人教A版高中数学必修第二册教学课件：第八章8.2立体图形的直观图(共29张PPT)

知识梳理
一、 投影与直观图
1.投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这 种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面.
2.直观图 （1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. （2）立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
Hale Waihona Puke ① ② ③ ④ ⑤图8-2-4
A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤
2. C 解析：由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行 四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.
训练题3 如图8-2-5所示是水平放置的三角形的直观图， A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是 （ ）
下列叙述中，正确的个数为
（）
斜二测画法的位置关系与2.度用量斜特征二用测口诀画简法记为画：空间几何体的直观图的具体规则
了解空间几何体的不同表现形式.
用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.
九十度，画一半，横不变，纵减半，
第八章 立体几何初步
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图
形的关键点.
点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思：
（1）直观图是观察者站在某一点 观 察 一个 空 间几何体获得的图形.
1
C.
① ②
训练题1.下列叙述中，正确的个数为 （ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.
A.0
B.1
C.2
D.3
1. B 解析：由斜二测规则易知，只③有正确
训练题2 如图8-2-4，长方形的直观图可能为下列选项中的 （ ）
图8-2-5 A.锐角三角形 意三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D. 任
3.B 解析：因为A′B′∥y′轴，所以由斜二测画法可知在原图形 中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.
【名师点拨】 1.在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系. 2.画水平放置的平面多边形的关键是确定多边形的顶点位置，顶点位置可分为 两类：一类是在坐标轴上或在与坐标轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定； 另一类是不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过 此点且与坐标轴平行的线段，将此点转化到与坐标轴平行的线段上的点来确定.
过点A作AD∥BC，且使AD＝A′D′＝1.
连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的原平面图形.
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1+ 2 ，
高AB＝2，
所以S梯形ABCD＝
1 2
AB（· AD+BC）＝
1 2
×2×（1+1+
2 ）＝2+
2.
方法二：四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰
B.AD
C.BC D.AC
5.D 解析：由题意可知△ABC 是直角三角形，且∠ABC＝90°，则 AC>AB，AC>AD，AC>BC.
训练题6 ［2019·吉林通化检测］如图8-2-9所示，已知直角梯形OABC 上下两底分别为2和4，高为 2 2 ，则利用斜二测画法所得其 直观图的面积为 （ ）
图8-2-9 A. 6 2 B.3 2 C.3 D.6
斜二测画法的位置关系与度量特征用口诀简记为： 九十度，画一半，横不变，纵减半， 平行关系不改变，画出图形更直观.
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
1
C.
1.画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只
B 解析：因为A′B′∥y′轴，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.
③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；
由 （于1）光直的观照图射是，观在察不者透站明在物某体一后×点面观4的2察＝屏一幕3个上. 空可间以几留何下体这获个得物的体图的形影. 子，这种现象叫做投影.
会用斜二测画法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合体）的直观图.
二、用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图
1.斜二测画法
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于 点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交 于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表 示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分 别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
画水平放置的平面多边形的关键是确定多边形的顶点位置，顶点位置可分为两类：一类是在坐标轴上或在与坐标轴平行的线段上，这
类1 顶点比较C.容易确【定解；】 方法一：如图8-2-7①所示的是四边形的直观图，
①（相2）等立的体角图，形在的直取直观观B图′图C中通′仍所常相在是等在直；平线行为投影x′下轴得. 到的平面图形.
(1)
(2)
训练题4 用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面 ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O. （P点位置不作要求）
解：（1）画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图D-8-8①所示，在正六 边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴 相交于O.
第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
学习目标
1.会用斜二测画法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合体）的直观图. 2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图. 3.了解空间几何体的不同表现形式.
重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图. 难点：斜二测画法的理解和应用.
图8-2-7
因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴.
过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于点E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′
C′＝ 2 .
再建立一个直角坐标系xBy，如图8-2-7②所示，在x轴上截
取线段BC＝B′C′＝1+ 2 ，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
三. 直观图的还原与计算
如图D-8-8①所示，例在3正. 六一边个形四AB边CD形EF的中，直取观AD图所是在的一直个线底为x角轴为，对4称5°轴，M腰N为和y轴上，底两长轴相均交为于1O的. 等腰梯
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.
用斜二测画法画空形间几，何求体原的直四观边图形的具的体面规积则 .
（2）画相应的x′轴、y′轴和z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°， ∠ x′O′z ′＝90 °.在图D-8-8② 中，以O′ 为中点 ，在x′轴上取 A′ D′ ＝ AD，在y′轴上取M′N′＝ 1 MN.以N′点为中点画B′C′平行于x′轴，且
2
B′C′＝BC，再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，且E′F′＝EF，连接A′ B′，C′D′，D′E′，F′A′，得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′ C′D′E′F′.
2
（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水 平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
图8-2-2 图8-2-3
方法归纳：水平放置的平面图形的直观图的画法步骤 （1）画轴 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，它们分 别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的 平面表示水平面. （2）定点 根据“已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′ 轴的线段.原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴 的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点. （3）连线成图 连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长 度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思： 斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐 标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°（或135°）；“二测”是 指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴 的线段长度变为原来的一半.
常考题型
一. 平面图形的直观图的画法
例1.如图8-2-1，画出水平放置的等腰梯形的直观图.
图8-2-1
【解】 画法：（1）如图8-2-2，取AB所在直线为x 轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，画对应 的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，如图8-2-3. （2）以点O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取 O′E′＝ 1 OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
①
②
③
图D-8-8
（3）画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z′轴上取点P′.
（4）成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并进行整理，
便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′，如图D-8-8③所
示.
方法归纳：画空间几何体的直观图的四个步骤 （1）画轴 通常以底面上的两条互相垂直的直线为x轴、y轴，高所在直线为z轴建系. （2）画底面 根据平面图形的直观图画法确定底面. （3）确定顶点 利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. （4）连线成图 画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用虚线（或 不画），就得到了几何体的直观图.
利用与z轴平行或在z轴是上的多线画段确一定个有关与顶x点轴. 、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.
斜二测画法的位置关系的与度线量段特征的用平口诀行简性记为和：长度都不变.
如图D-8-8①所示，在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN为y轴，两轴相交于O.
二. 空间几何体的直观图的画法
例2.画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直 观图.（底面边长与侧棱长尺寸不作要求）
【解】 （1）画轴.画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°（或 135°），∠x′O′z′＝90°. （2）画底面.根据x′轴、y′轴画正六边形的直观图ABCDEF. （3）画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线， 在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′， 使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′. （4）成图.顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，如图8-2-6(1). 加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得 到正六棱柱的直观图，如图8-2-6(2).
6.C 解析：设直角梯形OABC的面积为S，其直观图的面
利用与z轴平行或在z轴上的线段积确为定S有′关，顶S点＝.
1 2
×（2+4）×
2
2 ＝6
2，
重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.
由直直观观 图图中还相原应为线平段面长图的形2倍的，关由键由此是斜确找定二与图x测′形轴画的、各y法′轴个下平顶行直点的，观直顺图线次或与连线接平段即面，可且图. 平形行面于x积′轴的的线关段系还，原得时长S′度＝不6变2，平行于y′轴的线段还原时为
(1 1
梯形，它的面积为S′＝
2) 2
2＝
2 1 .
2
2
2 1
所以原四边形的面积为 2 ＝ 2 （ 2 +1）＝2+ 2 .
2 4
训练题5 如 图8-2-8 所 示， △A′B′C ′是 水平 放 置的△ ABC 的 直观 图 ，则 在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是 （ ）
图8-2-8 A.AB
①已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图 中分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段. ②已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中 保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度变为原长的 1.
2
3.用斜二测画法画空间几何体的直观图的主要步骤 ①画轴；②画底面；③画侧棱；④连线成图.