第五讲空间问题有限元分析-

(20)
其中任意结点i上的结点载荷
Q ie Q i e x Q i e y Q i e zT N iq d A
(21)
式中， qqx
qy
T
qz
是作用在单元e单位面积上的表面力。
3·体积力的等效结点载荷
P e P i eT P j e T
eT
P m
eT T P n
e 6
6
v
e 6
2)坐标变换
x
8
N i r, s,t xi
y
i1 8
N i r, s,t y i
i1
z
8
N i r, s,t zi
i1
w
e 2
2
v
e 2
u
e 2
图2
w
e 5
5
v
e 5
u
e 5
w
e 7
w
e 1
7
u
e 7
1
v
e 1
u
e 1
z
xy
w
e 8
8
u
e 8
v
e 8
v
e 7
w
e 4
4
v
eT
F m
eT T F n
(18)
其中任意结点i上的结点载荷
F i eF ix e F iy e F iz eTN icG
(19)
式中，G G x Gy G z T是作用在单元e上的集中力； (Ni)c
是形函数Ni在集中力作用点处的取值。
返回
2 ·表面力的等效结点载荷
Q e Q i eT Q j e T Q m eT Q neT T
A 1drcsA 2crds
A 1brbsA 2drds A 1crdsA 2drcs
drdsA 2(brbscrcs)
（r, s=i, j, m, n） (13)
可以看出， 单元刚度矩阵是由单元结点的坐标和单元材料的 弹性常数所决定的，是一个常数矩阵。
如果将空间弹性体划分为ne个单元和n个结点，再经过类似于 平面问题的组集过程，就可以得到弹性空间问题的平衡方程
i 1j 1 k 1
单元体力载荷向量可以表示为
111
P beN tFbd vNtFbJdrdsdt
ve
111
写成高斯积分形式为
nnn
t
P b e
N (r i,s j,tk )F b (r i,s j,tk )J (r i,s j,tk )h ih jh k
i 1j 1k 1
边界连续性讨论： 8节点单元为协调单元。
返回
二、单元应变和应力
知道单元内任意一点位移后，可利用几何方程确定单元内该点
的应变。将（5）式代入空间问题几何方程得：
B e B i B j B m B n e (6)
其中
N i
x
0
0
Bi
N
i
0 N i y
0 N i
0
0
bi
N i
0
z 0
1 6V
0
c
1 xi
11 V
xj
6 1 xm
1 xn
xj di xm
xn yi zi yj zj ym zm yn zn
yj 1 ym 1
yn 1 （i, j, m, n）
V是四面体的体积，为了使V不为负值，单元的四个结点i, j, m。
返回
n必须按顺序标号：在右手坐标系中，使得右手螺旋在按照i, j, m的转向转动时向n方向前进，见图1。
第三节 轴对称问题的弹性力学基本方程
z
轴对称问题是弹性力
学空间问题的一个特殊情
况。如果弹性体的几何形 状、约束以及外载荷都对
d c
称于某一轴，则弹性体内 各点所有的位移、应变及 应力也都对称于此轴，这
m
j
ii
m j
类问题称为轴对称问题。 在离心机械、压力容器、
a
r
b
矿山井架等中经常遇到轴 对称问题。
RK
(14)
返回
式中，为整体结构结点载荷列阵；为整体结构单元位移列阵； 为整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组集得到
ne
K ke
(15)
e1
显然有
ne
e
Krs krs
(16)
e1
四面体空间单元的整体刚度矩阵[K]同样是对称、带状、稀疏
矩阵。在消除刚体位移后，它是正定的。
返回
第二节 等效结点载荷
0 0 N8
0
0
y
y
y
0
N1
0 N1
N1 z
0
0 N 2
0 N 2
N 2 z
0
0 N8
0 N8
N8 z
0
y x
x x
y x
0
N1 N1
0
N2 N2
0
N8
N
8
z y
z y
z y
N1 z
0 N1 N2 x z
0
N2 N8
x
z
0
N8 x
需要注意 N i i1,2,3,,8不是x、y的显式函数，需要用隐函数
第一节 四面体单元单元分析
空间问题的有限元法，与平面问题有限元法 的原理和解题过程是类似的。即将空间结构划分为有限个单元, 通过单元分析得到单元的刚度矩阵，采用刚度组集方法，形成 整体刚度矩阵，再确定等效载荷列阵，从而得到整体刚度方程, 经过约束条件处理并求解方程得到问题的解。本节采用最简单 的空间单元，即四面体单元，进行空间问题的有限元分析。
（3）式可以用矩阵形式表示：
fuvN0i
w 0
0 Ni 0
0 0 Ni
Nj 0 0
0 Nj 0
0 0 Nj
Nm 0 0
0 Nm 0
0 0 Nm
Nn 0 0
0 Nn 0
N00nm nij
NiI NjI NmI NnIe
Ne
(5)
式中，[I]为三阶单位阵，[N]为形函数矩阵。上式即为单元结
点位移和单元任意点位移之间的关系。
t
z
i1,2,3,,8 i1,2,3,,8
其中 ： x y z
J
r x
r y
r z
s s s
x y z
t t t
称jacobi矩阵
所以有 ：
N i
N i
x N i
y N i
J
1
r N
s N
i i
z
t
i1,2,3,,8
(22)
其中任意结点i上的结点载荷
P ie P ix e P iy e P iz eTN i p d V
(23)
式中，ppx py pz T 是作用在单元e单位体积上的体积力。
返回
§2 空间8节点等参单元单元
一、形函数与坐标变换
1）形函数
w
e 6
N i 8 11rir1sis1titu
返回
uNiui Njuj NmumNnun vNivi Njvj NmvmNnvn wNiwi Njwj NmwmNnwn
式中
1
N i 6V a i bi x ci y d i z
1
N j 6V a j b j x c j y d j z
1
N m 6V a m bm x cm y d m z
图4 轴对称结构
返回
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4表示一圆 柱体的子午面abcd被分割为若干个 三角形单元，再经过绕对称轴旋转， 圆柱体被离散成若干个三棱圆环单 元，各单元之间用圆环形的铰链相 连接。对于轴对称问题，采用圆柱 坐标较为方便。以弹性体的对称轴 为z轴，其约束及外载荷也都对称于 z轴，因此弹性体内各点的各项应力 分量、应变分量和位移分量都与环 向坐标θ无关，
z n
i
m
j
y
移列阵可表示成：
x
图1 空间四面体单元
i
e m j ui vi
w i ui
vi
w i ui
vi
w i ui vi
T
w i
(1)
n
返回
单元的位移模式采用线性多项式
u1 2x3y4z
v5 6x7y8z
(2)
w9 10x11y12z
式中，为待定系数，由单元结点的位移和坐标决定。将四个
i
0 ci 0 bi
0
0
di
0
( i, j, m, n)
(7)
y x
0
N
i
z
N i z
0
N i
y N
i
x
0
di
c
i
d i 0 bi
返回
上式表明几何矩阵[B]中的元素都是常量，因此单元中的应 变也是常量。也就是说，采用线性位移模式的四面体单元是常 应变单元。
将（6）式代入物理方程，就得到单元的应力列阵：
e 4
u
e 4
w
e 3
u
e 3
v
e 3
二、位移插值函数与几何矩阵
uvxx,,yy,,xx N 01
0 N1
0 N2 0 0 0 N2
0 N8 0 0 0 N8
0 0 13 2eee
wx,y,x 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N8
简记为 ：
5
8 2e4
uN e 1
1
N n 6V a n bn x cn y d n z
Ni，Nj，Nm，Nn为四面体单元的形函数
(3) (4)
返回
其中的系数
xj yj zj ai xm ym zm
xn yn zn
1 yj zj bi 1 y m z m
1 yn zn
xj 1 zj
ci xm 1 zm
xn 1 zn
t4
rs
6
7
2
3
图3
三、单元刚度矩阵与等效节点载荷向量x00 Nhomakorabea0
0
y
0
B
N
y
0
x
z
0
N1
0
0
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0 0 N2
N8 0 0
0 N8 0
0
0
N8
0
z
y
z
0
x
N1
x
0
0 N1
0 N2 0
x
0
0 N2
0 N8 0 x
D D B e S e S i S jS m S n e (8)
式中：[S]为四面体单元的应力矩阵，其分块形式为：
bi
A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
D Bi
6A3 V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
di （i, j, m, n）
0
(9)
0 A2di A2ci
A2di 0 A2bi
返回
其中
1 2
E 1
A 1 1 A 2 2 (1 ) A 3 3 6 1 1 2
显然单元中的应力也是常量。因此，四面体单元是常应力 单元。
三、单刚矩阵 对于四面体单元，利用虚功原理，采用类似平面问题
求导的连锁规则：
N i
r
N i x
x Ni r y
y r
Ni z
z r
N s
i
N i x
x s
Ni y
y s
Ni z
z s
Ni t
N i x
x t
Ni y
y t
Ni z
z t
写成矩阵形式有：
N i
N i
r N
s N
i i
J
x N
y
i
N i
结点的坐标（xi, yi, zi）、（xj, yj, zj）、（xm, ym, zm）、（xn, yn, zn）和结点位移（ui, vi, wi）、（uj, vj, wj）、（um, vm, wm）、（un, vn, wn）代入（2）式可得12个联立方程，解方 程组便可求出。将这十二个系数回代到（2）式，则得到 由结点位移和形函数表示的单元内任一点的位移表达式：
的处理方法可以得到其单刚矩阵
R e B T D B d x d y d z e K e e(10)
返回
其中：[K]e为单元刚度矩阵
K e B T D B d x d y d z B T D B V(11)
写成分块形式为
kii
Ke
kji kkmini
kij kjj kmj knj
kim kjm kmm knm
一、单元划分及位移模式
采用四面体单元处理弹性力学空间问题时，首先将要研究 的空间结构划分为一系列有限个不相互重叠的四面体。每个四 面体为一个单元，四面体的顶点即为结点。这样连续空间结构 就被离散为由四面体单元所组成的有限元网格。
返回
如图1所示的四面体单元， 单元结点的编码为i, j, m, n。 每个结点的位移具有三个分 量u, v, w。这样单元结点的位
kin
kjn
(12)
kknnmn
返回
式中子矩阵[ Krs]由下式计算
krsB rTD B sV
V A 3 brbsA A 1 1d cA r rb b 2s s(c rc A A s2 2 b br rc d dsr sds)
A 1brcsA 2crbs crcsA 2(drdsbrbs)
与平面问题相似，整体结构结点载荷列阵也是通过将
作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到
结点后，经过组集得到
R n e R e n e F e Q e P e F Q P (17)
e 1
e 1
1·集中力的等效结点载荷
F e F i eT F j e T
实际应用时一般只计算上式的数值解 。
单元刚度矩阵可以表示为：
K eB TD B d vB TD B dxdydz
ve
ve
将上式中的 x, y,z 替换为 r,s,t 则有：
111
KeBTDB Jdrdsdt 111
进一步写成数值积分形式为：
nnn
K e
B ( r i,s j,tk )T D B ( r i,s j,tk )J ( r i,s j,tk )h ih jh k
z
d c
m
j
ii
m j