新教材高中数学第一章预备知识3不等式3-1不等式性质课件北师大版必修第一册
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,∴
+
>
.
+
1
,x>y,求证:
+
>
1
,x>y,∴
>
>
.
+
>0,∴0<
<
,故
0<+1<+1,即
角度3利用不等式性质求取值范围
【例4】 如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b, 2 的取值范围.
解因为3<a<7,1<b<10,
所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.
以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
如果a>b,ab>0,那么
1 1
<
a b
,结论成立的条件是a,b要同号.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( × )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( × )
性质4(同向不等
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
式可加性)
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质5(不等式的
如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.
可乘性)
乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2
性质6(开方法则) 当a>b>0时,
,其中n∈N+,n≥2
名师点睛
确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
变式训练1
1
若a∈R,p=a2-a+1,q= 2 + + 1 ,比较p与q的大小.
解
1
2
p-q=a -a+1-2 ++1
1 2 3
由于(a+2) +4
立.
≥
=
2 (2 +1)
2 ++1
=
2 (2 +1)
2 3,
1
(+ ) +
比较实数a,b大小的依据
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)比较两个代数式的大小只能用作差法.( × )
(2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.( √ )
(3)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.( √ )
2.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办
过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可
考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,
利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
变式训练3
已知 a,b,x,y
1
都是正数,且
证明∵a,b,x,y
+
0<
<
>
1
都是正数,且
+
(x+5)(x+7)<(x+6)2.
4.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为
.
答案 [-9,0]
解析 ∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得
-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
5.已知 a>b>0,c<d<0,求证:
2
4
3
2
2
>0,a
+1>0,a
≥0,故 p-q≥0,即 p≥q,当且仅当 a=0 时,等号成
4
探究点二 不等式基本性质的应用
角度1应用不等式性质判断命题真假
【例2】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;
(3)若
c>a>b>0,则
2
不一定成立.
<
-
-
2
2
,
>0,
<0,但
b
与
a
的
角度2应用不等式性质证明不等式
【例 3】 若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
2
(-)
证明(方法一)
2
(-)
−
(-)
[(-)2 -(-)2 ]
2=
(-)2 (-)2
(-+-)(--+) [(+)-(+)][(-)+(-)]
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
答案 C
解析 由a+b>0知,a>-b,又b<0,∴-a<b<0,-b>0,∴a>-b>b>-a.
2.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列结论不正确的是(
2
A.a>b⇒ac >bc
2
B.
>
)
⇒a>b
1
1
1
1
>
> 0
C.
⇒ > D.
⇒ >
=
2
2
(-) (-)
=
2
(-) (-)
2
∵a>b>0,c<d<0,
∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
.
>
(-)
2.
又(a-c) (b-d) >0,∴
故a+b的取值范围为(4,17).
又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
故3a-2b的取值范围为(-11,19).
因为 9<a
1
<49,所以49
2
<
1
2
1 10
故 2的取值范围为( , ).
49 9
<
1
1
,于是49
9
<
2
<
10
.
9
规律方法 利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.( × )
2.用不等号填空:
(1)若a+b>0,b<0,则b
a;
(2)若a>b,c<d,则a-c
(3)已知x<1,则x2+2
答案 (1)< (2)>
b-d;
3x.
(3)>
解析 (1)∵a+b>0,b<0,
∴a>0,∴b<a,故应填“<”.
(2)∵c<d,∴-c>-d,
< 0
>
答案 ABD
解析 当 c=0 时,A 不成立;当 c<0 时,B 不成立;当 ab<0
1
即
>
1
,C
成立;同理可证 D 不成立.
时,a>b⇒
<
,
3.(x+5)(x+7)
(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
答案 <
解析 (x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以
2
2
2
(-)
即
2
(-)
>
(-)
−
(-)
2 >0,
2.
(方法二)∵c<d<0,∴-c>-d>0,又 a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0,
∴0<
1
2
(-)
<
1
(-)
2 ,又
e<0,∴
2
(-)
>
(-)
2.
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通
于是
-
1
(4)由
>
>
1
0<c-a<c-b,因此
-
>
1
>0,
-
.故该结论正确.
-
1
1
1
,可知 −
=
-
>0.因为
a>b,所以 b-a<0,且 ab<0.又因为 a>b,所
以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则
=
1
, =2,显然
∴
解得
+ = 1,
=
即
5
-3,
8
,
3
5
8
9a-b=- (a-b)+ (4a-b).
3
3
5
5
20
∵-4≤a-b≤-1,∴3≤-3(a-b)≤ 3 .
①
8
∵-1≤4a-b≤5,∴-3
≤
8
40
(4a-b)≤ 3 .
3
5
8
由①②得,-1≤-3(a-b)+3(4a-b)≤20,
即-1≤9a-b≤20.故 9a-b 的取值范围为[-1,20].
2
<
.故该结论错误.
规律方法 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性
质进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,
判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
1 1
2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
②
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)不等式的性质;
(2)不等式的性质的应用.
2.方法归纳:作差法、配方法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆
性.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(
)
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
又a>b,∴a-c>b-d,故应填“>”.
(3)∵x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x<1,∴x-2<0,x-1<0,则(x-2)(x-1)>0,即x2-
3x+2>0,∴x2+2>3x,故应填“>”.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 实数大小的比较
【例1】 比较下列各组中的两个代数式的大小:
-
(4)若
1
a>b,
(5)若
a<b<0,则
>
1
,则
>
>
;
-
a>0,b<0;
.
解(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
< ,
< ,
2
(2)由
可得 a >ab.因为
所以 ab>b2,从而有 a2>ab>b2.故该结论
t;b>0,可得 -a<-b<0.因为 c>a>b,所以
1 1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
变式训练2
已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是(
A.
<
2
C.
<
2
)
-
B. >0
-
D. <0
答案 C
解析 因为 c<b<a,且 ac<0,所以
2
大小关系不确定,故
<
c<0,a>0.于是
a<1 时, -1 <0,即
=
3
+4
≥
=
3
>0,所以当
4
3
a+2<1-.
7
+8
≥
7
>0,所以
8
2x2+3>x+2.
2 ++1
a>1 时, -1 >0,即
3
a+2>1-;
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作
差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即
变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立
待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
变式训练4
已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),
则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
=
+ 4 = 9,
1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
等式
a=b⇔b=a
不等式
a>b⇔b<a
a=b⇔ac=bc(c≠0) a>b⇒ac>bc或ac<bc(c≠0)
说明
改变不等式方向
讨论c的符号
2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3
中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b,即不等式中任何一项可
法,比较x2+1与2x的大小吗?
提示两式作差得x2+1-2x=(x-1)2≥0,
+
>
.
+
1
,x>y,求证:
+
>
1
,x>y,∴
>
>
.
+
>0,∴0<
<
,故
0<+1<+1,即
角度3利用不等式性质求取值范围
【例4】 如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b, 2 的取值范围.
解因为3<a<7,1<b<10,
所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.
以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
如果a>b,ab>0,那么
1 1
<
a b
,结论成立的条件是a,b要同号.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( × )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( × )
性质4(同向不等
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
式可加性)
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质5(不等式的
如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.
可乘性)
乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2
性质6(开方法则) 当a>b>0时,
,其中n∈N+,n≥2
名师点睛
确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
变式训练1
1
若a∈R,p=a2-a+1,q= 2 + + 1 ,比较p与q的大小.
解
1
2
p-q=a -a+1-2 ++1
1 2 3
由于(a+2) +4
立.
≥
=
2 (2 +1)
2 ++1
=
2 (2 +1)
2 3,
1
(+ ) +
比较实数a,b大小的依据
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)比较两个代数式的大小只能用作差法.( × )
(2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.( √ )
(3)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.( √ )
2.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办
过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可
考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,
利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
变式训练3
已知 a,b,x,y
1
都是正数,且
证明∵a,b,x,y
+
0<
<
>
1
都是正数,且
+
(x+5)(x+7)<(x+6)2.
4.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为
.
答案 [-9,0]
解析 ∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得
-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].
5.已知 a>b>0,c<d<0,求证:
2
4
3
2
2
>0,a
+1>0,a
≥0,故 p-q≥0,即 p≥q,当且仅当 a=0 时,等号成
4
探究点二 不等式基本性质的应用
角度1应用不等式性质判断命题真假
【例2】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;
(3)若
c>a>b>0,则
2
不一定成立.
<
-
-
2
2
,
>0,
<0,但
b
与
a
的
角度2应用不等式性质证明不等式
【例 3】 若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
2
(-)
证明(方法一)
2
(-)
−
(-)
[(-)2 -(-)2 ]
2=
(-)2 (-)2
(-+-)(--+) [(+)-(+)][(-)+(-)]
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
答案 C
解析 由a+b>0知,a>-b,又b<0,∴-a<b<0,-b>0,∴a>-b>b>-a.
2.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列结论不正确的是(
2
A.a>b⇒ac >bc
2
B.
>
)
⇒a>b
1
1
1
1
>
> 0
C.
⇒ > D.
⇒ >
=
2
2
(-) (-)
=
2
(-) (-)
2
∵a>b>0,c<d<0,
∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
.
>
(-)
2.
又(a-c) (b-d) >0,∴
故a+b的取值范围为(4,17).
又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
故3a-2b的取值范围为(-11,19).
因为 9<a
1
<49,所以49
2
<
1
2
1 10
故 2的取值范围为( , ).
49 9
<
1
1
,于是49
9
<
2
<
10
.
9
规律方法 利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.( × )
2.用不等号填空:
(1)若a+b>0,b<0,则b
a;
(2)若a>b,c<d,则a-c
(3)已知x<1,则x2+2
答案 (1)< (2)>
b-d;
3x.
(3)>
解析 (1)∵a+b>0,b<0,
∴a>0,∴b<a,故应填“<”.
(2)∵c<d,∴-c>-d,
< 0
>
答案 ABD
解析 当 c=0 时,A 不成立;当 c<0 时,B 不成立;当 ab<0
1
即
>
1
,C
成立;同理可证 D 不成立.
时,a>b⇒
<
,
3.(x+5)(x+7)
(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
答案 <
解析 (x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以
2
2
2
(-)
即
2
(-)
>
(-)
−
(-)
2 >0,
2.
(方法二)∵c<d<0,∴-c>-d>0,又 a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0,
∴0<
1
2
(-)
<
1
(-)
2 ,又
e<0,∴
2
(-)
>
(-)
2.
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通
于是
-
1
(4)由
>
>
1
0<c-a<c-b,因此
-
>
1
>0,
-
.故该结论正确.
-
1
1
1
,可知 −
=
-
>0.因为
a>b,所以 b-a<0,且 ab<0.又因为 a>b,所
以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则
=
1
, =2,显然
∴
解得
+ = 1,
=
即
5
-3,
8
,
3
5
8
9a-b=- (a-b)+ (4a-b).
3
3
5
5
20
∵-4≤a-b≤-1,∴3≤-3(a-b)≤ 3 .
①
8
∵-1≤4a-b≤5,∴-3
≤
8
40
(4a-b)≤ 3 .
3
5
8
由①②得,-1≤-3(a-b)+3(4a-b)≤20,
即-1≤9a-b≤20.故 9a-b 的取值范围为[-1,20].
2
<
.故该结论错误.
规律方法 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性
质进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,
判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
1 1
2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
②
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)不等式的性质;
(2)不等式的性质的应用.
2.方法归纳:作差法、配方法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆
性.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(
)
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
又a>b,∴a-c>b-d,故应填“>”.
(3)∵x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x<1,∴x-2<0,x-1<0,则(x-2)(x-1)>0,即x2-
3x+2>0,∴x2+2>3x,故应填“>”.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 实数大小的比较
【例1】 比较下列各组中的两个代数式的大小:
-
(4)若
1
a>b,
(5)若
a<b<0,则
>
1
,则
>
>
;
-
a>0,b<0;
.
解(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
< ,
< ,
2
(2)由
可得 a >ab.因为
所以 ab>b2,从而有 a2>ab>b2.故该结论
t;b>0,可得 -a<-b<0.因为 c>a>b,所以
1 1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
变式训练2
已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是(
A.
<
2
C.
<
2
)
-
B. >0
-
D. <0
答案 C
解析 因为 c<b<a,且 ac<0,所以
2
大小关系不确定,故
<
c<0,a>0.于是
a<1 时, -1 <0,即
=
3
+4
≥
=
3
>0,所以当
4
3
a+2<1-.
7
+8
≥
7
>0,所以
8
2x2+3>x+2.
2 ++1
a>1 时, -1 >0,即
3
a+2>1-;
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作
差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即
变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立
待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
变式训练4
已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),
则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
=
+ 4 = 9,
1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
等式
a=b⇔b=a
不等式
a>b⇔b<a
a=b⇔ac=bc(c≠0) a>b⇒ac>bc或ac<bc(c≠0)
说明
改变不等式方向
讨论c的符号
2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3
中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b,即不等式中任何一项可
法,比较x2+1与2x的大小吗?
提示两式作差得x2+1-2x=(x-1)2≥0,