
(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.
(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD . 则14
33
C DBM M DBC DBC V V S MN --==
⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-r
,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =u r ,利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）证明：PD ⊥Q 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
AD PD ∴⊥,又四边形
ABCD 为正方形，
AD DC ∴⊥.
又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，
AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.
PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.
又AD 、DM ⊂平面ADM ，AD DM D =I ，
PC ∴⊥平面ADM .
PC ⊂Q 平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .
（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图
M Q 为PC 的中点，1//
2MN PD ∴，12
MN t ∴=.
又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .
21114
23322
3
C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.
所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M
设平面DBM 的法向量(),,n x y z =r
，则 00
n DB DM DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u
v u u u u v ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-r
.
Q 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =u r
22cos ,133
m n m n m n ⋅∴==
=⨯⋅u r r
u r r u r r . ∴二面角B DM C --的余弦值为
23
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
22．已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =uuu r uuu r
．
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点30,5N ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22
||||EP EQ +的取值范围．
【答案】（1）2
214
x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ u u u r u u u r
，得到EP EQ ⊥，所以2
2
2
||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22
009x y +=，
设(,)M x y ，由2BM MA =uuu r uuu r 得()00003222(0)3x x
x x x y y y y y ⎧⎧
==-⎪⎪⇒⎨⎨
-=-⎪⎪=⎩⎩
． 又由于2
23(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
化简得M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=．
（2）设直线PQ 的方程为35
y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()2
22464140525
k
x kx +-
-=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
则12224520k x x k +=
+，122
64
25100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-u u u r ，()22,1EQ x y =-u u u r
，则
()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛
⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭u u u r u u u r
()()21212864
1525k x x k x x =+-++
()222
6482464
125100552025
k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222
2
64641926425625100k k k k ---++=
+ 0=，
故直线EP EQ ⊥．
()()2
22221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦
()()()()222
2
2222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦
()()
242
264429252514k k k
++=
+，
令214k t +=，则
2
2
2
22116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦==
2
4133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 由于2141t k =+≥，1
01t
<
≤， 2256
4||25
PQ ≤
<． 所以，2
2
||||EP EQ +的取值范围为2564,25⎛⎤
⎥⎝⎦
．
【点睛】
此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目. 23．已知函数()sin x
f x x
=
，()cos sin g x x x x =⋅-. （Ⅰ）判断函数()g x 在区间()0,3π上零点的个数，并证明；
（Ⅱ）函数()f x 在区间()0,3π上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，证明：()()120f x f x +< 【答案】（Ⅰ）函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据题意，()cos sin cos sin g x x x x x x x -=-'=-，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论()
g x 在区间()0,3π的单调区间和极值，进而研究零点个数问题； （Ⅱ）求导，()2
cos sin x x x
f x x
-'=，由于()f x 在区间()0,3π上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，求出()()12
121212
sin sin cos cos x x f x f x x x x x +=
+=+，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出()()120f x f x +<.
【详解】
解：（Ⅰ）()cos sin g x x x x =⋅-Q ，
()cos sin cos sin g x x x x x x x '∴=--=-，
当()0,x π∈时，sin 0x >Q ，()0g x '∴<，
()g x ∴在区间()0,π上单调递减，()()00g x g <=， ()g x ∴在区间()0,π上无零点；
当(),2x ∈ππ时，sin 0x <Q ，()0g x '∴>
()g x ∴在区间(),2ππ上单调递增，()0g ππ=-<，()220g ππ=> ()g x ∴在区间(),2ππ上唯一零点；
当()2,3x ππ∈时，sin 0x >Q ，()0g x '∴<，
()g x ∴在区间()2,3ππ上单调递减，()220g ππ=>，()330g ππ=-<； ()g x ∴在区间()2,3ππ上唯一零点；
综上可知，函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点. （Ⅱ）()sin x f x x Q =
，()2cos sin x x x
f x x
-'∴=， 由（Ⅰ）知()f x 在(]0,π无极值点；
在(],2ππ有极小值点，即为1x ；在(]2,3ππ有极大值点，即为2x ， 由cos sin 0n n n x x x -=，即tan n n x x =，1n =，2…
21x x >Q ，()21tan tan x x π∴>+，
()0g π<Q ，3102g π
⎛⎫=-<
⎪⎝⎭，()20g π>，502
g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，以及tan y x =的单调性， 13,
2x π
π⎛⎫∴∈ ⎪⎝
⎭，252,2x ππ⎛
⎫
∈
⎪⎝
⎭
， 2x Q ，152,
2x πππ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，由函数tan y x =在52,2ππ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增， 得21x x π>+，
()()12
121212
sin sin cos cos x x f x f x x x x x ∴+=
+=+， 由cos y x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递减，得()211cos cos cos x x x π<+=-， 即21cos cos 0x x +<，故()()120f x f x +<. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.。