2020版数学人教B版必修5学案：第二章 专题突破三 Word版含解析

专题突破三 数列通项公式的求法

求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.

一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，…； (2)12，23，34，45，5

6，…； (3)2，52，134，338，81

16，…；

(4)12，16，112，120，1

30

，…. 解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为a n ＝4＋(－1)n ，n ∈N ＋.

(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝

n

n ＋1

，n ∈N ＋. (3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋1

16，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1

2n -1，n ∈N ＋.

(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，1

5×6，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝1

n (n ＋1)

，n ∈N ＋.

反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一． 跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，…； (2)14，37，12，713，9

16，…； (3)1，－85，157，－24

9

，….

解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n +1(6n －5)，n ∈N ＋.

(2)数列化为14，37，510，713，9

16，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式

为a n ＝2n －1

3n ＋1

，n ∈N ＋.

(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－1

9，…，

所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n +1(n ＋1)2

－1

2n ＋1

，n ∈N ＋.

二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘

例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N ＋都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n

n ＋1a n ，求a n .

解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，

即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)．

即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)

2.

又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝

n (n ＋1)

2

，n ∈N ＋. (2)由条件知a n ＋1a n ＝n

n ＋1

，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，

代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×3

4×…×n －1n (n ≥2)．

∴a n a 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝2

3n . 又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝2

3n

，n ∈N ＋.

反思感悟 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；

第二步 当n ≥2时，依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们叠加起来； 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n ；

第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．叠乘法类似．

跟踪训练2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1(n ＝2,3,4，…)，求{a n }的通项公式． 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，

当n ≥2时，

⎭

⎪⎬⎪

⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，

a 4

－a 3

＝3，…，

a n

－a n －1

＝n －1，这n －1个等式累加得， a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝

n (n －1)2

， 故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋2

2且a 1＝1也满足该式，

∴a n ＝n 2－n ＋2

2(n ∈N ＋)．

命题角度2 构造等差(比)数列

例3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________. 答案 2×3n -1－1

解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1. ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1

a n ＋1

＝3.

∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 则a n ＋1＝2×3n -1，即a n ＝2×3n -1－1.

反思感悟 形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：

第一步 假设递推公式可改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得t ＝q

p －1；

第三步 写出数列⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a n ＋q p －1的通项公式；

第四步 写出数列{a n }通项公式．

跟踪训练3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式． 解 设a n ＋1＋λ×5n +1＝2(a n ＋λ×5n )， ①

将a n ＋1＝2a n ＋3×5n 代入①式， 得2a n ＋3×5n ＋λ×5n +1＝2a n ＋2λ×5n ， 等式两边消去2a n ，得3×5n ＋λ×5n +1＝2λ×5n ，