青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考数学(理)试卷(含解析)

2019高考模拟三校联考理科数学试卷
一、选择题.
1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．
故选B．
考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.
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2.已知集合，，则=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，之后按照一元二次不等式的解法求得结果，注意分母不等于零的条件，之后按照交集的求解方法求得结果.
详解：解不等式，可得，
所以集合，又，
利用交集中元素的特征，求得，故选D.
点睛：该题考查的是有关求两集合的交集的运算，在求解的过程中，注意在求集合A的时候，注意分式不等式的解法-------向整式不等式转化，同时要注意分母不等于零的条件，要时刻铭记两集合的交集中元素的特征即可正确求解.
3.已知向量，且，则=（ ）
A. 15
B. 19
C. -15
D. -19
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可．
【详解】向量=（，||=，且，
可得，，
.
故选：D．
【点睛】本题考查向量的数量积的求法，向量的模，考查转化思想以及计算能力．
4.已知平面平面，交于直线，且直线，直线，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则或
B. 若，则且
C. 若直线都不平行直线，则直线必不平行直线
D. 若直线都不垂直直线，则直线必不垂直直线
【答案】B
【解析】
【分析】
选项A：通过线面平行的判定定理和性质定理，可以判定是真命题；
选项B：由，如果，也可以；
选项C:可以判断本命题的逆否命题的真假性；
选项D:可以用反证法来判断本命题的真假性.
【详解】选项A：因为平面平面，交于直线，，所以，而，，所以，又平面平面，交于直线，，所以，同理，故本命题是真命题；
选项B：由，如果，也可以保证，故本选项是假命题；
选项C:本命题的逆否命题是：若直线平行直线，则直线至少有一个平行直线，所以可以由选项A，判断本选项是真命题；
选项D:假设直线必不垂直直线不成立，则有，因为直线都不垂直直线，所以存在过上一点的直线，，根据面面垂直的性质定理可知，，而，所以，而，，所以有，平面平面，交于直线，所以有，这与已知直线都不垂直直线相矛盾，故假设不成立，本命题为真命题，故本题选B.
【点睛】本题结合线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理与性质定理以及面面垂直的性质定理，考查了判断命题的真假问题.本题考查了反证法、原命题与逆否命题是等价命题.
5.给出下列四个命题：①命题，则；②的值为0；③若为偶函数，则曲线在点处的切线方程是．④已知随机变量，若，则．其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式可判断①；根据微积分基本定理可求得②；由导数的几何意义及直线方程可求得③；根据正态分布可判定④，进而得到真命题的个数。

【详解】由全称命题的否定形式可判断①命题p：为假命题；
由微积分基本定理，=4，所以②为假命题
③若为偶函数，则a=0；所以，则2
，所以k=2，则切线方程为y-2=2(x-1)，化简得，所以③为真命题
④已知随机变量则，所以④为真命题
综上，共有2个真命题，所以选B
【点睛】本题考查了全称命题的否定形式，导数与微积分基本定理的应用，正态分布的应用，综合性较强，属于中档题。

6.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）
A. -20
B. 20
C.
D. 60
【答案】A
【解析】
模拟程序框图的运行过程，如下：，是，；，是，；，是，；，否，退出循环，输出的值为二项式的展开式中的通项是，令，得常数项是，故选A.
7.设实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由约束条件作出可行域如图，联立，得，联立，得，由
，而目标函数的取值范围是，故选D.
点晴：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移、旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
几何体如图，球心为O，半径为，表面积为，选B.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
9.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，通过相邻两对称轴间的距离可以求出周期，进而求可出，当时，函数有最小值2，这样可以求出的值，这样原函数的解析式也就确定.
【详解】，
函数的相邻的两条对称轴为，所以
，函数当时，函数有最小值，所以有
,故本题选B.
【点睛】本题考查了正弦型函数的导数.重点考查了通过图象求出余弦函数的解析式，解题的关键是在图象中找到特殊点，特殊直线，以及它们之间的联系.
10.已知命题：若且，则；命题：，使，则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可以判断都是正数，可以运用商比的方法判断，是否正确，利用数形结
合可以判断，使是否正确，注意“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要
真全真.
【详解】命题：,
,故命题是真命题，所以是假命题；
命题：，在同一直角坐标系，画出，可以看出它们之间有交点，故命题是真命题，是假命题，根据“且”命题的真假判断方法：是见假就假，要真全真，可以判断选项A是真命题，故本题选A.
【点睛】本题依托不等式和方程的数学背景，考查了“且”命题的真假判断，解题的关键是理解
掌握“且”命题的真假判断方法.本题考查了商比法、数形结合思想、转化思想.
11.点P在双曲线上，是这条双曲线的两个焦点，，且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
试题分析：由题可知：，，又因为三边成等差数列，
,可得，又因为是直角三角形，故
,即，所以e=5.
考点：双曲线的离心率
12.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】【分析】
求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍
减去2倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.【详解】设等边三角形
的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为
的扇形的面
积为，则
，，
莱洛三角形面积为，则
,
在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,
,故本题选D.
【点睛】本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力.
二、填空题.
13.设随机变量，则
_______.
【答案】【解析】试题分析：因为
，满足二项分布，所以考点：1．二项分布公式；
14.已知递减等差数列中，为等比中项，若为数列的前项和，则的值
为__________．【答案】14【解析】
设递减等差数列
的公差为
成等比数列，
，
，又
，联立解得
，
，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.
15.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】
设,由,根据向量加法的几何意义可得:
,结合已知,可求出实数的值.
【详解】设,,
,
已知,所以有.
【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义及平面向量的基本定理.重点是向量加法三角表法则的应用.
16.若函数则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】
确定,再由对数的运算性质代入求值即可
【详解】由题-
故答案为6
【点睛】本题考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题.
三．解答题.
17.已知在中，角，，成等差数列，且．
（1）求角，，的大小；
（2）设数列满足，前项和为，若，求的值．
【答案】(1)；； (2) 或．
【解析】
【分析】
（1）由已知角，，成等差数列，可得,根据三角形内角和定理，可求,又由
，根据余弦定理，可得，可判断出为直角三角形，进而求出角，的大小；
（2）结合（1）的结论，写出数列的通项公式，根据的奇偶性进行分段，求出，，求出的值.
【详解】解：（1）由已知角，，成等差数列，可得，又，所以，又由，所以，所以，
所以为直角三角形，；
（2）
所以，由
．
解得，所以，所以或．
【点睛】本题考查了余弦定理、等比数列的前项和公式.本题的关键是根据的奇偶性进行分类. 18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生
组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248525862
收缩压（单位
114118122127129135140147
其中：，
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的
倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)中度高血压人群.
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据即可得散点图；
（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．
【详解】（1）
（2），
．
∴．
．
∴回归直线方程为．
（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为
，
∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．
【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散
点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19.在等腰中，，腰长为2，、分别是边、的中点，将沿翻折，得到四棱锥，且为棱中点，．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求二面角的余弦值，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（I）取中点，连结、，因为在等腰中，得到，
根据图象的翻折得到，进而证得平面，再根据是平行四边形，得，即可证明平面；（II）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，和平面B的一个方向法向量，根据法向量所成的角，即可得到结论.
试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连结、，
因为在等腰中，，，、分别是边、的中点，
所以，
又因为翻折后，所以翻折后，且
为等腰直角三角形，所以，
因为翻折后，，且，平面，因为，平面，，又，平面，
又，，且，是平行四边形，，平面；…（3分）
（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为，则由，且，得，
取，则，
要使平面，则须，
所以，即线段上存在一点，使得平面，
…（9分）
设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取
，则，，
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为，
即线段上存在一点（点是线段上的靠近点的一个三等分点），
使得平面，此时二面角的余弦值为…（12分）
考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解.
20.椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线，分别交直线于点，，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程并与离心率联立方程组，解得，（2）根据点斜式得直线方程，与直线联立解得点坐标，根据向量关系得为直径的圆方程，最后代人椭圆方程进行化简，并根据恒等式成立条件求定点坐标.
试题解析：(1)由已知，
∴①
∵椭圆过点，
∴②
联立①②得，
∴椭圆方程为
（2）设，已知∵，∴
∴都有斜率
∴
∴③∵
∴④
将④代入③得
设方程
∴方程
∴
由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为
则
∴
∴，∴
∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.
点睛：定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
21.已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的极小值；
（3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）求出在处的导数即得切线的斜率；求出切点坐标，根据点斜式方程求得切线方程；（2）讨论导函数的零点与定义域的关系得到其单调性，找出极小值点，求得极小值；（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最
小值大于在上的最小值，分别求出的最小值和的最小值，得到的范围.
试题解析：（1）因为，
所以，即切线的斜率为．
又，则切点坐标为，
故曲线在处的切线方程为，
即．
（2），
，又的定义域，
∴当时，令，或，
令，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
∴的极小值为，
当时，，
综上，．
（3）对任意的，总存在，
使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，
当时，，
在上递减，，
由（2）知，在上递增，
，
∴，即，又，
∴．
考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题，考查了转化的思想和函数的思想，属于中档题.求曲线某点处的导数本质上考查了导数的几何意义，根据导数求出切线斜率是解题的关键；研究函数的极值先研究求单调性，根据单调性找出极值点即可得到极值；本题的难点是解答第三问中含有两个量词的不等式，应该逐个进行转化，转化为求两个函数的最值，就容易求解了.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参
数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．
【答案】（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程，由可得曲线的直角
坐标方程；
（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，
，利用韦达定理求解即可.
试题解析：
（1），曲线，
（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.
所以.
所以.
23.已知函数，
（1）解不等式；
（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．
【详解】（Ⅰ）可化为，
即或或
解得或，或；
不等式的解集为．
（Ⅱ）易知；
所以，又在恒成立；
在恒成立；
在恒成立；
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一
道中档题．。