高等数学习题及解答(1)

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一般班高数作业(上)
第一章 函数
1、试判断以下每对函数是不是同样的函数,并说明原因: (2) y sin(arcsin x) 与
(6) y
arctan(tan x) 与 y x ;
(4)
y x ;
(8)
y x 与 y x
2

y f ( x) 与 x
f ( y) 。

解:判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

(2) y sin(arcsin x) 定义域不一样,所以两个函数不一样;
(4) y x 2
x ,两个函数同样;
(6) y arctan(tan x) 定义域不一样,所以两个函数不一样;
(8) y
f (x) 与 x
f ( y) 定义域和对应法例都同样,所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域,并用区间表示:
x 2
1
1
(2) y
x

(7) y e
x x

(3) y 2 x
arcsinln 1
x
解:(2) x [ 2,0) ;
(3) x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ;
(7) x
(0, e)
(e,
) 。

1 。

1 ln x
f (x)
x 2 1, x 0
3、设 1
x 2
, x ,求 f ( x) f ( x) 。

解:按 x 0 , x 0 , x 0 时,分别计算得, f (x)
0 x 0
f ( x)
x 。

2 0
4、议论以下函数的单一性(指出其单增区间和单减区间) :
(2) y
4x
x
2

(4) y x x 。

解:(2) y 4x
x
2
4 ( x 2) 2
单增区间为 [0,2] ,单减区间为 [ 2,4] 。

(4) y
x x
2x x 0
) 。

0 x ,定义域为实数集,单减区间为 ( ,
5、议论以下函数的奇偶性:
(2)
f ( x) x x2 1 tanx ;(3)
f (x) ln( x2 1 x)

(6) f ( x) cosln x ;
1 x, x 0 (7) f (x)
x, x 0。

1
解:(2)奇函数;(3)奇函数;( 6)非奇非偶函数;( 7)偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域:
2x), D f ( ,0) ;() f ( x) 2x 1, 0 x 1
()。

1 y ln(1 6
2 ( x 2) 2 ,1 x 2
解:(1)反函数为y
1 e x
(0, ) ;
,其定义域为 D f 1
2
x 1 , 1 x 1
(6)反函数为y
2
2 x , 1 x。

2 2
7 、( 1 )已知f (x 1) x2 ,求f (x) ;(2)已知f (x2 1) ln x2 ,且
x 1 x4 x 2 2
f [ (x)] ln x 求( x) 。

解:()令 u x 1 , f (x) 1 ;
1 x x
2 2
(2)令u x2 1 ,求出 f (u) ln u
1 , (x) x 1 。

u 1 x 1
8、以下各对函数f (u)与u g (x)中,哪些能够复合组成复合函数 f [ g(x)] ?哪些不行复合?为何?
(2) f (u) arccosu, u
x
2

(4) f (u) ln(1 u), u sin x 。

1 x
解:(2)能够组成复合函数;(4)能够组成复合函数。

9、某企业整年需购某商品1000 台,每台购进价为4000 元,分若干批进货。

每批进货台数同样,一批商品售完后立刻进下一批货。

每进货一次需耗费资用2000 元,商品均匀投放市场(即均匀年库存量为批量的一半),该商品每年每台库存费为进货价
钱的 4%。

试将企业整年在该商品上的投资总数表示为每批进货量的函数。

解:设每批进货量为x ,企业整年在该商品上的投资总数y 能够表示为:
y 4000 1000 2000
1000
4000 4% x 4000000
2000000
80x
x
2
x
第二章 极限与连续
1、求以下数列的极限:
n n
(2)设 0 q 1 , x n
q k ( a k
a 1
a 2
a n ), n 1,2
k 1
k 1
(3)设 a n
2n
2 , x n
n
n
k a k (
a k a 1 a 2
a n ), n 1,2
1
k 1
(5) x n
n
3
n
2
n 3
, n 1,2 。

解:(2) 0 q 1 , lim x n
lim
q(1
q n ) q ;
n
n
1 q 1
q
lim x
1 1 2
(3) lim 2
2n

n
n
n
(5)运用根式有理化得,
lim x n
1。

n 3


2、用夹逼定理证明 lim
sin nx
0 对一确实数 x 建立。

n
n
证明: 1
sinnx 1 , lim sin nx 0 。

n
n n n
n
3、求极限 lim
3n
sin n 。

n 2n cosn
解: lim 3n sin n
3
n
2n
cosn
2
、( )设 y
n
1
1
1
,求极限 lim y n 。

4 2
n 2
1
n 2
2
n 2
n n
解:
1
1 1
, lim y n
1 。

2
2
n
n n n k n
、由函数
y 2 x 的图形观察极限
lim 2 x , lim 2 x , lim 2 x。

5
x
x
x
解:
lim 2 x
0 , lim 2 x
, lim 2
x
不存在。

x
x
x
6 、 由 函 数 y
x 2 x x 的 值 的 变 化 趋 势 考 察 极 限 lim ( x 2 x x ) ,
x
lim ( x
2
x
x) , lim ( x 2 x x) , lim ( x 2 x x ) 。

x
x
x
1
解: lim ( x 2
x x )
1 , lim ( x
2 x
x)
, lim (
x 2 x x) 不存
x
2
x
x
在, lim ( x 2 x
x)
2 1。

x
1
7、求以下函数极限:
( ) lim (x
x
2
2
x 2
) ;
( ) lim ( 1
2 x
1
) ;
1
5
x 0
x x
x
x
( ) lim 2x 7 3
lim x x 3 x 5 x 7
4 ;
3 ;
( 9) x
1 7 x 1
x 1
x 1
(10) lim
(1
x)10
1; (

lim x n
1
( n 1) x
n
(n 为正整数 ) 。

(1
x)11
1
( x 1) 2
x 0
12
x 1
( ) lim (
1
2 x 1) 1 ;,
5
x
x
x
x
(7) lim
2 x
7 3 1(; 分子分母同时有理化 ,消零因子) 3
x 1
x
1
(9)x
2n 1
1 ( x 1)(x 2n
x 2n 1 x 2n 2 x 2n 2
x
2
x 1)
x x 3 x 5 x 7 4
16
lim
x 1
x 1
(10)t n
1 (t 1)( t n
1
t n 2
t n 3
t 1), lim
(1
x )10 1 t 1 x
10
;
x 0
(1
x)
11
1
11

12

x
n 1
( n 1) x n
lim
x ( x n
1) n( x 1)
n ( n 1)
lim
( x
1)
2
1
( x 1)
2
2。

x 1
x
1, x
、设 f ( x ) 0, x
,试议论 lim
f ( x ) 能否存在?
8
1, x x 0
解: lim f (x) 不存在。

x 0
2 x 1,0 x 1
、设 f ( x )
,已知存在 lim f (x ) ,求 a 的值。

9
a ln x, x 1
x 1
解: a
3 。

10、议论极限
lim
1 能否在?
1
x
e
x
1
1 解: lim
不存在。

1
x 0
e x
1
11、利用变量替代 y
x 1 lim ( x 1)tan x
,求极限 x 1。

2
解:进行变量替代 y
x 1 , lim ( x 1) tan
x
- 2
.
x 1
2
12、求以下函数极限
(1) lim 1
arctanx ;
( 2) lim (sin x 1 sin x ) ;
x
x
x
(3) lim
sin 3x
;
( ) lim (cos x)
1 cot
2 x
;
( ) lim
2x
1 x 0
tan5x
4
5
x 0
3x 1
x 0
1
x。

解:( ) lim 1
arctanx 0 (有界函数乘以无量小量还是无量小量) ;
1 x
x
( ) lim (sin
x 1 sin x )
lim 2 cos
x 1x
sin
x 1x
2
2

x
x
2
lim (sin x 1 sin x) 0;
x
( ) lim sin 3 x
lim
3x
3 ;
3
tan 5 x 5x
(4) lim (cosx )
1
cot 2
x
1 e 2
;
x 0
2x
1 1
(5)
lim x
e 。

3x
1
x 0
、设数列 x n 知足: 0
x 1
1
, x n 1 x n (1 2x n ), n 1,2, , 证明:(1) x 单 13
2 n
减,且 0
x n
1
, n 1,2, ; (2) lim x n 存在,并求出其值。

2 n
证明:(1) x n 1 x n 2x n 2
, x n 单减,且由数学概括法易得 0 x n 1 2; (2)由单一有界的数列极限存在知道 lim x n 存在,设为 a 。

对 x n 1 x n (1 2x n ) 两
n 边同时求极限,获得 a
a(1 2a) ,故 a 0 ,即 lim x n
0 。

n
14、求以下函数极限:
1
2x
2
1
lim
2x sin x
( 3) lim
xarcsinx ;
( )
( )


2
1 lim
x ln(1
x) 2
x e x
1
x 0
x
x
x 0
x arcsin x sin
1
(5) lim
ln(1 x
1
(4) lim
sin x
x ;
2x )
;
( 6) lim (x e x ) x
.
x 0
x
ln(1
3 )
x 0
解:(1) lim 1
2x 2 1 1 ;
x ln( 1 x)
x 0
(2) lim
2x sin x
2 ;
x
x
x
x arcsin x
1;
(3) lim
e x 2
1
x 0
x arcsin x sin
1
(4) lim sin x x
0;
x 0
x
(5) lim ln( 1 2 x
)
;
x
ln( 1
3
)
1
(6) lim ( x
e x
) x
e 2
.
x 0
15、已知 lim x
2
x 1 ax b 0 ,求 a, b 的值。

x
x 1
解:由 lim
x 2 x 1
b lim (1 a) x 2
(a b 1) x 1 b 1, b 2 。

x ax
x
0 , a
x
1
x
1
16、已知 (2 x) x 2 ~ a( x 1) b( x 1) 2 ( x
1) ,求 a, b 的值。

解:令 t x 1 ,由已知条件得 lim
at bt 2
1,而
2 t 1
(1 t) t 1
t 0
2
at bt 2
1
at lim
2 lim
t 0
2t 1
(1 t)
t 1
2 t 0 2t (1 t)
1 a
1
at
t 1
1 lim
t
t 1
1
2 t 0
e ln[ 2 (1 t )
]
2 ln 2 1
所以 a
2(ln 2 1) , b 为随意实数。

sin ax , x 0
x
17、设 a 0,b
0 ,且 f ( x)2, x
在 ( , ) 内到处连续,求 a, b 的值。

1
(1 bx) x , x
解:由连续的定义, a
2, b ln 2 。

1
, x 1
sin
x 1 0, x 0
18、求 f ( x)
的中断点,并指出它们的种类。

sin x ,
x 1
x
1,
x 1
sin
1
, x 1 x 1
sin x -1 x
,
x
解: f ( x) 0,
x 0
, 依据左右极限来判断, x 0 为可去中断点, x 1
sin x
0 x
1
,
x
1,
x 1
为振荡中断点; x 1 为跳跃中断点。

19、设 f ( x)
e tx
1
,求 f ( x) 的表达式,并求出它的中断点。

lim
tx
t
e
1
tx
- 1 x 0
解: f ( x)
lim
e
tx
1 0 x 0
,可能的间 断点为 x 0 , lim f (x)
1 ,
t e
1 1
x
x 0
lim f (x) 1,
lim f ( ) lim f ( )
x 0 x
x 0
x , x 0 为跳跃中断点。

x 0
20、设 f (x) 在 [a,b] 上连续,且没有零点,证明 f ( x) 在 [ a,b] 上保号。

证明:反证法
21、证明方程 ln x x
e 在 (1, e 2
) 内必有实根。

证明:令 f ( x)
ln x x e ,用零点存在定理证明
2、若 f (x) 在 ( a, b) 上连续, a x 1 x 2 x n b( n 3) ,则在 [ x 1 , x n ] 内至 罕有一个点
,使 f ( )
f ( x 1 )
f ( x 2 )
f ( x n ) 。

n
证明:在 [ x 1 , x n ] 上用介值定理。

第三章 导数与微分
1、鉴别 y
x x 在 x 0 点能否可导?
解:由 f (0) lim f ( x ) f (0) 的计算, y
x x 在 x 0 点可导。

x 0
x
e x 1, x 0
2、设 f ( x)
x a,0 x 1
求 a, b ,使得 f ( x) 在 x 0 和 x 1可
导。

b sin( x 1) 1, x 1
解:可导必连续可知 f ( x) 在 x
0 连续推出 a
0 。

f ( x) 在 x
1可导 f (1) f (1) 推
出 b 1。

、若 f ( x) 在
x
0 点连续,且 lim
f ( x)
1
1,(1)求 f
(0) ;(2) f ( x) 在 x
3
x 0
x
点能否可导? 解:(1) f (0) 1 ;(2)可导。

4、设 f (0)
1, f (0)
2 x f ( x) 1 f (ln x)
1
1,求极限:( 1) lim x ; (2) lim 1 x 。

x 0
x 1
解:(1) lim
2 x
f ( x ) 1 2 x ( f ( x ) 1) 2 x
1
ln 2 1;
x
lim
x
x 0 x
( ) lim f (ln x ) 1
lim f (ln x ) f (0) ln x
1 。

2
1 x
ln x 0
1 x
x 1
x 1
5
在 x 0
点连续,求 f ( x)
g( x)sin 2x 在 x 0 点处的导数。

、设 g( x)
解:由导数定义计算, f (0) 2g(0) 。

6、求以下函数的导数:
x 2
x
2) y
cos 2x
;
3) y 2x arcsin x 33 x 2
; 1)
y
x ;
sin x
x
cos x
4) y arctan
x
1 ;
5) y ln( 2 x
3 x
4 x ); 6) y
(sin 1 2x ) 2 ;
x 1
7) y ln( x
x 2 a 2 )(a
0);
8) y
x 2
2x ;
9) y (1
1 ) x .
3
x 3 2
2x
解:(1), y
1
1 ;
2 x
(2), y sin x cos x ; ( ) y 2
x ln 2 arcsin x
2 x
2

3
1 x 2
3 x
( ) y 1

4
1 x
2
(5) y
2 x ln 2
3 x ln 3
4 x ln 4 2
x
3
x
4
x

( ) y sin( 2 1 2 x ) ;
6
1
2 x
(7)
y 1 ;
x
2
a
2
(8)
y
x 2 2 x
x
1
x 2
) 。

3
x
3
2 ( x 2
2 x x 3
2
(9) y
1
) x
1
) 1 ] 。

(1
[ln( 1
2 x
2 x 2 x 1
7、若 f ( x) 可导,求以下函数的导数:
(1) y
arctan[ f ( x)];
( 2) y
f ( x
1) 。

f ( x )
f ( x 1)
解:( ) y
2 ( x ) ;(2) y
2 x。

1 1 f
8、若 y
y(x) 是由函数方程 1 sin( x
y) e
xy
在 ( 0,0) 点邻近所确立的隐函数,
求 y 及 y y( x) 在 (0,0) 点的法线方程。

解: y x 0
y 0
1 ,在 (0,0) 点的法线方程为 y
x 。

1, x 0
9、设函数
f ( x)
1
x 2 ,0 x 1
,求 f ( x) 。

x 1, x 1
0, x 0
解: f ( x)
2x,0 x 1 。

1, x 1
10、求 5 31 近似值。

解:531
1.9875 。

11、设 y
y(x) 是函数方程 ln( x
2
y 2 )
x y
1 在 (0,1) 点邻近所确立的隐函
数,求 dy 及 dy ( 0,1) 。

解: dy 2x x 2 y 2 dx , dy (0,1) dx 。

x 2 y 2 2 y
x e t
(1 cost )
dy
dx
12、给定参数方程
y e t (1 sin t) , t (
,
) ,求 dx 及 dy 。

dy dy dt
1 sin t cost
解: dx dx dt
1 cost sin t ,
dx dx dt 1 cos t sin t dy
dy dt
1 sin t cos t。

13、用变量替代
u
y
dy y du dx
将微分方程
dx
x 变为
(u) 。

x
ux 解:
u y
, y
ux ,
dy
u
x
du

du
dx 。

x
dx
dx
(u) u
x
、求知足以下微分关系中的未知函数 f ( x) :
14
(1) e 2 x dx df ( x) ;( 2) xe x 2 dx
df ( x) ;( 3) xdx 2 df ( x)
1 x
解:(1) f ( x) e
2 x
/ 2 C ;
(2)f ( x) xe x2 / 2 C ;
(3)f ( x) [ln( 1 x2 )] / 2 C 。

15、设f (t)二阶可导,且f (t ) 0 ,求参数方程x f (t ) tf (t )
y t 2 f (t) 所确立的函数
y
dy
y(x) 的导数。

dx
dy 2 f ( t ) tf (t )
解:dx f (t ) 16、求y 3 x的 n 阶导数。

解: y( n ) ( ln 3) n 3 x。

、设 y e x ,求 dy
和d 2 y :(1)x 是自变量;(2)
x
x t ,t 为自变量,
x t
17
二阶可导。

解:(1)d2y e x dx 2 ;
(2)d2y e x ( t )[( x ( t )) 2 x ( t )]dt 2。

第四章中值定理与导数的应用
1、证明方程1 x x 2 x3
0 只有一个实根。

2 6
证明:设 f ( x) 1 x x2 x3
f (0) 1 , f ( 3)
2
,由零点存在定理证明2 6 ,
根的存在性,用严格单一性证独一性。

、设
f ( x) 在 a, b 内二阶可导,且 f ( x) 0, x (a, b) ,证明: f (x) 在 a,b 内至
2
多有一个驻点。

证明:反证法,假定 f (x) 在 a,b 内起码有2个驻点。

3 、设 f (x) 在 [0,1] 内连续,在0,1 内可导,证明:存在(0,1) ,使得
f ( ) f ( ) e f (1) e f (0) 。

证明:令 F ( x) e x f ( x) 。

4、设 f ( x) 在 [a,b] 内连续,在 a,b 内可导,且 f (a) f (b) ,证明:存在
(a, b) ,
使得 f ( ) 0 。

证明:用拉格朗日中值定理可证。

5、证明: arctan x
arc cot x
, x ,。

2
证明:近似 arc sinx arccos x
, x ,
证明。

2
6、设 ab 0 , f (x) 在 [ a,b] 内连续,在 a,b
内可导,证明:存在
(a, b) ,使得
bf (a) af (b)
f ( )
f ( ) 。

b a
证明:令 F ( x)
f (x)
1
, G( x)
,用 Cauchy 中值定理证。

x
x
7、求 1 的 n 1阶麦克劳林格式(带皮亚诺型余项) 。

x
1
1
( n )
1
( n )
n!
n!
1 ( n)
n
n! ,故
解:
x 1
( 1)
( x 1) n 1
(1 x) n 1

1 x
1 x
x 0
1
1 x
2! x 2 n! x n ( x n ) 1 x x 2
x n
( x n ) 。

1 x
2!
n!
8
f ( x)
x 5 5 x 1 在 x 1
处的 6 阶泰勒公式。

、求
解 : f ( x) 5 x 4 5 , f ( x) 20x 3
, f ( x) 60 x 2 , f ( 4) (x)
120 x ,
f (5 ) ( x) 120 , f (6 ) ( x) 0 , f (1)
3 ,所以 f (x) 在 x 1处的 6 阶泰勒公式为:
f ( x) 3 20 ( x 1) 2 60 (x 1)3 120 ( x
1) 4 120 ( x 1) 5
2! 3!
4!
5!
3 10 ( x 1) 2 10( x 1)3 5( x
1) 4 ( x 1) 5
9、用洛必达法例求以下极限:
(1) lim arctan x x
lim
e x 2
e
x 0
sin x 3
( 2) x 1
ln x
(4)
lim ln( 2
x
3x ) ln 2 lim a x x a (a 0, a 1) x 0
x
(7) x a x a
arctan x
x
lim arctan x
x
1 解:(1) lim
sin x 3
x 3
3
x 0
x 0
2 e
(2) lim
e x 2e
ln x
x 1
ln( 2 x 3 x ) ln 2
ln 6 (4) lim
x
2
x 0
(7) lim a x x a
a a (ln a 1)
x a
x a
x
10、用洛必达法例求以下极限: ( 1) lim e x
2x (3)
lim
ln x x e
3x
x 0
cot x
解:( ) lim e x
2x
1 ;(3) lim ln x
0 .
1
x
e x
3x x 0 cot x
11、用洛必达法例求以下极限:
x
1
1
xx
x x
(1)
lim
1
1
(3)
lim
x
x
1
e
(5)
lim
2
3 4
e x
1
x
x 0
x
x 0
3
lim (a
x)x
a x
1 x
(6)
(a 0, a 1)
( ) lim
1
2
x 0
x
7
x 0
x
解:(1)原式
1 2
1 x
e
1 x
1
1
1
ln 1
1
x
x
x
1
e
(3)原式 = lim
x
lim

1 / x
1 / x 2
2
x
x
ln 24
(5)原式 = e 3
23 3
(1
x ) x 1 1 (6)原式 = lim a x
lim
a 2
;
x
a
x 0
x 0
(7)原式 = e 0
1
2x
12、确立以下函数的单一区间: ( 3)
f ( x)
( x 1)2
解:函数 f ( x) 的单增区间为 [ 1,1] ,单减区间为 (
, 1), (1,
) 。

13、设 f (x) 在 a, b 内是严格下凸函数, 证明对任何 x 1, x 2 a,b , x 1
x x 2 有不
等式 f (x)
x 2 x f ( x 1 ) x
x 1
f (x 2 ) 建立。

x 2 x 1 x 2 x 1
证明:因为 f (x) 在 a, b 内是严格下凸函数 ,由定义可证。

4
2 x 2
14、确立以下函数的凹凸区间,并求拐点: (3) f (x)
3x 3
3
解:上凸区间为 ( , 1], [1,
) ,下凸区间为 [ 1,1] ,拐点为 x
1和 x 1。

、求以下函数的极值:( ) y x 5 5x
1
( )
y
x 2x 1
15 1
3
解:(1 x 1为极大值点,极大值为 5; x 1为极小值点,极小值为 - 3。

(3) y
2x 2 x x 1/ 2
, y
4x 1 x 1/ 2
2x 2
x x 1/ 2。

4x 1 x 1/ 2
x 1/ 4 为极大值点,极大值为 1/8; x 1/ 2 为极小值点,极小值为 0。

16、求以下函数的最大值和最小值: (2) y 4e x e x , x [ 1,1]
解:最大值为 4e e 1 ,最小值为 4。

、设 p 1 x p
(1 x) p
1, x [0,1] 。

1 ,证明不等式
17
2 p 1
证明:令 f ( x) x p
(1 x) p , x [0,1] ,证明 f (x) 在区间 [ 0,1] 上的最小值为 21 p ,
最大值为 1,所以不等式建立。

18、有一块等腰直角三角形钢板,斜边长为 a ,欲从这块钢板中割下一块矩形,使其面积最大,要求以斜边为矩形的一条边,问怎样截取?
解:设割下的矩形的高为 x(0 x
a / 2) ,则宽度为 a 2x ,面积为 S x(a 2x) , 计
算 S a 2 / 8 即为最大面积。

、求以下函数的渐近线: ( ) y x arctan x ( )
y
x 2
2x
19
2 2
4
x
x。

解: (2)此有两条斜渐近线 y
, y
2
2 2 2
(4)有两条斜渐近线 y x 1 , y x 1。

20、作以下函数的图形:(2) y x ln x
解:
x 0,1
1
1,
y - 0
+
y
+
+
极小 y
值 1
、试确立 p 的取值范围,使得 y
x 3 3x p 与 x 轴:(1)有一个交点;( 2)有两
21
个交点;( 3)有三个交点。

解:计算出极小值和极大值,联合图形鉴别知:
(1)图形与 x 轴只有一个交点,则极大值小于 0 或许极小值大于 0,即
p
2 或 p 2 ; (2)图形与 x 轴有两个交点,则极大值等于 0 或许极小值等于 0,即 p 2 或 p 2 ; (3)图形与 x 轴有三个交点,则极大值大于
0 且极小值小于 0,即
2 p 2 。

第五章 不定积分 1、一曲线 y f x 过点( 0,2),且其上随意点的斜率为 x e x ,求 f x 。

解: f (x)
x 2 / 2 e x 1。

2、一质点作直线运动,已知其加快度 d 2 s
3t 2
sin t ,假如初速度 v 0
3
,初始位
dt 2
移 s 0
2
,求:( 1) v 和 t 间的函数关系;( 2) s 和 t 间的函数关系。

解: (1) v(t)
t 3 cost 2 ;(2) s(t)
1 t 4 sin t 2t
2 。

4
3、求以下不定积分:
(4)( x 1)2 dx (5)x x x dx (7)x 2
1
dx x x2 1
(12) 1 sin 2x dx ()2 x 1 5x 1 dx sin x cos x 14 10x
()
(e x 3 x )(1 2 x )dx ( 16)1 x 1 x dx
15 1 x 1 x
2 5 4
3 1
x 2 x 2 2 x 2 C
解:(4)原式 =
3
5
8 15
(5)原式 = x 8 C
15
(7)原式 = x 2arctan x C
(12)原式 = cos x sin x C
(14)原式
2 5 x 2 x C
ln 5 5 ln 2
(15)原式 = e x
(2e) x 3x 6 x
C ln 2 1 ln 3 ln 6
(16)原式 = 1 x 1 x
dx 2
dx
2 arcsin x C 1 x 2 1 x 2 1 x2
4、用换元积分法计算以下各不定积分:
1
1 1
arctan (5)dx ( 8)x dx ( 10)2x
dx
2 ( x ) e x e 1 x cos
4
1
dx x
dx
ln tan x
(13)cos2 x tan x 1 (18) 1 x3 (19)sin x cos x
dx
(20)
1 dx ( 24)sin x dx (25) 1
2 dx 2x 1 2 x 1 1 sin 2 (sin x 2 cos x)
x
(29)arcsin x
dx
(35) 1
cos2 x dx ()
1
1 dx
x(1 x) cos x 37 cos2 x
(39)sin x cos x dx () tan3 xdx
1 sin 4 x 40
解: (5)令u x ,原式 = tan( x ) C ;
4 4
(8)令u e x,原式= arctan e x C ;
(10)令u 1 ,原式 = 1 (arctan 1 ) 2 C ;
x 2 x
(13)令u tan x ,原式=2 tan x 1 C ;
(18)令u x3 / 2 ,原式=2 arcsin x
3 2
C ;
3
(19)令u tan x ,原式1
(ln tan) 2 C ;
2
3 3
(20)令u
1
( 2 x 1) 2 ( 2 x 1) 2 C ;2x ,原式=6
(24)令u cos x ,原式arcsin( cos x
) C ;
2
(25)令u tan x ,原式=
1
C ;tan x 2
3
(29)令u arcsin x ,原式4
(arcsin x ) 2 C ;3
(35) 令 u
x
,原式sin x x tan
x
C ;
2 2
2 1 tan x 1 dx sec x dx ,令u arctan
(37) 1
tan x ,原式 C ;cos2 x sec2 x 1 2 2
(39)令u sin 2 x,原式=arctan(sin
2
x ) C ;
2
(40)令u u 3 du tan 2 x
C 。

tan x , 原式=
u
2
2
ln cos x
1
5、用换元积分法计算以下各不定积分:
dx
dx
dx
6 x
(43) x( x 3
8)
(46)
1 2x 3
(48)
x
3
x (52)
1
dx
3
1 x 2
e x dx
x 2
x 3
(53)
1
(54)
dx
(55)
dx
x 2
2x 4
(1 x 2 ) 3
解: (43)令 u 1 ,原式 = 1 ln x
3
8
1
ln x
C ;
x
24
8
(46)令 u
1 2x ,原式 = 1
2 x
3 ln( 1 2x
3) C ;
(48)令 x t 6 ,原式 = 2 x 33 x 66 x
6ln( 6 x 1) C ;
(52)令 t
3
1
x 2 ,原式 = 9 3 (1 x 2 )2
93 1 x 2
9 ln( 1
3
1
x 2 ) C ;
2
(53)令 t
1 e x ,原式
2 1 e x
ln( 1 e x
1 ) C ;
1 e x 1
(54)令 u x 1,原式=
x 2 2x 4 3ln( x 1
x 2 2x 4) C ;
(55)令 u
x 2
2u 1
C
2 x 2 1
C 。

,原式 = 4(1
u) 2 4(1
x 2 ) 2
6、用三角代换求以下不定积分:
(1)
x 3
dx
( ) x
dx (9)
x
dx
5
( a 2 x 2 ) 3
6 1 x 2 (1 x 2 )
1 x 2
解: (1)令 x a tan t ,原式 = a 2
x 2
a 2 x 2 C ;
a 2
(6)令 x
tan t ,,原式 = 1
ln
2
1 x 2
C ;
2
1 x 2
2 2
(9)令 x
sin 2 t ( t ( 0, ) ),原式 = 2 ( 1 x ) 3 C 。

2 3
x 7、用分部积分法计算以下不定积分:
(2)
x
(cos x sin x) dx
( ) sin ln xdx
( ) ln ln x dx
e
3
16
x
(19) arctan
x 2
1dx
( ) arctan x dx
( ) x sin x dx
解: (2)原式 e x cos x C (3)
x
cosln x) C
原式 = (sin ln x
2
(16)原式 ln x ln ln x ln x C
(19)原式 = x arctan x 2 1 ln x x 2
1 C
(26)原式
1 arctan x ln x
1 ln(1 x
2 ) C
x
2
(30)原式 = 1 x sec 2
x
1
tan x
C
2
2
8、计算以下有理函数的不定积分:
(5)
x 2 x 1 dx
( ) x 2 2x 3 dx
( x 1)2 ( x 2)
9
2 x
3 解:(5)原式 = ln x 2
1
C
x 1
(9)原式 = 3
ln x
3
5
ln x 1 C
4
4
9、综合积分题:
(1)
cos 2 x dx
( 3) 1
x
dx
(6) dx
x
3 ( x 1)2 (x 1) 4
sin 4 x cos 4
1 x
(8)
dx x ) 2 (9) (arctan
x 2 1)
x dx (1 e
x 2 1
解:(1)原式 = 1 d sin 2 x
1 ln
sin 2x
2 2 1
sin 2x
C 1 sin 2 2 x 2 2 2
2
(3)原式
arcsin x
1 x
2 C
(6)原式 =
dx
3 3 x
1 C
x 1 2
2 x
1
( x
1)
2 3
x 1
高等数学习题及解答(1) 21 / 21
(8)原式 = e x dx ) 2
x ln( 1 e x ) 1 1 C e x (1 e x e x ( )原式 = (arctan x 2 1 )d x 2 1 x 2 1 arctan x 2 1 ln x C
9
21。

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